2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義之圓錐曲線（教師版）

2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圓錐曲線

目錄

專題01圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題

專題02圓錐曲線中的面積問題

專題03圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題

專題04圓錐曲線中的范圍問題

專題05圓錐曲線中的定點(diǎn)問題

專題06圓錐曲線中的定值問題

專題07圓錐曲線中的向量共線問題

專題0圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題

一、單選題

1.設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為伉半焦距為C,則過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)是()

A.—B.—C.—D.—

aaaa

【答案】。

【分析】

設(shè)橢圓焦點(diǎn)在/軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+且7=1(0>6>0),將力=?；?=一。代入橢圓的標(biāo)

ab

準(zhǔn)方程，求出g,由此可求得結(jié)果.

【詳解】

、T2y2

設(shè)橢圓焦點(diǎn)在力軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；+4=1(a>b>0),

ab

2222

_a2—c2__b2

?IT?(女4，、小句嗎包、Z7糕，于，，一

abbaa2a9

解得片±3因此，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)是等

故選：D.

2.已知橢圓C：Y+娟=1,直線I過橢圓C的左焦點(diǎn)F且交橢圓于A,B兩點(diǎn)，AB的中垂線交立軸于M點(diǎn)、,

則端的取值范圍為()

[X與

A.(16，4)C(3)D.心’21

【答案】B

【分析】

當(dāng)Z:沙=0時(shí)，F(xiàn)M=g,設(shè)—=my—1W0)與橢圓聯(lián)立可得：(vr？+z)/—2mg—1=0,然后

\AB\8

求得八3的中垂線方程，令y=0，得八八一一」,0),然后分別利用兩點(diǎn)間的距離公式和弦長(zhǎng)公式

\m+21

求得\MF\,\AB\2,建立粵^求解.

\AB\~

【詳解】

2

橢圓。：今+才=1的左焦點(diǎn)為F(—1,0),

當(dāng)，：沙=0時(shí)，A(-V2,0),B(V2,0),M(0,0),\FM\=\,\AB\=272,

FM_i

所以畫一百,

x=my—1

設(shè)/：/=nzg—l(mWO)與橢圓聯(lián)立《/2_1，可得:

(5+沙=1

(rr^+2)y2—2my—1=0,

?1?

?ooO^Ooo-

2m

yi+y2=

由韋達(dá)定理得:-1

"曲=薪而

—2m

取AB中點(diǎn)為。

m2+2'm2+2)'

所以AB的中垂線方程為:

j_1/m\2

IDM：H=------[y-2IC，

m\m2+2>m2+2

令“=。,得M/o）,

所以|叱|=嗎3,

m+2

又j（l+表）［（%+紡）J4%?%］=北魯,

所以端7（裔）=-?

綜上所述

故選：8.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：i、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,

消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”

解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.

2、設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，4（曲，yj,B（x:,y.J,

22

則弦長(zhǎng)為\AB\=V（^i-<E2）+（yi-y2）=J（1+。）［（g+a^）?-g］=

+5）［（%+紡）2—4%?紡］（k為直線斜率）.

注意：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零.

3.過橢圓9/+25婿=225的右焦點(diǎn)且傾斜角為廳的弦長(zhǎng)的長(zhǎng)為（）

90

A.5B.6C.音D.7

【答案】。

【分析】

求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得答案.

【詳解】

由9/+25/=225得，1+舁=1,<?=25,*=9,所以c'=16,右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,直線AB的方程

259

y=x—4

為0=/一4,所以"I,_得34/2—20Ckc+175=0,

,25+T=1

設(shè)4（電,助）,6（72，劭），所以①1+/2=爺~01工2=您~,

22

|AB|=V（a?i-T2）+（yi-y2）=J（1+肥）［（為+小］一4皿g］

-2?

?ooO^Ooo-

=機(jī)+】）[（愣Mx*卡

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與橢圓的弦長(zhǎng)公式=J（1+a2）[（g+g）2—,由韋達(dá)定理的應(yīng)用.

