湖北省鄂州市花湖實驗學校2024-2025學年上學期九年級第一次月考數(shù)學試卷

2024-2025學年湖北省鄂州市花湖實驗學校九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.關于x的一元二次方程，方程的根的情況是(

)A.沒有實數(shù)根 B.有一個實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根 D.有兩個不相等的實數(shù)根2.已知a，b是一元二次方程的兩個根，則的值等于(

)A.2020 B.2021 C.2022 D.20233.已知函數(shù)，當函數(shù)值y隨x的增大而減小時，x的取值范圍是(

)A. B. C. D.4.如圖，的半徑為1，AB是的一條弦，且，則弦AB所對圓周角的度數(shù)為(

)A.

B.

C.或

D.或5.如圖，BD為的直徑，，則的度數(shù)為(

)A.

B.

C.

D.6.若，是方程的兩個根，則實數(shù)，，a，b的大小關系為(

)A. B. C. D.7.將拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為(

)A. B. C. D.8.如圖，四邊形ABDC中，是由繞頂點C旋轉所得，頂點A恰好轉到AB上一點E的位置，則(

)A.

B.

C.

D.9.在平面直角坐標系中，某二次函數(shù)圖象的頂點為，此函數(shù)圖象與x軸交于P、Q兩點，且若此函致圖象經(jīng)過，，，四點，則實數(shù)a，b，c，d中為正數(shù)的是(

)A.a B.b C.c D.d10.已知拋物線與x軸交于、兩點，且，與y軸交于，下列結論：①；②；③；④，其中正確結論的個數(shù)為(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.若關于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為______.12.如果關于x的方程為常數(shù)有兩個相等實數(shù)根，那么______.13.已知、是方程的兩根，則的值為______.14.如圖，半圓O的直徑AB為15，弦BC為9，弦BD平分，則BD的長是______.

15.在平面直角坐標系中，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，如果點P到直線EF的距離等于圖形M上任意兩點距離的最大值時，那么點P稱為直線EF的“伴隨點”.例如：如圖1，已知點，，在線段AB上，則點P是直線EF：x軸的“伴隨點”.如圖2，x軸上方有一等邊三角形ABC，軸，頂點A在y軸上且在BC上方，，點P是上一點，且點P是直線EF：x軸的“伴隨點”，當點P到x軸的距離最小時，則等邊三角形ABC的邊長為______.三、解答題：本題共8小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.本小題6分

用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?/p>

；

17.本小題7分

已知關于x的一元二次方程

Ⅰ求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

Ⅱ若的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5，當是等腰三角形時，求的周長．18.本小題8分

如圖，平面直角坐標系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，的頂點均在格點上.

將繞點F順時針旋轉得到，畫出

若由繞著某點旋轉得到的，則這點的坐標為______.19.本小題9分

如圖，在四邊形ABCD中，，O為對角線AC的中點，過點O作直線分別與四邊形ABCD的邊AD，BC交于M，N兩點，連接CM，AN，使得MN平分

求證：四邊形ANCM為菱形；

當四邊形ABCD是矩形時，若，，求DM的長.20.本小題10分

某公司生產(chǎn)中考專用跳繩，每條需要成本50元，銷售單價不低于62元，且不高于80元．根據(jù)市場調研，當每條定價為70元時，日均銷量為1100條，銷售單價每提高1元，則日均銷售量減少50條．

求出該跳繩的日均銷量y與銷售單價x之間的函數(shù)關系式；

當跳繩的單價定為多少元時，公司所獲的總利潤最大？最大利潤為多少元？

公司決定每銷售一條跳繩，就捐贈n元給農(nóng)村留守兒童基金會．捐款后，公司的日銷售利潤最少為13500元，求n的值．21.本小題9分

已知為等邊三角形，點P為直線l上一動點不與點A重合，直線l，連CP，將線段CP繞點C按逆時針方向旋轉得到線段

如圖1，求證：≌

如圖2，當時，連接PB，試判斷BP與CQ的位置關系，并說明理由.22.本小題9分

跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分如圖中實線部分所示，落地點在著陸坡如圖中虛線部分所示上，著陸坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度OA為66m，基準點K到起跳臺的水平距離為75m，高度為設運動員從起跳點A起跳后的高度與水平距離之間的函數(shù)關系為

若時，運動員落地點要超過K點，求b的取值范圍為多少？

若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由.23.本小題12分

已知拋物線與x軸交于點、，與y軸交于點

求拋物線解析式；

如圖①，若點P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點P作于點D，求線段PD長的最大值；

如圖②，若點N是拋物線上另一動點，點M是平面內(nèi)一點，是否存在以點B、C、M、N為頂點，且以BC為邊的矩形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：，

，

方程沒有實數(shù)根，

故選：

先求出，判斷的正負，即可得出選項．

本題考查了根的判別式的應用，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關鍵．2.【答案】B

【解析】解：由題意可知：，

由根與系數(shù)的關系可知：，

則原式

故選：

根據(jù)根與系數(shù)的關系以及方程的解的定義即可求出答案．

本題考查一元二次方程的解，根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練運用根與系數(shù)的關系，本題屬于基礎題型．3.【答案】C

