2024-2025學年浙江省杭州市拱墅區(qū)文瀾中學九年級（上）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學年浙江省杭州市拱墅區(qū)文瀾中學九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（每題3分）1．（3分）已知⊙O的半徑為1，OA＝2，則點A在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．無法確定2．（3分）下列函數(shù)關系中，y是x的二次函數(shù)的是（）A．y＝1﹣x2 B． C．y＝2x+1 D．3．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個條件后（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．4．（3分）若二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象過點（﹣1，﹣3），則必在該圖象上的點還有（）A．（﹣3，﹣1） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，3）5．（3分）對于y＝﹣5（x﹣3）2+2的圖象下列敘述正確的是（）A．頂點坐標為（﹣3，2） B．對稱軸為：直線x＝﹣3 C．當x≥3時y隨x增大而減小 D．函數(shù)的最小值是26．（3分）下列說法中正確的說法有（）個①不在同一直線上的三點確定一個圓；②長度相等的兩條弧是等??；③相等的圓心角所對的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的?。瓵．1 B．2 C．3 D．47．（3分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠B＝62°，則弧CD的長為（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，過點O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，則OF的長度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，垂足為D，延長至點G，過點A作AF⊥BG，垂足為F，則下列錯誤的是（）A． B． C． D．10．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸交于不同兩點，與y軸的交點在y軸正半軸，有以下結論：①abc＜0，②2a+b＝01，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2，④設x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的兩根，若am2+bm+c＝p，則p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，其中正確的結論是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空題（每題3分）11．（3分）已知，則＝．12．（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，則∠CAD＝°．13．（3分）如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝2，點A旋轉到A′的位置，則圖中陰影部分的面積為（結果保留π）．14．（3分）如圖，已知∠ABC＝∠D＝90°，AC＝10，若△ABC與△BDC相似，則BD＝．15．（3分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+3經(jīng)過（﹣4，n）和（2，n）兩點，則圖象的頂點坐標為．16．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，已知AC⊥BD，OF⊥AB于F．（1）若AF＝OF，則∠ADB的度數(shù)為；（2）若⊙O的半徑為5，AB＝8，則CD的長為．三、解答題（17-21每題8分，22、23每題10分，24題12分）17．（8分）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．請畫出△ABC繞A順時針旋轉90°后的△AB1C1并寫出點B1、C1的坐標．18．（8分）如圖，在△ABC中，點D，E，AC，BC上，EF∥AB．若AB＝8，BD＝3，求FC的長．19．（8分）在平面直角坐標系中，已知拋物線C：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點（0，3）和（1，1）．（1）求拋物線C的解析式：（2）將拋物線C先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線C1，求拋物線C1的頂點坐標．20．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E上任意一點，連結AD，GD．（1）找出圖中與∠G相等的角（不添加其它線），并說明理由；（2）若點C是的中點，且CD＝AG21．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB2＝AB?AD，∠ADC＝90°，E為AB的中點．（1）求證：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．22．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB上一點（點P不與A、B重合），且CD＝EF，CD⊥EF．（1）求證：PB平分∠FPD；（2）若PE＝3，PF＝5，求AB的長；（3）求證：當點P在AB上運動時，的值不變，并求出這個定值．