22

4.橢圓。:％+*=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別是E、E,斜率為1的直線/過左焦點(diǎn)后且交。于A,B

ab2

兩點(diǎn)，且△ABE的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)是2兀,若橢圓。的離心率為eC則線段的長(zhǎng)度的取值范圍

是（）

【答案】3

【分析】

先利用等面積法可得：yx4Q?丁=1x2c?\yi-y2\,求解出01—仍1的值，然后根據(jù)弦長(zhǎng)公式\AB\

J1+白幼一例|的取值范圍.

【詳解】

設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,由題意得yX4a-rX2c-|y1-y2|

得而—如=/e[,4],L=JiTj\yt-y2\=V5\y1-y2\G[-^-,4V5].

故選：8.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓焦點(diǎn)三角形問題，考查弦長(zhǎng)的取值范圍問題，難度一般.解答時(shí)，等面積法、弦長(zhǎng)公式的

運(yùn)用是關(guān)鍵.

二、多選題

5.已知拋物線y2=2Px（p>0）的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線/交拋物線于4、B兩點(diǎn),以線段AB為直徑的圓

交“軸于朋\N兩點(diǎn)，則（）

A.若拋物線上存在一點(diǎn)E（2工）到焦點(diǎn)F的距離等于3,則拋物線的方程為“=4/

B.若以F|=2|BR|,則直線/的斜率為20

C.若直線/的斜率為四，則|AB|=￥

D.設(shè)線段的中點(diǎn)為P,若點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離為2,則in/PMN的最小值為-

【答案】AD

【分析】

由拋物線的定義求得夕的值，可判斷4選項(xiàng)的正誤;設(shè)直線/的方程為x=my-\-設(shè)點(diǎn)？1（力1,%）、

6（七,紡），將直線/的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可求得小的值，可判斷8選項(xiàng)的正誤;

利用韋達(dá)定理結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可判斷。選項(xiàng)的正誤;設(shè)直線I的方程為x=my+1,設(shè)點(diǎn)

4%%）、石（力2,統(tǒng)），聯(lián)立直線,與拋物線的方程，求得點(diǎn)廣到夕軸的距離和\AB\，可得出sinAPMN

?3?

關(guān)于小的表達(dá)式，可判斷。選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)于4選項(xiàng)，由拋物線的定義可得出印=2+?=3,解得0=2,

所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為才=4%A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖所示：

拋物線的焦點(diǎn)為網(wǎng)多0),設(shè)點(diǎn)4處功)、B(72,m)，設(shè)直線AB的方程為力=my+y,

聯(lián)立<xmy+2，消去/并整理得，_2館「夕—22=0,△=4m2/)2+4p2>0恒成立，

巖2=2px

由韋達(dá)定理可得%+紡=2mp,/紡=一

由于|/斤|=2舊同，由圖象可得#=2屈，即((■—如一S)=2(g-],夕2),

yi=—2y2j—

yi+y-2=27np,解得m=±管,

{,曲=一/

所以，直線/的斜率為=±2淄，8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

m

對(duì)于「選項(xiàng)，當(dāng)直線1的斜率為，^時(shí)，由B選項(xiàng)可知，7n=?：，%+。2=言之0,

OO

由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得|AB|=g+g+p=2^(%+?/2)+2p=x當(dāng)Jp+2p=~|~p,。選

OOOO

項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于3選項(xiàng)，拋物線的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線的距離為2=2,則該拋物線的方程為y—41.

設(shè)直線，的方程為力=rng+1,設(shè)點(diǎn)>1（孫功）、8（72,仍），

聯(lián)立［?7"+1,消去/可得y2—4nly—4=0,A=16m2+16>0,

I。=4/

2

則Vi+y2=4m,/.x{+x2=m（7/i+y2）+2=4m+2,

\AB\g軸的距離為d==2-2+1,

病

所以，2+1=i_1_J

sinZF7W=22

j\AB\2m+22（m+l）=22

當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，等號(hào)成立，。選項(xiàng)正確.

?4?

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線的綜合問題，考查了拋物線焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)以及焦點(diǎn)弦長(zhǎng)、焦半徑的計(jì)算.