【解析】解：，拋物線開口向上，對稱軸，

當時，y隨x的增大而減?。?/p>

故選

，拋物線開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，利用對稱軸公式，先求對稱軸，再求符合條件的取值范圍．

拋物線的增減性由對稱軸方程和開口方向來判斷．4.【答案】D

【解析】解：如圖，連接OA、OB，過O作AB的垂線；

在中，，；

，；

；

四邊形ADBE是的內(nèi)接四邊形，

；

因此弦AB所對的圓周角有兩個：或；

故選

連接OA、OB，過O作AB的垂線，通過解直角三角形，易得出的度數(shù)；由于弦AB所對的弧有兩段：一段是優(yōu)弧，一段是劣弧；所以弦AB所對的圓周角也有兩個，因此要分類求解．

本題考查的是圓周角定理、垂徑定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質；注意：弦AB所對圓周角有兩個，不要漏解．5.【答案】C

【解析】【分析】

本題利用了直徑所對的圓周角是直角和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．由BD為的直徑，可證，又由圓周角定理知，，即可求

【解答】

解：為的直徑，

，

，

故選6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，結合圖象得出答案是解決問題的關鍵.

因為和為方程的兩根，所以滿足方程，再由已知條件、結合圖象，可得到，，a，b的大小關系.

【解答】解：畫出二次函數(shù)的圖象與直線，如圖所示，兩圖象的交點的橫坐標就是方程的兩個根，即，，

而a，b是二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標，

結合圖象知

故選7.【答案】B

【解析】解：將化為頂點式，得

將拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為，

故選：

根據(jù)函數(shù)圖象向上平移加，向右平移減，可得函數(shù)解析式．

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，函數(shù)圖象的平移規(guī)律是：左加右減，上加下減．8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了旋轉的性質的運用．旋轉前后對應邊相等，對應點與旋轉中心的連線相等，且夾角為旋轉角．由旋轉的性質可知，，，在中，由內(nèi)角和定理求，根據(jù)外角定理可求

【解答】解：在中，，，

為等腰三角形，

，

為的外角，

，而與為對應角，

，

，

故選9.【答案】D

【解析】解：二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，此函數(shù)圖象與x軸相交于P、Q兩點，且，

該函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線，與x軸的交點坐標為，，

已知圖形通過、、三點，

如圖，

由圖形可知：，，

故選：

根據(jù)題意可以得到該函數(shù)的對稱軸，開口方向和與x軸的交點坐標，從而可以判斷a、b、c、d的正負，本題得以解決．

本替考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．10.【答案】B

【解析】解：如圖：，，并且圖象與y軸相交于點，

可知該拋物線開口向下即，，

①當時，，即；

，

，

，

故①錯誤；

②當時，，

，

，

，

故②錯誤；

③，，

，

又，

，

，

故③正確；

④，，

又，

故④正確．

故選：

由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

本題考查了拋物線與x軸的交點及二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，根據(jù)圖象找到所需的條件，同時利用根與系數(shù)的關系及不等式的性質是解題的基本思路．11.【答案】

【解析】解：對于一元二次方程，

設，

所以，

而關于x的一元二次方程有一根為，

所以有一個根為，

則，

解得，

所以必有一根為

故答案為：

對于一元二次方程，設，則，利用有一個根為，所以，從而可判斷一元二次方程必有一根為

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．12.【答案】1

【解析】【分析】

本題需先根據(jù)已知條件列出關于m的等式，即可求出m的值．

本題主要考查了根的判別式，在解題時要注意對根的判別式進行靈活應用是本題的關鍵．

【解答】

解：的方程為常數(shù)有兩個相等實數(shù)根

故答案為：113.【答案】10

【解析】解：根據(jù)題意得，，

，

故答案為：

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，兩根之和等于，兩根之積等于，進行計算即可．

本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系．熟練掌握兩根之和等于，兩根之積等于，是解題的關鍵．14.【答案】

【解析】解：如圖，連接AD、AC、OD，AC與OD相交于H點，

，

為直徑，

，

在中，，

弦BD平分，

，

，

，

，

，

，

在中，，

在中，，

故答案為：

連接AD、AC、OD，AC與OD相交于H點，根據(jù)圓周角定理得到，利用勾股定理計算出，再利用垂徑定理得出，則，，，再利用勾股定理計算出AD，再計算出BD即可．

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，半圓或直徑所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑，也考查了垂徑定理和勾股定理．15.【答案】2

【解析】解：當P到x軸的距離最小時，

點P在線段BC上，

設的邊長為a，以C為圓心a為半徑作圓，當與x軸相切時，如圖所示，切點為H，此時點P是直線EF：x軸的“伴隨點”．且點P到x軸的距離最小，

則C的縱坐標為a，即，

是等邊三角形，且軸，設BC交于點D，則，

，

，

，

，

解得：或舍去，

等邊三角形ABC的邊長為2；

故答案為：

當P到x軸的距離最小時，點P在線段BC上，設的邊長為a，以C為圓心a為半徑作圓，當與x軸相切時，如圖所示，切點為H，此時點P是直線EF：x軸的“伴隨點”．且點P到x軸的距離最小，則C的縱坐標為a，即，是等邊三角形，且軸，設BC交于點D，則，得出，根據(jù)即可求解．

