數(shù)學(xué)學(xué)案：數(shù)乘向量

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。1.4數(shù)乘向量基礎(chǔ)知識基本能力1．掌握數(shù)乘向量的定義，并理解其幾何意義．(重點(diǎn))2．掌握數(shù)乘向量的運(yùn)算律．(難點(diǎn))3．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．(易混點(diǎn)）1．會區(qū)分實(shí)數(shù)的乘法與數(shù)乘．（難點(diǎn)）2．能靈活運(yùn)用向量的線性運(yùn)算解決相關(guān)問題．（重點(diǎn)、易錯點(diǎn))1．?dāng)?shù)乘向量(1)實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且λa的長|λa|＝｜λ|｜a｜.若a≠0，當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．當(dāng)λ＝0或a＝0時，0a＝0或λ0＝0.（2）向量數(shù)乘的幾何意義：把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮?。?3)數(shù)乘向量的運(yùn)算律．設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則①(λ＋μ）a＝λa＋μa；②λ(μa）＝(λμ）a;③λ(a＋b)＝λa＋λb.名師點(diǎn)撥(1）數(shù)乘向量與實(shí)數(shù)的乘法是有區(qū)別的，前者的結(jié)果是一個向量，后者的結(jié)果是一個實(shí)數(shù)．特別要注意λ＝0時,λa＝0，此處最容易出現(xiàn)的錯誤是將實(shí)數(shù)0與向量0混淆,錯誤地表述成λa＝0。（2)要注意實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算,如λ＋a,λ－a是無意義的．【自主測試1－1】化簡（－2）·3m－4(n－2m)的結(jié)果為(）A．－14m－4nB．－6m－4nC．2m－4nD．4n＋2m解析：原式＝－6m－4n＋8m＝2m－4n.答案：C【自主測試1－2】若|a｜＝3，b與a的方向相反，且｜b｜＝5,則a＝__________b。解析：∵b與a的方向相反,且|a｜＝eq\f(3,5)|b｜，∴a＝－eq\f(3,5）b.答案:－eq\f（3，5)2．向量的線性運(yùn)算向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運(yùn)算，通常叫做向量的線性運(yùn)算．向量的線性運(yùn)算有哪幾種？與以前所學(xué)的實(shí)數(shù)和代數(shù)式的運(yùn)算有何關(guān)系？答：（1)向量的線性運(yùn)算包括向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積。2向量線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，實(shí)數(shù)和代數(shù)式運(yùn)算的結(jié)果是實(shí)數(shù)或代數(shù)式，盡管它們的運(yùn)算律形式上相似，但意義卻截然不同。因此，在類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律學(xué)習(xí)向量的有關(guān)運(yùn)算律時務(wù)必經(jīng)過嚴(yán)格證明后才可使用。【自主測試2－1】已知AM是△ABC的邊BC上的中線,若eq\o（AB，\s\up6(→))＝a，eq\o(AC，\s\up6(→）)＝b，則eq\o（AM，\s\up6（→）)等于(）A．eq\f(1，2）（a－b)B．eq\f(1，2）(b－a）C．eq\f(1，2)(a＋b)D．－eq\f(1,2)(a＋b)答案:C【自主測試2－2】已知eq\o(AD,\s\up6(→））＝eq\f(2，3）eq\o(AB，\s\up6（→)），eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2，3)eq\o（AC,\s\up6(→）)，則eq\o(DE，\s\up6(→))＝________eq\o(BC，\s\up6(→））.答案：eq\f(2，3）1．?dāng)?shù)乘向量的幾何意義剖析：λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮?。唧w如下：|λ｜＞1|λ｜＜1λ＞1λ＜－10＜λ＜1－1＜λ＜0將a沿原方向放大到λ倍，得到λa將a沿反方向放大到｜λ｜倍，得到λa將a沿原方向縮小到λ倍，得到λa將a沿反方向縮小到｜λ｜倍，得到λa2．教材中的“思考與討論”把教材例3中的數(shù)3改為任意實(shí)數(shù)k,你是否還能解這個問題?回想一下初中學(xué)過的相似三角形的判定定理，例3的結(jié)論與判定定理有什么關(guān)系？