本題中將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得出點(diǎn)4、B的縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系，并結(jié)合

了拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中等題.

三、解答題

6.如圖，P是直線恒=2+3上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)/且與/垂直的直線/'交拋物線。:娟=2于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)4在

之間.

(1)若廠過拋物線。的焦點(diǎn)G求\AB\；

⑵求藍(lán)的最小值.

【答案】⑴2;⑵--］：幣.

【分析】

⑴先求出直線/'的方程，聯(lián)立直線與拋物線，將韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式相結(jié)合即可得結(jié)果；

\PA\

(2)設(shè)+聯(lián)立方程組分別求出4,8,P的縱坐標(biāo)，將表示為關(guān)于t的函數(shù)式，結(jié)合

\PB\

基本不等式即可得結(jié)果.

【詳解】

解：⑴由已知得尸?,0),所以，:沙=—/+，

聯(lián)立得［彳="土］，消去/，可得y+y—；=°，

［y2=x4

設(shè)點(diǎn)4(如協(xié))，B(x2,y2),

%+例=一1

由根與系數(shù)的關(guān)系得

yiy=-j

所以|AB|=721^-y21=72XJ(%+紡)2—4切的=2.

(2)AB:y=-x+力，由=0,

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，.?.△=1+41＞0=＞土＞—

的省.——1+Vl+4t-1-VTT4t

解付.VA~2，爪

2

?5?

ooO^Ooo-

由｛。丁，得"

由于點(diǎn)>1在點(diǎn)/，，點(diǎn)B之間，

川VP~VAt+4—V1+4t12，1+41

Bh-以

\PB\yp~VB力+4+A/1+4力力+4+A/1+4t

設(shè)V1+4t=u(u>0),

廬川i8u8419-4V15

所以

\PB\“2+15+4U15V15+211

u+u+4

當(dāng)且僅當(dāng)〃=A/IK時(shí)，即i：=」時(shí)取等號(hào).

,,」尸川以b一+工19-4V15

故的瑕小值為

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

⑴直線弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用；

（2）將所求量表示為關(guān)于力的函數(shù)，利用基本不等式求最值.

7.已知橢圓「+Z=l（a>b>0）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的兩倍，連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為」，

ab

直線I過點(diǎn)4（一。,0）,且與橢圓相交于另一點(diǎn)B.

（1）求橢圓的方程；

（2）若線段長(zhǎng)為:"，求直線/的傾斜角.

5

【答案】⑴?+靖=1;⑵］或弩.

【分析】

由題設(shè)列出基本量方程組，解得基本量，從而得方程.

（2）設(shè)直線I方程,代入橢圓方程得關(guān)于力的一元二次方程，韋達(dá)定理整體思想及弦長(zhǎng)公式得關(guān)于斜

率的方程,解得斜率得直線方程.

【詳解】

2X2b=2a

（1）由題意可知［x2axfox2=4,a=2,6=1,c=V3o

a2=62+c2

2

橢圓方程為：:+/=l

（2）由題可知直線，斜率存在，設(shè)直線I方程為%=k（x+2）代入橢圓方程得：

（4用2+1）］2+16"2%+16k2—4=0,△=16,

==。，解得k=±i,

4爐+15

直線，的傾斜角為或.

【點(diǎn)睛】

本題是橢圓與直線相交弦長(zhǎng)問題,是高考解析幾何中的常見題型.

注意點(diǎn)點(diǎn)睛：

,6?

ooO^Ooo-

①在設(shè)直線時(shí)要注意直線斜率是否存在，做必要的交代；

②代入消元后要交代△的符號(hào)，確定交點(diǎn)是否存在及存在時(shí)的個(gè)數(shù)；

③所得解回代檢驗(yàn)合理性，以確保答案的正確性.

8.已知直線I經(jīng)過拋物線/=6工的焦點(diǎn)且與拋物線交于4、B兩點(diǎn).

（1）若直線/的傾斜角為60°,求線段的長(zhǎng)；

⑵若[4川=2,求出同的長(zhǎng).