本題考查了坐標與圖形性質，等邊三角形的性質，勾股定理，熟練運用勾股定理解決問題是解題的關鍵．16.【答案】解：原方程變形為：，

，

或，

，

，

，

，

，

，

或；

解得：，

【解析】先移項，然后根據(jù)配方法解一元二次方程，即可；

先計算，然后再移項，最后根據(jù)十字相乘法解方程，即可．

本題考查一元二次方程的解法，解題的關鍵是掌握解一元二次方程的方法十字相乘法、因式分解法．17.【答案】Ⅰ證明：，

，

無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

Ⅱ﹚解：是等腰三角形；

當時，，

，

解得k不存在；

當或時，則方程的一個根為5，代入方程可得：

，

整理得：，

解得或4，

當時，原方程為，解得：或，

等腰三角形的底邊長為4，

此時，等腰三角形的周長為；

當時，原方程為，解得：或，

等腰三角形的底邊長為6，

此時，等腰三角形的周長為，

的周長為14或

【解析】【試題解析】

本題考查了一元二次方程為常數(shù)的根的判別式當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．同時考查了一元二次方程的解法．

要證明無論k為何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根，就是證明，而，所以；

根據(jù)等腰三角形的性質，分三種情況討論：①，②，③；后兩種情況可放在一起分析.18.【答案】

【解析】解：如圖所示，即為所求．

如圖所示，點P即為所求，其坐標為

分別作出點D、E繞繞點F順時針旋轉得到的對應點，再首尾順次連接即可；

根據(jù)旋轉變換的性質可確定旋轉中心．

本題主要考查旋轉變換，解題的關鍵是掌握旋轉變換的定義與性質，并據(jù)此得出變換后的對應點．19.【答案】證明：，O為對角線AC的中點，，

，，

在和中，

，

≌，

，

，

四邊形ANCM為平行四邊形；

平分，

，

，

，

，

，

平行四邊形ANCM為菱形；

解：四邊形ABCD是矩形，

，，

，

，

在中，根據(jù)勾股定理得：，

，

解得

故DM的長為

【解析】根據(jù)全等三角形的性質得到，可得平行四邊形，再根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)平行線的性質得到，得到，根據(jù)菱形的判定定理得到平行四邊形ANCM為菱形；

根據(jù)菱形的性質得到，，根據(jù)勾股定理得到即可得到結論．

本題考查了矩形的性質、菱形的判定和性質，全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質，解決本題的關鍵是證明≌20.【答案】解：根據(jù)題意得，，

即日均銷量y與銷售單價x之間的函數(shù)關系式為；

設跳繩的單價定為x元時，公司所獲的利潤為w元，

根據(jù)題意得，，

，

當跳繩的單價定為71元時，公司所獲的總利潤最大，最大利潤為22050元；

根據(jù)題意可得，利潤，

的對稱軸為直線，

且，

當時，最小，即，

解得

綜上，n的值為

【解析】根據(jù)“銷售單價每提高1元，則日均銷售量減少50條”可得出y與x的關系；

設跳繩的單價定為x元時，公司所獲的利潤為w元，根據(jù)“日利潤=單件利潤日銷量”可得出w與x之間的關系；再根據(jù)二次函數(shù)的性質可得出結論；

利潤，結合二次函數(shù)的性質可得出當時，利潤最小，列出關于n的方程，解之即可．

本題考查一次函數(shù)解析式的求解，二次函數(shù)的應用，在解題的過程中，注意正確找出等量關系是解題的關鍵，屬于基礎題目．21.【答案】證明：將線段CP繞點C按逆時針方向旋轉得到線段CQ，

，，

是等邊三角形，

，，

，

在和中，

，

≌；

解：且平分理由如下：

延長PB交CQ于點D，如圖，

由知：≌，

，

，是等邊三角形，

，

點B在CQ的垂直平分線上，

線段CP繞點C按逆時針方向旋轉得到線段CQ，

，，

是等邊三角形，

，

點P在CQ的垂直平分線上，

在CQ的垂直平分線上，

且平分

【解析】根據(jù)旋轉的性質可得，，根據(jù)等邊三角形的性質可得，，利用SAS即可得證；

延長PB交CQ于點D，連接PQ，證明點B在CQ的垂直平分線上、點P在CQ的垂直平分線上，則PB在CQ的垂直平分線上，即可得出結論．

本題主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．22.【答案】解：，

，

運動員落地點要超過K點，

當時，，

即，

解得；

他的落地點能超過K點，理由如下：

運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，

拋物線的頂點為，

設拋物線解析式為，

把代入得：

，

解得，

拋物線解析式為，