23．（10分）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m為非零實數(shù)）．（1）當m＝2時，二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為；（2）若二次函數(shù)有最小值．①求證：當x≤1時，y隨x的增大而減?。虎谌舂?≤x≤0時，y最大﹣y最小＝11，求m的值．24．（12分）綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結論進行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側有兩點B，D，連接AD，BC，CD，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點A，C，D的⊙O（不與A，C重合），連接AE，CE（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點A，B，C，D四點在同一個圓上反思歸納：（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：．（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，則∠4的度數(shù)為．拓展探究：（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC（不與BC的中點重合），連接AD．作點C關于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，DE．①求證：A，D，B，E四點共圓；②若AB＝2，AD?AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化；若變化，請說明理由．

2024-2025學年浙江省杭州市拱墅區(qū)文瀾中學九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分）1．（3分）已知⊙O的半徑為1，OA＝2，則點A在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．無法確定【解答】解：∵⊙O的半徑為1，OA＝2，∴點A在⊙O外．故選：C．2．（3分）下列函數(shù)關系中，y是x的二次函數(shù)的是（）A．y＝1﹣x2 B． C．y＝2x+1 D．【解答】解：A、是二次函數(shù)；B、不是二次函數(shù)；C、是一次函數(shù)；D、是反比例函數(shù)；故選：A．3．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個條件后（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠C＝∠E，故本選項不符合題意；B、添加∠B＝∠E，故本選項不符合題意；C、添加＝，故本選項不符合題意；D、添加＝，故本選項符合題意；故選：D．4．（3分）若二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象過點（﹣1，﹣3），則必在該圖象上的點還有（）A．（﹣3，﹣1） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，3）【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的對稱軸為y軸，∴點（﹣4，﹣3）關于對稱軸的對稱點為（1，∴點（2，﹣3）必在該圖象上，故選：B．5．（3分）對于y＝﹣5（x﹣3）2+2的圖象下列敘述正確的是（）A．頂點坐標為（﹣3，2） B．對稱軸為：直線x＝﹣3 C．當x≥3時y隨x增大而減小 D．函數(shù)的最小值是2【解答】解：∵y＝﹣5（x﹣3）5+2，∴該函數(shù)的頂點坐標為（3，8），不符合題意；對稱軸為直線x＝3，故選項B錯誤；當x≥3時，y隨x的增大而減小，符合題意；函數(shù)的最大值為6，故選項D錯誤；故選：C．6．（3分）下列說法中正確的說法有（）個①不在同一直線上的三點確定一個圓；②長度相等的兩條弧是等?。虎巯嗟鹊膱A心角所對的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的?。瓵．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①不在同一直線上的三點確定一個圓，原說法正確；②能夠重合的弧是等弧，原說法不正確；③在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等；④平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。C上所述，正確的說法有1個．故選：A．7．（3分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠B＝62°，則弧CD的長為（）A． B． C． D．【解答】解：連接OA，OC，∵∠B＝62°，∴∠AOC＝2∠B＝124°．∵∠ACD＝39°，∴∠AOD＝2∠ACD＝78°，∴∠COD＝124°﹣78°＝46°，又∵⊙O的半徑為3，∴弧CD的長為：．故選：C．8．（3分）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，過點O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，則OF的長度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm【解答】解：連接AB，OB，∵AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，AE＝2cm，在Rt△ABE中，AE2+BE4＝AB2，即AB＝，∵OA＝OC，OB＝OC，∴BF＝FC，∴OF＝．