【答案】（1）8;（2）6.

【分析】

⑴設(shè)點(diǎn)%）、網(wǎng)g,紡），求出直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出s+g的值,再利用拋物線

的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得線段的長(zhǎng)；

（2）設(shè)直線，的方程為丁=?710+三,設(shè)點(diǎn)>1（如夕1）、6（/2，比），將直線，的方程與拋物線的方程聯(lián)立，

可得出y1y2=-9,由'.F\=2求得◎的值，利用韋達(dá)定理以及拋物線的方程求得心的值，利用拋物線

的定義可求得舊同的長(zhǎng).

【詳解】

⑴設(shè)點(diǎn)40,%）、83,g2）,拋物線才=6%;的焦點(diǎn)為尸管,0）,

由于直線Z過點(diǎn)，且該直線的傾斜角為60°,則直線，的方程為y=—

聯(lián)立<"2）,消去沙并整理得/2—5/+?=0,△=25—9=16>0,

[y2=6x4

由韋達(dá)定理可得11+及=5,由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得\AB\=力1+電+3=5+3=8;

⑵設(shè)點(diǎn)4如.）、6（狽班）,

由題意可知，直線Z不可能與2軸重合，設(shè)直線，的方程為x=my+y,

聯(lián)立<Xmn+2，消去力并整理得，一—9=0,A=36（m2+l）>0,

巖=6/

由韋達(dá)定理可得yi+y2=6m,僅改=一9,

1Api|=Ci+1~=2,可得力1=[,.?.4=6名尸3,“以二一九則信空二27,

N幺V\

2

X2=7^=4，因此，陽戶|=0+1=6.

622

【點(diǎn)睛】

有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題,要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公

式\AB\=/i+z?+p,若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.

9.已知圓上/+/=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作沙軸的垂線段PQ,垂足為Q,當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PQ中

點(diǎn)為加;

（1）求點(diǎn)2W的軌跡方程；

（2）若直線I的方程為g=2—1,與點(diǎn)7W的軌跡交于A,B兩點(diǎn)，求弦MB的長(zhǎng).

2

【答案】（1）1+==1；（2）|-V2.

45

【分析】

?7?

ooO^Ooo-

(1)設(shè)M、尸，利用相關(guān)點(diǎn)法即可求解.

(2)將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式即可求解.

【詳解】

⑴設(shè)破施勢(shì),P(羯伙))aBQ(0,%),

點(diǎn)Af是線段PQ中點(diǎn)，,g=2c,%=y,

又P(±o，Uo)在圓x2+y2=上，(2/)2+才=」，

2

即點(diǎn)N的軌跡方程為x2+=1.

(y=x—l

(2)聯(lián)立"+』=j,消去"可得，51—2/—3=0,

A=(-2)2+60>0,

設(shè)4(如幼)，B(g,"2),

,23

則nlx+x=--,gg=F，

1255

|AB|=A/12+12|^I—^1—(g+/2)2—4g22

=AM)-(/)=竽.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查了軌跡問題、求弦長(zhǎng)，求軌跡的常用方法如下：

(1)定義法：利用圓錐曲線的定義求解.

(2)相關(guān)點(diǎn)法：由已知點(diǎn)的軌跡進(jìn)行求解.

直接法:根據(jù)題意，列出方程即可求解.

10.已知橢圓C：￡+—=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為左、右頂點(diǎn)為乂、口，|F川=3,=

ab

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求直線2/=/+1被橢圓。截得的弦長(zhǎng).

【答案】(1)。+(=1；(2)與2.

【分析】

(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意可得a+c=3,a—c=l,解得a,c,求得b,可得橢圓的方程;

(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得所求值.

