高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）全書(shū)習(xí)題解答第4章（中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用）

PAGEPAGE11習(xí)題解答習(xí)題4.11.驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的正確性．解：因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)且,所以由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)使得．而知，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，確實(shí)存在使得．2.函數(shù)在區(qū)間上是否滿足柯西中值定理的條件？若滿足條件，求出定理中的.解容易驗(yàn)證在區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件．又，而，即，化簡(jiǎn)上式得：，故3.不用求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明方程有幾個(gè)根？并指出它們所在的區(qū)間.（1）解由于f(x)在(－∞,＋∞)內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0所以f(x)在[0,1]、[1,2]、[2,3]上滿足羅爾定理?xiàng)l件因此存在、、，為的根．由于得最高次數(shù)為3，因此只有三個(gè)根，分別在(0,1),(1,2),(2,3)內(nèi)．（2）解容易驗(yàn)證在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，因此存在為的根（無(wú)數(shù)個(gè)）；其中4.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根．證明：作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，．所以滿足羅爾定理的條件．又，由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)使得．即方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根．5.利用中值定理證明下列不等式：（1）；證明(1)設(shè)則f(x)在[ba]上連續(xù)在(ba)內(nèi)可導(dǎo)由拉格朗日中值定理存在(ba)使f(a)f(b)f()(ab)即而所以．（2）；證明（）設(shè)f(x)lnx則f(x)在[ab]上連續(xù)在(ab)內(nèi)可導(dǎo)由拉格朗日中值定理存在(ab)使f(b)f(a)f()(ba)，即因?yàn)?，所以，所?（3）； 證明（3）設(shè)則在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)由拉格朗日中值定理存在使即而所以．（4）.證明（4）設(shè)則在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)由拉格朗日中值定理存在使,即：，因?yàn)椋?，從而所?6.證明：證明設(shè)，因?yàn)樗云渲蠧是一常數(shù)取又因此．7.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，其中，證明：至少存在一點(diǎn)，使得．證明：由題意可知在區(qū)間上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)，且．由羅爾定理，存在使．類似地也存在使．進(jìn)一步，可知在區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件，因此存在，使得．8.設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，且不恒等于常數(shù)，證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．證明：因?yàn)?，且不恒等于常?shù)，所以至少存在一點(diǎn)，使得．不妨設(shè)，顯然在閉區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理，于是至少存在一點(diǎn)，使得．同理可證得情形．9.f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0.試證：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．證明：設(shè)，顯然F(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0，由羅爾定理，至少存在一點(diǎn)，使得，即，從而．10.證明：若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式，且，那么．