剖析：若eq\o(OA′,\s\up6(→)）＝keq\o(OA，\s\up6（→)),eq\o（A′B′，\s\up6(→)）＝keq\o（AB，\s\up6（→）），則eq\o（OB′,\s\up6(→））＝eq\o（OA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6（→))＝keq\o(OA，\s\up6（→））＋keq\o（AB，\s\up6(→)）＝k（eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\o（AB，\s\up6（→））)＝keq\o(OB,\s\up6（→）)，所以eq\o(OB′,\s\up6（→))與eq\o（OB，\s\up6(→))共線,eq\o(OB′,\s\up6(→))的長度是eq\o（OB，\s\up6（→））的｜k|倍．這一結(jié)論可以認(rèn)為是三角形判定定理的向量形式，其反映的本質(zhì)是一樣的．題型一概念辨析題【例題1】已知a，b是兩個非零向量，判斷下列各命題的真假,并說明理由．（1)－2a與a是共線向量，且－2a的模是a的模的2倍；(2）3a與5a的方向相同，且3a的模是5a的模的eq\f(3,5）；(3）－2a與2a是一對相反向量；(4)a－b與－(b－a)是一對相反向量．分析：根據(jù)數(shù)乘向量與相反向量的定義進(jìn)行判斷．解:(1）真命題．理由：∵－2＜0，∴－2a與a的方向相反,兩向量共線．又|－2a|＝2｜a｜，∴－2a的模是a的模的2倍．（2)真命題．理由：∵3＞0，∴3a與a的方向相同，且｜3a|＝3|a｜.∵5＞0，∴5a與a的方向相同，且｜5a｜＝5｜a｜?！?a與5a的方向相同,且3a的模是5a的模的eq\f(3,5）。(3)真命題．理由：按照相反向量的定義可以判斷此命題為真命題．（4）假命題．理由:∵－（b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b與－(b－a)為相等的向量．反思在解答本題的過程中，易把a(bǔ)－b與－(b－a)當(dāng)作相反向量,導(dǎo)致此種錯誤的原因是不能正確運(yùn)用向量的運(yùn)算律進(jìn)行轉(zhuǎn)化．題型二向量的線性運(yùn)算【例題2】（1)計算：8(2a－b＋c）－6（a－2b＋c）－2（2a＋c)；（2)解方程(x－a）－（a－x－2b)＝0。解：（1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝（16－6－4)a＋（－8＋12）b＋（8－6－2)c＝6a＋4b.(2)原式可化為x－a－a＋x＋2b＝0，2x－2a＋2b＝0，x＝a－b.反思向量的線性運(yùn)算及解含未知向量的方程類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算及代數(shù)方程，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形方法在向量線性運(yùn)算及解含未知向量的方程中同樣適用,在運(yùn)算過程中要注意多觀察,恰當(dāng)分組，簡化運(yùn)算．題型三向量之間的線性表示【例題3】如圖所示，已知ABCD的邊BC，CD上的中點(diǎn)分別為K,L，且eq\o(AK，\s\up6(→）)＝e1，eq\o(AL，\s\up6（→)）＝e2，試用e1，e2表示eq\o（BC，\s\up6（→）），eq\o(CD,\s\up6(→)).解：解法一：設(shè)eq\o（BC，\s\up6（→)）＝x,則eq\o(BK，\s\up6（→））＝eq\f(1，2）x，eq\o（AB，\s\up6（→）)＝e1－eq\f(1,2)x，eq\o(DL,\s\up6(→))＝eq\f(1，2)e1－eq\f(1，4）x.又eq\o(AD,\s\up6(→））＝x，由eq\o(AD，\s\up6（→））＋eq\o（DL，\s\up6(→))＝eq\o（AL,\s\up6(→））得x＋eq\f(1,2）e1－eq\f(1，4)x＝e2，解方程，得x＝eq\f(4，3)e2－eq\f（2，3）e1，即eq\o（BC，\s\up6(→））＝eq\f(4，3)e2－eq\f(2，3）e1.由eq\o（CD,\s\up6(→））＝－eq\o(AB，\s\up6(→）），eq\o(AB，\s\up6（→））＝e1－eq\f(1,2）x,得eq\o(CD，\s\up6（→））＝－eq\f(4,3)e1＋eq\f（2，3）e2.解法二:設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→））＝x，eq\o(CD，\s\up6（→））＝y(tǒng)，則eq\o(BK,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)x，eq\o（DL，\s\up6(→）)＝－eq\f(1,2）y。由eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o（BK,\s\up6（→））＝eq\o(AK,\s\up6（→)),eq\o（AD，\s\up6（→)）＋eq\o(DL,\s\up6（→)）＝eq\o（AL，\s\up6(→))得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－y＋\f(1,2）x＝e1，①，x－\f（1,2)y＝e2。②）)用－2乘以②與①相加，得eq\f（1,2)x－2x＝e1－2e2,解得x＝eq\f（2,3）（2e2－e1)，即eq\o(BC，\s\up6(→))＝eq\f（2,3）（2e2－e1)＝eq\f（4,3）e2－eq\f（2,3）e1。同理得y＝eq\f(2，3)(－2e1＋e2)，即eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\f(4,3)e1＋eq\f（2,3)e2.解法三：如圖所示，延長BC與AL的延長線相交于點(diǎn)E.則△DLA≌△CLE，從而eq\o(AE，\s\up6(→））＝2eq\o（AL，\s\up6(→)），eq\o(CE，\s\up6（→))＝eq\o(AD，\s\up6（→）)，eq\o(KE,\s\up6(→)）＝eq\f（3，2）eq\o（BC，\s\up6（→））。由eq\o(KE,\s\up6（→）)＝eq\o(AE,\s\up6（→））－eq\o（AK,\s\up6（→）），得eq\f（3，2）eq\o（BC,\s\up6(→)）＝2e2－e1，即eq\o(BC,\s\up6(→)）＝eq\f(2，3)(2e2－e1）＝eq\f（4,3）e2－eq\f(2,3)e1。同理可得，eq\o（CD,\s\up6（→))＝eq\f（2，3）（－2e1＋e2)＝－eq\f(4,3)e1＋eq\f（2，3）e2。反思解法一中設(shè)一個未知向量,列了一個向量方程;解法二中則是設(shè)兩個未知向量，列了一個向量方程組，這和列一元一次方程、二元一次方程組解應(yīng)用題相類似;解法三中是在原圖形中添加輔助線后,直接觀察到了所需要的向量關(guān)系，這顯然要以較多的平面幾何知識作基礎(chǔ)，不過確實(shí)簡便有效．題型四易錯辨析【例題4】如圖所示,點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)，且OD＝2BD，DC與OA交于點(diǎn)E，設(shè)eq\o（OA,\s\up6(→））＝a，eq\o(OB，\s\up6(→））＝b.（1)用a與b表示eq\o（OC，\s\up6（→）)；（2)若eq\o（OE,\s\up6(→))＝λeq\o（OA，\s\up6(→））,eq\o(DE，\s\up6(→））＝meq\o(DC,\s\up6（→)），求實(shí)數(shù)λ,m的值．錯解：(1)∵A是BC的中點(diǎn),∴eq\o（AC，\s\up6（→))＝eq\o（BA，\s\up6(→)).∴eq\o（OC,\s\up6（→))＝eq\o(OA，\s\up6（→)）＋eq\o（AC,\s\up6（→))＝eq\o(OA，\s\up6(→)）＋eq\o（BA,\s\up6（→)）＝a＋eq\o（OA,\s\up6(→）)－eq\o（OB，\s\up6（→))＝2a－b.（2）∵E在eq\o（OA，\s\up6(→)）上，且eq\o(DE，\s\up6(→)）＝meq\o（DC,\s\up6(→）），∴eq\o（OE,\s\up6（→)）＝eq\o(OD，\s\up6（→）)＋eq\o(DE,\s\up6(→）)＝eq\f（2，3）b＋meq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(2，3)b＋m（eq\o（OD,\s\up6（→）)－eq\o（OC，\s\up6（→)））＝eq\f(2,3）b＋m·eq\f(2，3)b－m(2a－b)＝－2ma＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2,3）＋\f(5，3)m)）b＝λa，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＝－2m，，\f（2,3)＋\f(5,3）m＝0，）)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝－\f（2,5)，,λ＝\f（4,5）.)）錯因分析：解題過程中出現(xiàn)了一處錯誤即eq\o（DC，\s\up6(→）)＝eq\o(OD,\s\up6（→）)－eq\o(OC,\s\up6（→）)，記錯了向量減法的運(yùn)算公式，造成后繼部分不得分．正解：(1)∵A是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AC，\s\up6(→））＝eq\o(BA，\s\up6(→））.∴eq\o（OC,\s\up6(→)）＝eq\o(OA,\s\up6（→））＋eq\o（AC，\s\up6（→)）＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6（→）)＝a＋(eq\o(OA，\s\up6(→)）－eq\o(OB，\s\up6(→)））＝2a－b.