【詳解】

(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,由=3,\FB\=1,

可得a+c=3,a—c=l,解得a=2,c=1,

則b=Va2—c2=V4—1=V3,

22

即有橢圓的方程為g+：=1；

(2)聯(lián)立直線沙=6+；和橢圓3/+4#=12,

可得7/+4%—11=0,

設(shè)被橢圓。截得的弦的端點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為為，力2,

?8?

ooO^Ooo-

m?411

則為+電=一7，/便2=--丁，

可得弦長(zhǎng)為Vl+A;2,J(g+/2)2—4g72=V1+1,J(―-4x(-

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：

求解橢圓中的弦長(zhǎng)問題時(shí)，一般需要聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式，即可求出

結(jié)果;有時(shí)也可由直線與橢圓方程聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出弦長(zhǎng).

11.已知直線%:4N—3g—8=0與圓Al：(%+1)2+(?/—1)2=772相交.

(1)求m的取值范圍；

⑵若/與何相交所得弦長(zhǎng)為8，求直線1：x+0—4=0與“相交所得弦長(zhǎng).

【答案】⑴(9,+8);⑵26y.

【分析】

(1)由圓Al：(6+1)2+(?/—1)2=772求出圓心和半徑，利用圓心到直線的距離小于半徑即可求解；

(2)由/與711相交所得弦長(zhǎng)為8,利用弦長(zhǎng)的一半、弦心距、圓的半徑滿足勾股定理可求出圓的半徑，

再次利用勾股定理即可求解.

【詳解】

(1)圓八/的圓心為(—1,1),半徑為Vm.

因?yàn)橹本€l'Ax—3g—8=0與圓711:(/+l)'+(g—iy=m相交，

I—1引

所以圓心(一1,1)到/的距離d=---=3<Vm

O

解得：m>9,

即m的取值范圍是(9,+8).

(2)因?yàn)?與M相交所得弦長(zhǎng)為8,

所以772=(]y+32=25,

、I-4|L

因?yàn)閳A心(一1,1)到【：岔+g—4=0的距離(『=—2A/2,

72

所以直線V.x+g—4=0與相交所得弦長(zhǎng)為Nm—d?=2V17.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：有關(guān)圓的弦長(zhǎng)的兩種求法

(1)幾何法：直線被圓截得的半弦長(zhǎng)為，弦心距d和圓的半徑7?構(gòu)成直角三角形，即「+/=/;

(2)代數(shù)法:聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可求

222

得弦長(zhǎng)\AB\=V1+fc|rr1-T2|=V1+ky/(rr1+T2)-4a;13；2或\AB\=/l+-^-|y]-y2|=

n2

12.已知雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,4"分別為雙曲線。的左、右焦點(diǎn).

36

(1)若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且△月PE的面積為3,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若斜率為且經(jīng)過右焦點(diǎn)區(qū)的直線/與雙曲線交于M,N兩點(diǎn),求線段的長(zhǎng)度.

【答案】⑴(孚J)或(乎，T)；(2)873.

?9?

?ooO^Ooo-

【分析】

(1)由雙曲線方程可得㈤網(wǎng)=6,進(jìn)而可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入即可得解；

(2)聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式運(yùn)算即可得解.

【詳解】

(1)由題意，雙曲線的焦距網(wǎng)藥=2存飛=6,

設(shè)點(diǎn)尸(山,八),"1>0,則■㈤耳卜同=3,=3,解得八=±1,

代入雙曲線方程可得力=W』，

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為工」)或1)；

(2)由題意，區(qū)(3,0),則直線7W：u=2：—3,

設(shè)M■⑶,.),N(g，U2),

U-^=1,

由36，化簡(jiǎn)可得力2+6力-15=0,

V=力一3

貝|Jii+g=—6,g%2=—15,

所以\MN\—V1+A;2?J⑶+〃2)2—4「i力2=V2xV36+60=8A/3.

13.設(shè)拋物線。：/=4以尸為。的焦點(diǎn)，過F的直線，與。交于4B兩點(diǎn).

(1)設(shè)/的斜率為2,求|48|的值；

(2)求證：瓦？?瓦為定值.

【答案】(1)5;(2)證明見解析.

【分析】

(1)求出直線方程為g=2(%—1)，聯(lián)立直線與拋物線，由\AB\—\AF\+\BF\=xr+x2+p即可求解;

⑵設(shè)直線方程為2=飩+1,由韋達(dá)定理表示出04OB=1便2+%仍，即可得出定值.