證明：作輔助函數(shù)，易見(jiàn)在內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，并且,所以其中C是一常數(shù)，即，.又由知．所以.習(xí)題4.21.利用羅必達(dá)法則求下列極限：（1）；解：原式==.（2）；解：原式==.（3）；解：原式====.（4）；解：原式===.（5）；解：原式==-∞.（6）解：原式＝===.（7）解：原式===.（8）解：原式==.（9）；解：原式==2.（10）解：原式====（11）；解：原式=====.（12）；解：原式==，又.所以，原式==.（13）；解：原式==，又，所以，原式=.（14）；解：原式==，又====，所以，原式==（15）；解：原式==，又，所以，原式=（16）；解：原式==.（16）；解：原式==，又，所以，原式=.（18）；解：原式==＝e－1.（19）；解：原式==.2.問(wèn)與取何值時(shí)，有.解：因?yàn)闃O限為0，所以當(dāng)x→0時(shí)，分子極限為0，故3+a=0，a=-3，進(jìn)一步，得3.驗(yàn)證極限存在，但不能用羅必達(dá)法則計(jì)算出來(lái)．解：原式==，所以，極限存在．但是=不存在，不能用羅必達(dá)法則．4.設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，并且，，求．解：.習(xí)題4.31.將多項(xiàng)式展開(kāi)成的多項(xiàng)式．解：因?yàn)?，，，所以按的冪展開(kāi)的多項(xiàng)式為2.應(yīng)用馬克勞林公式，按的冪展開(kāi)函數(shù)．解：因?yàn)?，，，，，所以按的冪展開(kāi)的多項(xiàng)式為3.求函數(shù)的階帶有拉格朗日型余項(xiàng)的馬克勞林公式.解：因?yàn)?，從而?.求函數(shù)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的3階馬克勞林公式.解：，，，，從而的3階馬克勞林公式為，5.求函數(shù)按的冪展開(kāi)的帶有皮爾諾型余項(xiàng)的階泰勒公式.解：因?yàn)?，所?.求函數(shù)的帶有皮爾諾型余項(xiàng)的階馬克勞林展開(kāi)式．解：因?yàn)?，從?7.求常數(shù)、、的值以及的表達(dá)式，使下式成立．解：設(shè)，則，所以因此，，，8.應(yīng)用三階泰勒公式求下列各數(shù)的近似值，并估計(jì)誤差：（1）；（3）解：（1）因?yàn)椋ń榕c之間），所以，而（介與之間），因此.（2）；解：（2）因?yàn)?，，（介與之間），所以，而.（3）；解：（3）因?yàn)椋?，（介與之間），所以，.9.利用泰勒公式求下列極限:(1)(2)(3)解(1)=0(2)設(shè)，則，，故所以=1(3)習(xí)題4.41.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得x(-￥,-1)-1(-1,1)1(1,+￥)y￠0+0y↘↗↘可見(jiàn)函數(shù)在(-￥,-1]、[1,+￥)內(nèi)單調(diào)減少,在[-1,1]內(nèi)單調(diào)增加．（2）；解：（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得：x(-￥,-1)-1(-1,1)1(1,+￥)y￠0+0y↘↗↘可見(jiàn)函數(shù)在(-￥,-1]、[1,+￥)內(nèi)單調(diào)減少,在[-1,1]內(nèi)單調(diào)增加．（3）；解：（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，得駐點(diǎn)，列表得：x(0,1/2)1/2(1/2,+￥)y￠0+y↘↗所以函數(shù)在(0,1/2]內(nèi)單調(diào)減少,在[1/2,+￥)內(nèi)單調(diào)增加．（4）；解：（4）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得：x(0,1)1(1,2)y￠+0y↗↘所以函數(shù)在[0,1]內(nèi)單調(diào)增加,在[1,]內(nèi)單調(diào)減少．（5）；解：（5）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得：x(-￥,-1)-1(-1,1/2)1/2(1/2,+￥)y￠00+y↘↘↗可見(jiàn)函數(shù)在(-￥,1/2]內(nèi)單調(diào)減少,在[1/2,+￥)內(nèi)單調(diào)增加．（6）（）；解：（6）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得駐點(diǎn)，列表得：xy￠0+0-y↘↗↘可見(jiàn)函數(shù)在,內(nèi)單調(diào)減少,在內(nèi)單調(diào)增加．（7）；解：（7）函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?，得駐點(diǎn)，另外為函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)．