（2)∵OD＝2BD,∴eq\o(OD,\s\up6（→））＝eq\f(2,3）eq\o（OB,\s\up6（→）)＝eq\f（2,3）b,已知eq\o(DE，\s\up6（→))＝meq\o(DC，\s\up6(→）)，∴eq\o(OE,\s\up6(→)）＝eq\o（OD,\s\up6(→）)＋eq\o(DE,\s\up6(→））＝eq\f（2，3)b＋meq\o（DC，\s\up6(→））＝eq\f（2,3)b＋m(eq\o（OC，\s\up6（→）)－eq\o(OD,\s\up6(→）））＝eq\f（2，3）b＋meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2a－b－\f（2，3）b））＝2ma＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2，3）－\f(5，3）m)）b＝λa.由此可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（λ＝2m，,\f(2,3)－\f（5，3)m＝0，））∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝\f（2,5),，λ＝\f(4,5）.))1．已知λ，μ∈R，下列式子正確的是（）A．λa與a同向B．0·a＝0C．(λ＋μ）a＝λa＋μaD．若b＝λa，則｜b|＝λ｜a|答案：C2．如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量eq\o(CD,\s\up6（→))等于()A．eq\o（BC,\s\up6（→）)＋eq\f（1,2)eq\o(BA,\s\up6（→))B．－eq\o(BC，\s\up6(→）)＋eq\f(1，2）eq\o（BA，\s\up6（→))C．－eq\o(BC，\s\up6（→）)－eq\f（1,2)eq\o（BA,\s\up6(→)）D．eq\o（BD,\s\up6（→)）－eq\f（1，2）eq\o（BA,\s\up6(→)）答案：B3．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且eq\o(BC，\s\up6（→))＋eq\o（BA,\s\up6（→）)＝3eq\o（BP，\s\up6（→）），則()A．eq\o（PB，\s\up6(→））＋eq\o（PA,\s\up6(→）)＝0B．eq\o（PB,\s\up6（→）)＋eq\o(PC,\s\up6(→)）＝0C．eq\o（PC,\s\up6（→）)＋eq\o（PA,\s\up6(→））＝0D．eq\o(PA，\s\up6（→）)＋eq\o（PB,\s\up6（→))＋eq\o(PC,\s\up6（→））＝0答案:D4．化簡：eq\f(1，3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（1，2)2a＋8b－4a－2b）)＝__________。解析：原式＝eq\f(1，3)［(a＋4b)－4a＋2b]＝eq\f(1,3)（－3a＋6b)＝－a＋2b。答案:2b－a5．若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f（1，3)a））－eq\f(1，2）(b－3x＋c）＋b＝0，其中a，b，c為已知向量,則未知向量x＝__________.解析：原式可化為2x＋eq\f（3,2)x＝eq\f（2,3）a＋eq\f（1，2)b－b＋eq\f(1，2)c，則x＝eq\f（4，21）a－eq\f（1，7)b＋eq\f（1，7）c.答案：eq\f（4,21)a－eq\f（1,7)b＋eq\f(1,7）c6．如圖所示,已知eq\o（OA,\s\up6（→)）＝3e1，eq\o（OB，\s\up6(→))＝3e2.(1)如圖（1）,C，D為AB的三等分點(diǎn),求eq\o(OC,\s\up6（→）)，eq\o（OD,\s\up6(→)）；(2)如圖（2），C，D，E為AB的四等分點(diǎn)，求eq\o（OC,\s\up6（→)），eq\o（OE，\s\up6（→））.解：(1)∵eq\o（AB,\s\up6(→））＝eq\o（OB，\s\up6（→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝3e2－3e1，∴eq\o（AC，\s\up6（→))＝eq\f（1，3)eq\o(AB，\s\up6(→））＝e2－e1＝eq\o（CD，\s\up6(→)），∴eq\o(OC，\s\up6(→））＝eq\o（OA，\s\up6（→）)＋eq\o（AC,\s\up6（→）)＝3e1＋e2－e1＝2e1＋e2，eq\o（OD,\s\up6（→））＝eq\o（OC，\s\up6(→)）＋eq\o(CD,\s\up6（→))＝2e1＋e2＋(e2－e1）＝e1＋2e2。（2）∵eq\o(AB,\s\up6(→）)＝eq\o(OB，\s\up6（→))－eq\o（OA，\s\up6（→)）＝3e2－3e1，∴eq\o（AC,\s\up6（→))