【詳解】

(1)依題意得F(l,0),

所以直線/的方程為y=2(/—1).

設(shè)直線/與拋物線的交點(diǎn)為力(為，幼)，B(g,紡)，

由卜2=?"一。得，/—3C+1=0,

所以Xi+x2=3,XiX2—1.

所以\AB\=\AF\+\BF\=Xi+x2+p=3+2=5.

(2)證明：設(shè)直線Z的方程為x=ky+l,

A(a;i,7/1),

直線/與拋物線的交點(diǎn)為B(X2,紡),

由丁譽(yù)+1得，戶颯—4=0,

所以%+%=4A：,“四2=—4.

因?yàn)椤??QB=(電，%)?(g,i/2)=x}x2+yxy2=(fcyj+1)(fcy2+l)+y[y2

=/伊必+必幼+緲)+1+W2=-4fe2+4A;2+l-4=-3.

所以。X?瓦為定值.

【點(diǎn)睛】

-10?

?ooO^Ooo-

方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：

(1)得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為4(g,yj,B(a;2,%)；

(2)聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于對(duì)或g)的一元二次方程;

(3)寫出韋達(dá)定理；

(4)將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為小+z-形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

22

14.已知橢圓A/：二+j=l(a>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為口(―L0),左右頂點(diǎn)分別為經(jīng)過點(diǎn)少的直線，與橢

a3

圓Al交于兩點(diǎn).

(I)求橢圓Af方程；

(II)當(dāng)直線/的傾斜角為45°時(shí),求線段CD的長(zhǎng)；

(III)記△AB1與△ABC的面積分別為Si和&，求IS—S』的最大值.

【答案】(1耳+:S2I的最大值為一.

【分析】

(I)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出可得結(jié)果;

(II)聯(lián)立直線與橢圓，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果;

III設(shè)直線/:%=如一1(1W0),。(如/)，。(力2,仍)，聯(lián)立直線I與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求出

%+伊，Is—S,|=1型1，變形后利用基本不等式可求得最大值.

3r+4

【詳解】

(I)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為F(—1,0)，所以。=1且匕2=3,所以。2=方2+(?=3+1=4,

所以橢圓方程為—1.

II,1因?yàn)橹本€/的傾斜角為45°,所以斜率為1,直線，的方程為y=x+l,

y=x+l

聯(lián)立二，消去。并整理得7k+8力—8=0,

設(shè)。(孫幼)，。(電,統(tǒng))，

則x1+x2=--,gg=一亍，

所以ICD|=VT+Tx小子百*1=，.

(m)由(I)知4—2,0),8⑵o),

設(shè)直線z：x=ty-l(t^o),C(0,%),￡)(a:2,y2),

x=ty-l

聯(lián)立%,娟_］，消去/并整理得(31+4)靖一6%一9=0,

IT+T=1

卅Q

則yi+y-2=2,yiy2=-3<0,所以“，仇異號(hào),

所以=<電』］=2||小威］——

12<12焉=右當(dāng)且僅當(dāng)陽=竽時(shí)，等號(hào)成立.

-3陽+俞、2尸彳

?11?

ooO^Ooo-

所以\s-s2\的最大值為，

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第(明問中將三角形面積用(兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示，并利用韋達(dá)定理和基本不等式解

決是解題關(guān)鍵.

15.已知橢圓。：工+￡=l(a>b>0)的離心率為:，點(diǎn)在橢圓。上，直線。過橢圓。的右焦點(diǎn)

與上頂點(diǎn)，動(dòng)直線打夕=fcc與橢圓。交于M,N兩點(diǎn)，交I于P點(diǎn).

(1)求橢圓。的方程；

(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足|QP|=：|AW],求此時(shí)的長(zhǎng)度.

【答案】(1)。+(=1；(2)4或生等.

【分析】

(1)根據(jù)e=￡==，以及.7+—：即可求解.