列表得：xy￠+不存在+0不存在+y↗↗↘↗可見(jiàn)函數(shù)在,內(nèi)單調(diào)增加,在內(nèi)單調(diào)減少．（8）；解：（8）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，得駐點(diǎn)，另外為函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)．列表得：x(-￥,0)0(0,)(,+￥)y￠+不存在-0+y↗↘０↗可見(jiàn)函數(shù)在,內(nèi)單調(diào)增加,在內(nèi)單調(diào)減少．2.證明下列不等式：（1）當(dāng)時(shí)，；證明：（1）設(shè),則f(x)在[1,+￥)內(nèi)連續(xù)．因?yàn)樗詅(x)在(1,+￥)內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)x>1時(shí)f(x)>f(1)=0,即亦.()（2）當(dāng)時(shí)，；證明：（2）設(shè)，則f(x)在[0,/2]內(nèi)連續(xù)，在(0,/2)內(nèi)可導(dǎo)．因?yàn)樗詅(x)在(0,/2)內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)x>0時(shí)f(x)>f(0)=0,即．再設(shè)，則g(x)在(0,/2)內(nèi)可導(dǎo)，并且所以g(x)在(0,/2)內(nèi)是單調(diào)減少的，從而當(dāng)時(shí)，有，即，亦．綜上所敘：當(dāng)時(shí)，有．（3）當(dāng)時(shí)，；證明：（3）設(shè),則f(x)在[0,+￥)內(nèi)連續(xù)．因?yàn)樗詅(x)在(0,+￥)內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)x>0時(shí)f(x)>f(0)=0,即亦.()（4）當(dāng)時(shí)，；證明：（4）設(shè),則f(x)在[0,/2)內(nèi)連續(xù)．因?yàn)?，令，由可知在[0,/2)是單調(diào)增加的，即．從而，于是f(x)在[0,/2)內(nèi)是單調(diào)增加的，有，．即當(dāng)時(shí)，．（5）當(dāng)時(shí)，；證明：（5）設(shè)，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，單調(diào)增加，從而，即，亦即，.(6)當(dāng)、為正整數(shù)，且時(shí)，．證明：（6）設(shè)，則在上連續(xù)，且，令，由可知在（0,+￥)是單調(diào)減少的，即．從而，于是f(x)在（0,+￥)是單調(diào)減少的．因此當(dāng)、為正整數(shù)，且時(shí)，有亦即.3.設(shè)常數(shù)，討論方程在內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)．解：設(shè)，則．令，得駐點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)增加，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)減少，.故由零點(diǎn)定理知，在，內(nèi)分別至少有一零點(diǎn)，由單調(diào)性，方程在內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為2.4.單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是否必為單調(diào)函數(shù)？解：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)．如，因?yàn)?，并且在任何有限區(qū)間內(nèi)只有有限個(gè)零點(diǎn)，因此在內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)，但它的導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)卻不是單調(diào)函數(shù)．5.求下列函數(shù)的極值：（1）；解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且,駐點(diǎn)為列表x(-,0)0(0,1)1(1,+)y+0-0+y↗7極大值↘6極小值↗可見(jiàn)函數(shù)在x=0處取得極大值7,在x=1處取得極小值6.（2）；解：（2）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且,駐點(diǎn)為列表x(-,-3/2)-3/2(-3/2,-1/2)-1/2(-1/2,1)1(1,+)y+0-0+0+y↗0極大值↘-27/2極小值↗↗可見(jiàn)函數(shù)在x=-3/2處取得極大值0,在x=-1/2處取得極小值-27/2.（3）；解：（3）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且．令，駐點(diǎn)為列表x(-,0)0(0,+)y-0+y↘0極小值↗可見(jiàn)函數(shù)在x=0處取得極小值0.