數(shù)學(xué)高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案-數(shù)學(xué)第2講-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性-課堂學(xué)習(xí)課件

第2講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性第四章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1基礎(chǔ)知識(shí)整合PARTONE單調(diào)遞增單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)定義域用充分必要條件詮釋可導(dǎo)函數(shù)與該函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)f′(x)>0(<0)是f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增(減)的必要不充分條件．(3)若f′(x)在區(qū)間(a，b)的任意子區(qū)間上都不恒等于零，則f′(x)≥0(≤0)是f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增(減)的充要條件．1．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝f′(x)的圖象可能是(

)答案解析由f(x)的圖象可知，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，觀察四個(gè)圖象可知選D.解析2．函數(shù)f(x)＝ex－ex，x∈R的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)解析由題意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)>0，解得x>1.故選D.答案解析3．函數(shù)f(x)＝x2－2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1,0)∪(0,1)答案解析解析由題意知，f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，∴f′(x)＝cosx－a≤0恒成立，即cosx≤a在x∈R上恒成立，∴a≥1.故選D.答案解析5．已知函數(shù)f(x)＝x2(x－a)．(1)若f(x)在(2,3)上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________________；(2)若f(x)在(2,3)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.解析解析2核心考向突破PARTTWO答案解析考向一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)(不含參)的單調(diào)性(2)(2021·新高考Ⅰ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝x(1－lnx)．討論f(x)的單調(diào)性．解(3)(2021·上饒二模)已知函數(shù)f(x)＝2exsinx(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)(不含參)單調(diào)性的方法方法一：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域(定義域優(yōu)先)；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)求不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集；

(4)由f′(x)>0(f′(x)<0)的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間．若不等式中帶有參數(shù)，可分類討論求得單調(diào)區(qū)間．方法二：當(dāng)方程f′(x)＝0可解時(shí)，確定函數(shù)的定義域，解方程f′(x)＝0，求出實(shí)數(shù)根，把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無(wú)定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和實(shí)根按從小到大的順序排列起來(lái)，把定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，確定f′(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間．解析(－∞，0)(0,1)2．求函數(shù)f(x)＝e2x－e(2x＋1)的單調(diào)區(qū)間．解例2

(1)(2021·全國(guó)乙卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax＋1.①討論f(x)的單調(diào)性；②求曲線y＝f(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y＝f(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．考向二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)(含參)的單調(diào)區(qū)間解解解所以切線l的方程為y＝(1＋a)x.令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x，則x3－x2－x＋1＝0，(x－1)2(x＋1)＝0，解得x＝±1，所以曲線y＝f(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y＝f(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1＋a)和(－1，－1－a)．解(2)已知函數(shù)g(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x.若a>0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性．解解解(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．遇二次三項(xiàng)式因式常考慮二次項(xiàng)系數(shù)、對(duì)應(yīng)方程的判別式以及根的大小關(guān)系，以此來(lái)確定分界點(diǎn)，分情況討論．(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)．(3)個(gè)別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時(shí)取到)，f(x)在R上是增函數(shù)．3.(2020·全國(guó)Ⅲ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝x3－kx＋k2，討論f(x)的單調(diào)性．解解解∴f(x)在(－∞，1－m)，(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(1－m,1)上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)m>0時(shí)，f(x)在(－∞，1－m)，(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(1－m,1)上單調(diào)遞增．解多角度探究突破

答案考向三利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問(wèn)題解析(2)(2021·青海西寧大通縣一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)＝20，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)>6x2＋2，則不等式f(x)>2x3＋2x的解集為(

)A．{x|x>－2} B．{x|x>2}C．{x|x<2} D．{x|x<－2或x>2}解析令g(x)＝f(x)－2x3－2x，則g′(x)＝f′(x)－6x2－2>0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增．因?yàn)間(2)＝f(2)－2×23－2×2＝0，故原不等式等價(jià)于g(x)>g(2)，所以x>2，所以不等式的解集為{x|x>2}．故選B.答案解析利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式．解析根據(jù)題意，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex－cosx，此時(shí)有f′(x)＝ex＋sinx>0，則f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，故f(x)在R上為增函數(shù)．f(2x－1)＋f(x－2)>0?f(2x－1)>－f(x－2)?f(2x－1)>f(2－x)?2x－1>2－x，解得x>1，即不等式的解集為(1，＋∞)．答案解析6．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln2)，則a，b，c的大小關(guān)系是(

)A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．b>a>c D．c>b>a答案解析角度根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)例4

(1)若函數(shù)f(x)＝2x3－3mx2＋6x在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A．(－∞，1] B．(－∞，1)C．(－∞，2] D．(－∞，2)解析f′(x)＝6x2－6mx＋6，由已知條件知x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)≥0恒成立，設(shè)g(x)＝6x2－6mx＋6，則g(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．答案解析解析解解解(1)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，只要f′(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可，如果能夠分離參數(shù)，則分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為參數(shù)值與函數(shù)最值之間的關(guān)系．(2)二次函數(shù)在區(qū)間D上大于零恒成立，討論的標(biāo)準(zhǔn)是二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間D的相對(duì)位置，一般分對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)進(jìn)行討論．答案解析答案[0,1)答案解析1．(2021·湖北仙桃模擬)已知實(shí)數(shù)a，b滿足a＝e7－a，