。2ab

221

⑵將直線。與%+號(hào)=1聯(lián)立，求出交點(diǎn)監(jiān)再由QR=可得點(diǎn)P為。Ai的中點(diǎn)，根據(jù)

“在直線li:V3x+y—V3=0上求出點(diǎn)7W即可求解.

【詳解】

(1)由題意得一=—=士~\?一=1,結(jié)合Q2=b2+c2,

a2優(yōu)b

解得Q2=4,尸=3,c2=1,

故所求橢圓的方程為—-F=1.

4O

；,)易知定直線，1的方程為V3^c+y--\/3—0.

y=kx

聯(lián)立二人十

I4十3

不妨令M■點(diǎn)的坐標(biāo)為12

3+4配

V\OP\=^\MN\,由對(duì)稱性可知,

12

點(diǎn)P為OAf的中點(diǎn)，故P3+4后

又在直線。：+0一0上，

2fc2

l7s+4fc73+4fc廠

故GXV3；或+Y3；或_^3=0；

解得自=0,自=竽，

故。點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)或(1,將),

所以QM=2或區(qū)誓，所以|AW|的長(zhǎng)度為4或生紅.

55

【點(diǎn)睛】

?12?

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是求出Af點(diǎn),根據(jù)對(duì)稱性可知,確定點(diǎn)P為OM的中點(diǎn)，考查了計(jì)算求解能

力.

22

16.已知橢圓￡；：—+—=l(a>fe>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，回，￡分別為橢圓的左、右焦

ab

點(diǎn)，且b?=a,其離心率為J：,過點(diǎn)”(0,1)的動(dòng)直線2與橢圓相交于4B兩點(diǎn).

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)/⑹=手時(shí),求直線/的方程

【答案】(1)亍+^-=1；⑵y=±x+1或g=±］力+L

【分析】

b2=a,

(1)首先根據(jù)題意得到=v?,，再解方程組即可得到答案.

a2=b2+c2,

(2)首先設(shè)出直線方程“三卜工+1,與橢圓聯(lián)立，利用根系關(guān)系和弦長(zhǎng)公式即可得到方程4k：l-5k'+l

=0,再解方程即可得到答案.

【詳解】

b2=a,

(1)由題意知卓，

a2=b2+c2,

解得。2=4,*=2.

/y2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1十萬=L

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)"48|=20,不符合題意.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí),設(shè)直線/的方程為g三kx+1,

叱%之=1

聯(lián)立彳4十2一,得(2r+l)/+4N—2=0,

巖=hr+1

其判別式△=(4fc)2+8(2fc2+l)=8(4fc2+l)>0.

Ak9

設(shè)點(diǎn)力，B坐標(biāo)分別為(力1，%)，(二2,紡)，貝IX+X=—.XX=-.

222k+1?X22k+1

所以=V1+fc2J(6I+.2)2—4力］22=V1+fc2?,

整理得4fc4-5fc2+l=0,解得/=1或必=：,

所以k=±l或k=士1.

綜上，直線/的方程為y=±x+1或。=±；%+1.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查直線與橢圓的弦長(zhǎng)問題，本題中將直線方程代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利根

系關(guān)系和弦長(zhǎng)公式得到所求的等量關(guān)系為解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

?13?

22

17.如圖，橢圓C：—+々=l(a>b>0)的離心率為-,過橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD.

ab~2

當(dāng)直線48的斜率為0時(shí)，|AB|=4.

(I)求橢圓的方程；

(II)求使\AB\+\CD\取最小值時(shí)直線AB的方程.

22

【答案】(I+卷=1;(II)/一g—1=0或%+g—1=0.

4O

【分析】

I由離心率及6=川+乙可得出。=2,b=V3,進(jìn)而寫出橢圓的方程；

(II)進(jìn)行分類討論，①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為。時(shí),另一條弦所在直線的斜率不存在，

不滿足題意;②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為。時(shí),設(shè)直線AB的方程為"=—?jiǎng)t直線

(/)的方程為y——^-(6—1),分別將直線八「3與。/】的方程與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得出力]+力2

和的電的表達(dá)式，然后利用弦長(zhǎng)公式求出\AB\+\CD\的表達(dá)式，然后利用基本不等式求出AB\+

\CD\取得最小值時(shí)k的值，最后寫出直線的方程即可.