（4）；解：（4）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且,駐點(diǎn)為，不可導(dǎo)點(diǎn)為．列表x(-,-a)-a(-a,0)0(0,a)a(a,+)y-不存在+0-不存在+y↘0極小值↗極大值↘0極小值↗可見(jiàn)函數(shù)在處取得極小值0,在處取得極大值.（5）；解：（5）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且,駐點(diǎn)為，不可導(dǎo)點(diǎn)為．列表x(-,-1)-1(-1,1/2)1/2(1/2,5)5(5,+)y-不存在+0-0+y↘0極小值↗極大值↘0極小值↗可見(jiàn)函數(shù)在處取得極小值0,在處取得極大值.（6）（）；解：（6）,駐點(diǎn)為．列表x(-,)(,+)y+0-y↗極大值↘可見(jiàn)函數(shù)在處取得極大值.（7）；解：（7）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且，駐點(diǎn)為，．由于，知為極大值；，知為極小值．（8）.解：（8）函數(shù)的定義域?yàn)?且，駐點(diǎn)為,列表x(0,12/5)12/5(12/5,+)y-0+y↘-1/24極小值↗可見(jiàn)函數(shù)在處取得極小值.6.問(wèn)為何值時(shí)，函數(shù)在處取得極值？它是極大值還是極小值？并求此極值．解：,，要使函數(shù)在處取得極值,必有,即，.當(dāng)時(shí),.因此,當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)在處取得極值,而且取得極大值,極大值為.7.求下列函數(shù)的最大值或最小值，如果都存在，均求出：（1），；解：（1），令,得駐點(diǎn)為．（其中不在定義域內(nèi)）計(jì)算函數(shù)值得，，. 經(jīng)比較得出函數(shù)的最大值為，最小值為.（2），；解：（2），，在內(nèi)，函數(shù)的駐點(diǎn)為，不可導(dǎo)點(diǎn)為.計(jì)算函數(shù)值得，，，，.經(jīng)比較得出函數(shù)的最大值為，最小值為.（3），；解：（3），令,得駐點(diǎn)為．計(jì)算函數(shù)值得,,經(jīng)比較得出函數(shù)的最大值為，最小值為.（4），；解：（4），令,得駐點(diǎn)為（其中不合）．列表得x(0,1)1(1,+)y+0-y↗極大值↘所以函數(shù)在x=1處取得極大值.又因?yàn)轳v點(diǎn)只有一個(gè),所以這個(gè)極大值也就是最大值,即函數(shù)在x=1處取得最大值,最大值為.（5），.解：（5），令,得駐點(diǎn)為．列表得x(-,)(,0)y-0+y↘極小值↗所以函數(shù)在處取得極小值.又因?yàn)轳v點(diǎn)只有一個(gè),所以這個(gè)極小值也就是最小值,即函數(shù)在處取得最小值,最小值為.8.把長(zhǎng)為的線段截為兩段，怎樣截法能使以這兩個(gè)線段為邊所組成的矩形的面積最大?解：設(shè)截得一段長(zhǎng)為x，則另一段長(zhǎng)為l-x，令得(0,+)內(nèi)唯一駐點(diǎn).因?yàn)?所以為極大值點(diǎn),同時(shí)也是最大值點(diǎn).因此從中點(diǎn)處截，能使面積最大。9.從一塊邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮的各角上截去相等的方塊，作成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，問(wèn)截去多少，方能使作成的盒子容積最大?解：設(shè)截去邊長(zhǎng)為x的方塊，則盒子容積為令，因?yàn)?，所以?0,+)內(nèi)唯一駐點(diǎn).因?yàn)?所以為極大值點(diǎn),同時(shí)也是最大值點(diǎn)。因此截去邊長(zhǎng)為的小方塊，能使作成的盒子容積最大。10.某廠每批生產(chǎn)某種商品個(gè)單位的費(fèi)用為(元)，得到的收入為(元)，問(wèn)每批生產(chǎn)多少個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)最大?解：令得(0,+)內(nèi)唯一駐點(diǎn)x=250.因?yàn)?所以x=250為極大值點(diǎn)，同時(shí)也是最大值點(diǎn)。因此，每批生產(chǎn)250個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)最大.11.設(shè)某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品單位時(shí)的總成本函數(shù)為(元),問(wèn)每天生產(chǎn)多少個(gè)單位的產(chǎn)品時(shí)，其平均成本最低?解：令得(0,+)內(nèi)唯一駐點(diǎn)x=140.因?yàn)?所以x=140為極小值點(diǎn),同時(shí)也是最小值點(diǎn).因此,每日生產(chǎn)140個(gè)單位的產(chǎn)品時(shí),平均成本最低.12.