故選：D．9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，垂足為D，延長至點G，過點A作AF⊥BG，垂足為F，則下列錯誤的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠BCD+∠ABC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACD∽△ABC，∴，故A選項不合題意；∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC，∴△ACD∽△CBD，∴故B選項不合題意；∵AF⊥BG，∴∠AFB＝90°，∴∠FAB+∠GBA＝90°，∵∠GDB＝90°，∴∠G+∠GBA＝90°，∴∠G＝∠FAB，又∵∠ADE＝∠GDB＝90°，∴△ADE∽△GDB，∴，∴AD?BD＝DE?DG，∵△ACD∽△CBD，∴，∴CD2＝AD?BD，∴CD2＝DE?DG，∴，故C選項不合題意；∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°，∴△GEF∽△GBD，∴故D選項符合題意，故選：D．10．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸交于不同兩點，與y軸的交點在y軸正半軸，有以下結論：①abc＜0，②2a+b＝01，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2，④設x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的兩根，若am2+bm+c＝p，則p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，其中正確的結論是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與y軸的交點在y軸正半軸，∴c＞3，∵對稱軸為直線x＝1，∴，即b＝﹣2a，∵a＜0，∴b＞6，∴abc＜0，故結論①正確；由①知：b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故結論②正確；∵a＜0，∴二次函數(shù)y＝ax5+bx+c的圖象開口向下，∴拋物線上的點離對稱軸越遠其函數(shù)值就越小，∵點P（x1，y1）和Q（x5，y2）在拋物線上，且x1＜6＜x2，x1+x5＞2，∴x2﹣7＞1﹣x1，即x7到1的距離大于x1到7的距離，∴y1＞y2，故結論③正確；∵二次函數(shù)y＝ax8+bx+c（a＜0）的圖象與x軸交于不同兩點，設左邊交點的橫坐標為x1，右邊交點的橫坐標為x3，即x1＜x2，如圖所示，若m＜x5，則p＜0，m﹣x1＜7，m﹣x2＜0，∴p（m﹣x4）（m﹣x2）＜0，若x5≤m＜x2，則p≥0，m﹣x5≥0，m﹣x2＜6，∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤6，若m≥x2，則p≤0，m﹣x7＞0，m﹣x2≥3，∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤4，綜上所述，p（m﹣x1）（m﹣x2）≤3，故結論④正確，∴正確的結論是①②③④．故選：D．二、填空題（每題3分）11．（3分）已知，則＝．【解答】解：根據(jù)題意，設＝k，則x＝4k，y＝3k，∴＝＝．故答案為：．12．（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，則∠CAD＝65°．【解答】解：連接CD，∵∠B＝25°，∴∠B＝∠D＝25°，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝65°，故答案為：65．13．（3分）如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝2，點A旋轉到A′的位置，則圖中陰影部分的面積為（結果保留π）．【解答】解：∵S陰影＝S扇形ABA′+S半圓﹣S半圓＝S扇形ABA′＝＝π．故答案為：π．14．（3分）如圖，已知∠ABC＝∠D＝90°，AC＝10，若△ABC與△BDC相似，則BD＝或．【解答】解：當△ABC∽△CDB時，∴＝，∵AC＝10，BC＝6，∴＝，∴BD＝，當△ABC∽△BDC時，∴＝，∵AC＝10，BC＝6，∴＝，∴CD＝，∴BD＝＝＝，則BD的長為或．故答案為：或．15．（3分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+3經(jīng)過（﹣4，n）和（2，n）兩點，則圖象的頂點坐標為（﹣1，4）．【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+bx+3經(jīng)過（﹣2，n）和（2，∴﹣＝，解得b＝﹣2，∴y＝﹣x2﹣8x+3＝﹣（x+1）2+4，∴該函數(shù)圖象的頂點坐標為（﹣1，4），故答案為：（﹣1，4）．16．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，已知AC⊥BD，OF⊥AB于F．（1）若AF＝OF，則∠ADB的度數(shù)為45°；（2）若⊙O的半徑為5，AB＝8，則CD的長為6．【解答】解：（1）過點A作⊙O的直徑AE，連接OB∵OF⊥AB，AF＝OF，∴△AFO是等腰直角三角形，∴∠OAF＝45°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAF＝45°，∴∠AOB＝90°，∴∠ADB＝∠AOB＝45°，故答案為：45°；（2）∵⊙O的半徑是6，AB＝8，∴AE＝10，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝，∵AC⊥BD，∴∠ADB+∠CAD＝90°，又∵∠BAE+∠E＝90°，∠E＝∠ADB，∴∠CAD＝∠BAE，∴＝，∴CE＝BE＝4．