【詳解】

22

I由題意知e=1~~,2Q=4,又a/=62+C2,解得a=2,b—V3,所以橢圓方程為=1;

(n)①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為o時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在時(shí)，由題意知

|AB|+|CD|=7,不滿足條件；

②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí),設(shè)直線4B的方程為y=k(x—1),

則直線CD的方程為y=一~—1),設(shè)4如幼)，石(力2,紡)，

8k2

將直線的方程代入橢圓方程中并整理得(3+4君/—8//+4爐—12=0，則為+的-7,

3+4fc2

4fc2-12

x-

23+4/'

22

所以=y/k+l\xl—x2\=Vfe+1,J（力i+g）2—=12（-+：）,

3+4k

12（表+1）_12耐+1）

同理，|。。|二

3+/3fc2+4'

12（fc2+l）[12（fc2+l）84（fc2+l）284（肥+1）248

所以|AB|+|CE）|=〉

3+4fc23肥+4（3+4肥）（3昭+4）3+4fe2+3fc2+4\27，

2

當(dāng)且僅當(dāng)3+4fc2=3k2+4即k=±1時(shí)，上式取等號(hào)，所以直線AB的方程為*一0一1=0或c+0—

1=0.

【點(diǎn)睛】

?14?

易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，

對(duì)于第二問，應(yīng)該對(duì)斜率存在與否進(jìn)行分類討論，注意別漏掉斜率不存在的情形，考查邏輯思維能力

和的分析計(jì)算能力，屬于中檔題.

2

18.已知拋物線ay=2Px@>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2,且過點(diǎn)F的直線I被拋物線。所截得的弦長(zhǎng)

MN為8.

(1)求直線/的方程；

(2)當(dāng)直線/的斜率大于零時(shí),求過點(diǎn)且與拋物線。的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

【答案】(1)夕=土—1或g=—x+1;(2)(x-3)2+(y—2)2=16或(宓-11)2+(y+6)2=144.

【分析】

⑴由題意得〃=2,網(wǎng)1,0),丁=4%當(dāng)直線，的斜率不存在時(shí)，不合題意；當(dāng)直線，的斜率存在時(shí)，設(shè)方

程為夕=k(x—1)(卜￥。)，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求出弦長(zhǎng)，結(jié)合已知弦

長(zhǎng)可求得結(jié)果；

(2)設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為5),%),根據(jù)幾何方法求出圓的半徑，根據(jù)直線與圓相切列式解得圓心坐

標(biāo)和半徑,可得圓的方程.

【詳解】

(1)由題意得P=2,網(wǎng)1,0),/=4x

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，其方程為久=1,此時(shí)=2p=4W8,不滿足，舍去；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k(x—1)(卜￥0)

由‘得堵x2—(2fe2+4)rr+k2=0

[y=4x

設(shè)^^如小工/^的紡工則△=161+16>0,且①]+g=2kJ4

Ki

由拋物線定義得+|7VF*|=(g+1)+(g+l)—西+力2+2———+2———-^-―

kk

即「士工=8,解得k=±i

k

因此，的方程為y=x—l或y=-x+1.

(2)由(1)取k=l,直線，的方程為沙=力一1,所以線段7VW的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),

所以MN的垂直平分線方程為y—2=—(力一3),即9=

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(g,/))，該圓的圓心到直線，的距離為d,則d=小，則該圓的半徑為

V2

2001)

)=7^16=^-2-+16,

y0=-xG+5

因?yàn)樵搱A與準(zhǔn)線力=-1相切，所以<(&+1)2=廝『)2+16，

0=3p0=11

解得,

yo=2ly0=-6

當(dāng)圓心為(3,2)時(shí),半徑為[，當(dāng)圓心為(11,-6)時(shí),半徑為12,

因此所求圓的方程為Q-3)2+(y-2)2=16或Q—11)