某廠家打算生產(chǎn)一批商品投放市場(chǎng)，已知該商品的需求函數(shù)為，且最大需求量為6，其中表示需求量，表示價(jià)格.求使收益最大的產(chǎn)量、最大收益和相應(yīng)價(jià)格.解：≤x≤令得(0,+)內(nèi)唯一駐點(diǎn)x=2.因?yàn)?所以x=2為極大值點(diǎn)，同時(shí)也是最大值點(diǎn)。因此，使收益最大的產(chǎn)量x=2、最大收益、相應(yīng)價(jià)格.13.某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，日總成本C中固定成本為100個(gè)單位，每多生產(chǎn)1個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加20個(gè)單位，該商品的日需求量為，其中p為產(chǎn)品單價(jià)。求日產(chǎn)量為多少時(shí)工廠日總利潤(rùn)最大?解：L=pQ-C=20(17-Q)·Q-(100+20Q)=-20Q2+320Q-100令得(0,+)內(nèi)唯一駐點(diǎn)Q=8.因?yàn)?所以Q=8為極大值點(diǎn)，同時(shí)也是最大值點(diǎn).因此,日產(chǎn)量為8個(gè)單位時(shí),工廠日總利潤(rùn)最大.14.某商場(chǎng)每年銷售出某商品2400件(設(shè)商場(chǎng)均勻銷售)，每件成本150元，一件產(chǎn)品庫(kù)存一年所需庫(kù)存費(fèi)為其成本的2%，每次訂貨需花費(fèi)100元，問(wèn)全年分多少批定貨產(chǎn)品的定貨費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最小，并求出最小費(fèi)用.解：設(shè)全年訂貨費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為C，批次為x，則令得(0,+)內(nèi)唯一駐點(diǎn)x=6.因?yàn)?所以x=6為極小值點(diǎn),同時(shí)也是最小值點(diǎn)。因此，全年分6批訂貨費(fèi)用之和最小，最小費(fèi)用為C(6)=1200元.15.一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租．當(dāng)月租金定為1000元時(shí)，公寓能全部租出去；當(dāng)月租金每增加50元時(shí)，就會(huì)多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花費(fèi)100元的維修費(fèi)，問(wèn)房租定為多少元時(shí)可獲得最大收入？解：設(shè)房租定為x元,純收入為R元.當(dāng)x1000時(shí),R=50x-50100=50x-5000,且當(dāng)x=1000時(shí),得最大純收入45000元.當(dāng)x1000時(shí),.令R=0得(1000,+)內(nèi)唯一駐點(diǎn)x=1800.因?yàn)?所以x=1800為極大值點(diǎn),同時(shí)也是最大值點(diǎn).最大值為R=57800.因此,房租定為1800元可獲最大收入.習(xí)題4.51.求下列曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)（1）；解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且，.令y￠￠=0,得.列表得x(-￥,)(,+￥)y￠￠-0+y?拐點(diǎn)è所以曲線在(-￥,]內(nèi)是凸的,在[,+￥)內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為(,).（2）；解：(2)函數(shù)的定義域?yàn)?-,+),且，.令y￠￠=0,得.列表得x(-￥,-1)-1(-1,1)1(1,+￥)y￠￠-0+0-y?ln2拐點(diǎn)èln2拐點(diǎn)?可見(jiàn)曲線在(-￥,-1]和[1,+￥)內(nèi)是凸的,在[-1,1]內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為(-1,ln2)和(1,ln2).(3)；解：(3)函數(shù)的定義域?yàn)?，且，．列表得x(-￥,0)(0,+￥)y￠￠+-yè?可見(jiàn)曲線在(-￥,0)內(nèi)是凹的,在(0,+￥)內(nèi)是凸的．（4）；解：(4)函數(shù)的定義域?yàn)?且，.令y￠￠=0,得.列表得x(-￥,-1)(-1,2)2(2,+￥)y￠￠--0+y??拐點(diǎn)è可見(jiàn)曲線在(-￥,-1)和(-1,2]內(nèi)是凸的,在[2,+￥)內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為(2,).（5）；解：(5)函數(shù)的定義域?yàn)?且，.令y￠￠=0,得，不可導(dǎo)點(diǎn)為．列表x(-￥,-2)-2(-2,0)0(0,+￥)y￠￠-0+不存在-y?拐點(diǎn)è1拐點(diǎn)?可見(jiàn)曲線在(-￥,-2]和[0,+￥)內(nèi)是凸的,在[-2,0]內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為、.