3＋lnb＝e4－lnb，則ab＝(

)A．3 B．4C．e3 D．e4解析∵實(shí)數(shù)a，b滿足a＝e7－a，

3＋lnb＝e4－lnb，∴3＋lnb＝e7－(3＋lnb)，令f(x)＝x－e7－x，則f′(x)＝1＋e7－x>0，則f(x)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，易知f(x)有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x0，則a＝3＋lnb＝x0，∴l(xiāng)nb＝a－3，且lna＝7－a，∴l(xiāng)n(ab)＝lna＋lnb＝7－a＋a－3＝4，∴ab＝e4.故選D.答案解析自主培優(yōu)(七)構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用2．(2021·益陽(yáng)模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＋xf′(x)>0，且f(1)＝0，則不等式(x2－2x)f(x)<0的解集為(

)A．(－∞，－1)∪(1,2)B．(－1，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1)答案解析3．(2021·洛陽(yáng)模擬)已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f′(x)－f(x)＝ex(2x－1)，f(0)＝4，則不等式f(x)<10ex的解集為(

)A．(－2,3)B．(－3,2)C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)答案解析對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．(2021·襄陽(yáng)模擬)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f′(x)<0，則下列各式一定成立的是(

)A．e2f(2021)<f(2019)B．e2f(2021)>f(2019)C．f(2021)<f(2019)D．f(2021)>f(2019)解析根據(jù)題意，設(shè)g(x)＝exf(x)，其導(dǎo)函數(shù)g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，又f(x)＋f′(x)<0，則有g(shù)′(x)<0，則函數(shù)g(x)在R上為減函數(shù)，則有g(shù)(2021)<g(2019)，即e2021f(2021)<e2019f(2019)，即e2f(2021)<f(2019).

答案解析2．f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′(x)－f(x)＜0，對(duì)任意正數(shù)a，b，若a<b，則必有(

)A．a(chǎn)f(b)＜bf(a) B．bf(a)＜af(b)C．a(chǎn)f(a)＜bf(b) D．bf(b)＜af(a)答案解析3．(2021·新高考八省聯(lián)考)已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，則(

)A．c<b<a B．b<c<aC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c答案解析3課時(shí)作業(yè)PARTTHREE解析易知f′(x)＝x2－3x＋a，由題意知f′(x)≤0的解集為[－1,4]，則－1與4是方程x2－3x＋a＝0的兩個(gè)根，故a＝－1×4＝－4.答案解析2．(2021·四川廣安模擬)下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是(

)A．y＝sinx B．y＝xexC．y＝x3－x D．y＝lnx－x答案解析3．(2021·貴陽(yáng)市四校第二次聯(lián)考)已知y＝x·f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是(

)答案解析由題圖可知，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<b時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>b時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．又f′(b)＝0，所以當(dāng)x＝b時(shí)，f(x)取得極大值．綜上，滿足題意的f(x)的圖象可能是D.解析答案解析5．(2021·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三模擬)已知a∈R，則“a≤2”是“f(x)＝lnx＋x2－ax在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案解析6．(2021·濰坊三模)某地區(qū)為落實(shí)鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，幫助農(nóng)民脫貧致富，引入一種特色農(nóng)產(chǎn)品種植，該農(nóng)產(chǎn)品上市時(shí)間僅能維持5個(gè)月，預(yù)測(cè)上市初期和后期會(huì)因產(chǎn)品供應(yīng)不足使價(jià)格持續(xù)上漲，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌．經(jīng)研究，其價(jià)格模擬函數(shù)為f(t)＝t(t－3)2＋n(0≤t≤5，其中t＝0表示5月1日，t＝1表示6月1日，以此類推)，若f(2)＝6，為保護(hù)農(nóng)戶的經(jīng)濟(jì)效益，當(dāng)?shù)卣?jì)劃在價(jià)格下跌時(shí)積極拓寬外銷，請(qǐng)你預(yù)測(cè)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格下跌的月份為(

)A．5月和6月

B．6月和7月C．7月和8月

D．8月和9月答案解析∵f(t)＝t(t－3)2＋n，f(2)＝6，∴f(2)＝2＋n＝6，∴n＝4，∴f(t)＝t(t－3)2＋4，∴f′(t)＝(t－3)2＋2t(t－3)＝3(t－1)(t－3)，令f′(t)<0得，1<t<3，∴f(t)在(1,3)上單調(diào)遞減，∵t＝1表示6月1日，t＝2表示7月1日，t＝3表示8月1日，∴該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格下跌的月份為6月和7月，故選B.解析7．(2021·青島二中月考)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，且滿足f′(x)<2x，f(2)＝3，則不等式f(x)>x2－1的解集是(

)A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，2)解析令g(x)＝f(x)－x2，則g′(x)＝f′(x)－2x<0，即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減．又不等式f(x)>x2－1可化為f(x)－x2>－1，而g(2)＝f(2)－22＝3－4＝－1，所以不等式可化為g(x)>g(2)，故不等式的解集為(－∞，2)．故選D.答案解析答案解析二、多項(xiàng)選擇題9．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是(

)A．(0,3)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間B．(5，＋∞)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間C．函數(shù)y＝f(x)在x＝0處取得極大值D．函數(shù)y＝f(x)在x＝5處取得極小值答案解析由函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x<－1或3<x<5時(shí)，f′(x)<0，y＝f(