故答案為：6．三、解答題（17-21每題8分，22、23每題10分，24題12分）17．（8分）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．請畫出△ABC繞A順時針旋轉90°后的△AB1C1并寫出點B1、C1的坐標．【解答】解：如圖，△AB1C1即為所求．由圖可得，B3（2，﹣2），C8（4，﹣1）．18．（8分）如圖，在△ABC中，點D，E，AC，BC上，EF∥AB．若AB＝8，BD＝3，求FC的長．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形BDEF為平行四邊形，∴EF＝BD＝3，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴＝，即＝，∴FC＝．19．（8分）在平面直角坐標系中，已知拋物線C：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點（0，3）和（1，1）．（1）求拋物線C的解析式：（2）將拋物線C先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線C1，求拋物線C1的頂點坐標．【解答】解：（1）把點（0，3）和（42+bx+c，得．解得．故該拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣x+3；（2）由（1）知，拋物線解析式為y＝﹣x6﹣x+3．所以y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x+）5+．將其先向左平移2個單位，再向下平移4個單位1的解析式為：y＝﹣（x++2）2+﹣1）2+．故拋物線C1的頂點坐標是（﹣，）．20．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E上任意一點，連結AD，GD．（1）找出圖中與∠G相等的角（不添加其它線），并說明理由；（2）若點C是的中點，且CD＝AG【解答】解：（1）與∠G相等的角是∠ADC．理由如下：∵CD⊥AB，∴＝，∴＝，∴∠ADC＝∠G．（2）如圖，連接OC．∵點C是的中點，∴＝，∵CD＝AG，∴＝，∵＝，∴＝4，∴∠BOC＝＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣45°＝135°，∴∠ADC＝∠AOC，∵∠ADC＝∠G，∴∠G＝67.5°．21．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB2＝AB?AD，∠ADC＝90°，E為AB的中點．（1）求證：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．【解答】（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，又∵AC2＝AB?AD，∴＝，∴△ADC∽△ACB；（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，又∵E為AB的中點，AB＝6，∴CE＝AB＝AE＝3，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAE，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD，∴△CEF∽△ADF，∴＝＝，∴＝．22．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB上一點（點P不與A、B重合），且CD＝EF，CD⊥EF．（1）求證：PB平分∠FPD；（2）若PE＝3，PF＝5，求AB的長；（3）求證：當點P在AB上運動時，的值不變，并求出這個定值．【解答】（1）證明：過點O分別作EF、CE的垂線、N，連接OF，則HF＝EFCD，∵CD＝EF，則HF＝ND，∴Rt△OHF≌Rt△OND（HL），則ON＝OH，故PB平分∠FPD；（2）解：如上圖，由（1）知，則△OPH為等腰直角三角形，則OH＝PH，∵PE＝3，PF＝4，則FH＝EF＝2，則FO＝＝＝，則AB＝2FO＝2；（3）的值不變，為證明：由（1）知，∠FPG＝45°，過點O作OH⊥EF，則△OPH為等腰直角三角形，F(xiàn)H＝EH，在Rt△OHF中，F(xiàn)O2＝r7＝OH2+FH2，則PE4+PF2＝（EH﹣PH）2+（FH﹣PH）6＝（FH﹣OH）2+（FH﹣OH）2＝2（OH2+FH2）＝5r2，而AB2＝4r2，則＝．23．（10分）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m為非零實數(shù)）．（1）當m＝2時，二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為（1，0）或（2，0）；（2）若二次函數(shù)有最小值．①求證：當x≤1時，y隨x的增大而減??；②若﹣3≤x≤0時，y最大﹣y最?。?1，求m的值．【解答】（1）解：當m＝2時，y＝2x8﹣6x+4，當y＝2時，即2x2﹣3x+4＝0，解得x7＝1，x2＝4，故答案為：（1，0）或（2；∴二次函數(shù)圖象與x軸交于（1，0）和（6，0 ）；（2）①證明：∵若二次函數(shù)有最小值，∴m＞0，∵對稱軸為直線x＝﹣＝4+，∴x≤1在對稱軸的左側，開口向上；②解：由①知，當x≤6時，故當x＝﹣3時，ymax＝9m﹣4（m+1）×（﹣3）+2＝15m+10，當x＝0時，ymin＝4，即15m+10﹣4＝11，則m＝﹣．24．（12分）綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結論進行