（6）；解：(6)函數(shù)的定義域?yàn)?且，.令y￠￠=0,得，不可導(dǎo)點(diǎn)為．列表x(-￥,-1/5)-1/5(-1/5,0)0(0,+￥)y￠￠-0+不存在+y?拐點(diǎn)è1非拐點(diǎn)è可見(jiàn)曲線在(-￥,-1/5]內(nèi)是凸的,在[-1/5,0]和[0,+￥)內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為．2.問(wèn)和為何值時(shí)，點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)？解：y￠=3ax2+2bx,y￠￠=6ax+2b.要使(1,3)成為曲線y=ax3+bx2的拐點(diǎn),必須y(1)=3且y￠￠(1)=0,即a+b=3且6a+2b=0,解此方程組得,．3.已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，且點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，求常數(shù)的值．解：，，依條件有，即，解之得：．4.證明曲線有三個(gè)位于同一直線上的拐點(diǎn)．證明：．令，得.當(dāng)時(shí)，，因此曲線在內(nèi)是凸的．當(dāng)時(shí)，，因此曲線在內(nèi)是凹的．當(dāng)時(shí)，，因此曲線在內(nèi)是凸的．當(dāng)時(shí)，，因此曲線在內(nèi)是凹的．所以曲線有拐點(diǎn)、、由于，因此這三個(gè)拐點(diǎn)位于同一直線上．5.求下列曲線的漸近線：（1）；解：（1），，所以函數(shù)有水平漸近線和鉛直漸近線．（2）；解：（2），所以函數(shù)有水平漸近線．（3）；解：（3），所以函數(shù)有鉛直漸近線x=1、x=-1．（4）；解：（4），，所以函數(shù)有水平漸近線和鉛直漸近線．（5）解：（5），所以函數(shù)有鉛直漸近線x=1、x=-1．6*.求下列曲線的漸近線：（1）；解：，所以函數(shù)有鉛直漸近線x=1=1=a，b==2，所以x→+∞時(shí)曲線有斜漸近線y=x+2．（2）；解：=+∞，=0所以x→-∞時(shí)曲線有水平漸近線．=1=a，b==ln1=0，所以x→+∞時(shí)曲線有斜漸近線y=x．（3）；解：，所以函數(shù)有鉛直漸近線x=0=e=a，（原已改為）b=＝e－e＝0，（作變換方便）所以曲線有斜漸近線y=ex．習(xí)題4.61.作出下列函數(shù)的圖形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）(有斜漸近線).解：略習(xí)題4.71.生產(chǎn)某產(chǎn)品，每日固定成本為100元，每多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加20元，該產(chǎn)品的需求函數(shù)為，試寫(xiě)出日總成本函數(shù)和總利潤(rùn)函數(shù)，并求邊際成本函數(shù)和邊際利潤(rùn)函數(shù)．解日總成本函數(shù)為，日邊際成本函數(shù)為．由得，．于是，日總利潤(rùn)函數(shù)為．日邊際利潤(rùn)函數(shù)為．2.某商品的需求量Q為價(jià)格p的函數(shù)．（1）求時(shí)的邊際需求，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義；（2）求時(shí)的需求彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義；（3）求時(shí)，若價(jià)格下降2%，總收益是增加還是減少？變化百分之幾？解（1）因?yàn)檫呺H需求函數(shù)為，故當(dāng)時(shí)的邊際需求為，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)價(jià)格為6時(shí)，價(jià)格上漲1個(gè)單位，需求量約減少24個(gè)單位．（2）因?yàn)樾枨髲椥院瘮?shù)為故當(dāng)時(shí)的需求彈性為，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)價(jià)格為6時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求量約減少1.85%．（3）由有即當(dāng)價(jià)格為6時(shí)，價(jià)格再下降2%時(shí)，總收益約增加1.69%．3.求下列函數(shù)的彈性(其中、為常數(shù))：(1)(2)(3)(4)解：(1)(2)(3)(4)4.指出下列需求關(guān)系中，價(jià)格取何值時(shí)，需求是高彈性或低彈性的:(1)(2)解：(1)∵x>0∴0<p<4<－1，時(shí),需求是高彈性的時(shí),需求是低彈性的(2)<－1，時(shí),需求是高彈性的時(shí),需求是低彈性的總習(xí)題41.選擇題（1）設(shè)滿足方程，且，，則函數(shù)在點(diǎn)處（）（A）取得極大值（B）某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)增加（C）取得極小值（D）某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)減少．解：因?yàn)椋?，，得到，由函?shù)取得極值的第二充分條件知:函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值,故選（A）.（2）設(shè)存在，且，，則下列結(jié)論成立的是（）（A）是的極小值點(diǎn)（B）是的極大值點(diǎn)（C）是曲線的拐點(diǎn)（D）是的駐點(diǎn)解：，由無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系知：，其中為時(shí)的無(wú)窮小，于是（不妨假設(shè)）．從而在點(diǎn)的兩側(cè)的符號(hào)發(fā)生改變，即在經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，曲線的凹凸性發(fā)生了改變，故選（C）.（3）若，在內(nèi)，，則在內(nèi)（）（A），（B）， （C），（D），解：由可知為奇函數(shù)，并且對(duì)稱于原點(diǎn)，容易得到選（C）.（4）曲線的鉛直漸近線的條數(shù)是（）（A）0（B）1（C）2（D）3解：，為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)，所以，為曲線的鉛直漸近線，故選（C）.（5）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)，且，則對(duì)任意正常數(shù)，必有（）（A）（B）（C）（D）不存在解：由拉格朗日中值定理：，其中介于之間，，故選（B）.（6）設(shè)在上，滿足，則、和的大小順序?yàn)椋ǎˋ）（B）（C）（D）解：由可知在上單調(diào)遞增，所以．又，，因此選（B）.2.填空題（1）設(shè)當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則，．解：由題設(shè)有，因此要求.（2）．解：原式（3）設(shè)函數(shù)，則在處取極小值解：，，令，得到駐點(diǎn)，此時(shí)（4）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)，且曲線在點(diǎn)處與曲線相切，在內(nèi)與曲線有相同的凹向，則方程在內(nèi)有個(gè)實(shí)根．解：對(duì)曲線而言，，．故，，在內(nèi)．由laylor公式，又，故存在，使得，由零點(diǎn)定理知，方程在上至少有一個(gè)實(shí)根．又因?yàn)?，所以單調(diào)不減，且知單調(diào)遞增，故在內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根．（5）設(shè)，則函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．解：，．令，得駐點(diǎn)．由駐點(diǎn)唯一以及知在取得最大值．注意到并且在單調(diào)遞增，以及在單調(diào)遞減，由零點(diǎn)定理知：在、上各有一個(gè)零點(diǎn)．3.求下列極限（1）；解：（1）原式（2）；解：（2）原式=.（3）；解：（3）原式因?yàn)椋?，于是，原?（4）；解：（4）原式=.（5）；解：（5）原式，又，所以，原式=.（6）（其中）．解：（6）原式又所以，原式=.4.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解：易知在上連續(xù)，并且，因?yàn)樵诩皟?nèi)，在內(nèi)，故所給函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．5.已知數(shù)列，問(wèn)前多少項(xiàng)和為最大．解：容易求出數(shù)列的前項(xiàng)和為：．取函數(shù)，則，令，得駐點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此點(diǎn)為的極大值點(diǎn)．由于駐點(diǎn)唯一，所以該駐點(diǎn)也是最大值點(diǎn)．又，當(dāng)，得到，，而，故前10項(xiàng)和為最大．6.求橢圓上縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn)．解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得則．令得到，代入得，即為橢圓方程確定的隱函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)．由幾何性質(zhì)知:的最大值、最小值是存在的，因此，對(duì)應(yīng)的最大值、最小值：．從而縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn)分別是和．7.將長(zhǎng)為的鐵絲切成兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓，問(wèn)兩段鐵絲各為多長(zhǎng)時(shí)，正方形與圓的面積之和最?。猓?/p>