解題技巧專題：矩形、菱形、正方形中定值、最值、中點四邊形、新定義問題壓軸題五種模型全攻略（原卷版）

專題18解題技巧專題：矩形、菱形、正方形中定值、最值、中點四邊形、新定義問題壓軸題五種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一矩形、菱形、正方形中求定值問題】 1【考點二矩形、菱形、正方形中求最小值問題】 10【考點三矩形、菱形、正方形中求最大值問題】 18【考點四矩形、菱形、正方形中點四邊形問題】 24【考點五矩形、菱形、正方形中新定義問題】 33【典型例題】【考點一矩形、菱形、正方形中求定值問題】例題：（2023上·江西吉安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，P是上不與A和D重合的一動點，過點P分別作和的垂線，垂足為E，F(xiàn)；的值是定值嗎？如果不是，請說明理由；如果是定值請求出這個定值．

【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川德陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，邊長為定值的正方形的中心與正方形的頂點重合，且與邊、相交于、，圖中陰影部分的面積記為，兩條線段、的長度之和記為，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)適當角度，則有（

）A．變化，不變 B．不變，變化 C．變化，變化 D．與均不變2．（2022上·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點E是對角線上一點，有且，點P是上一動點，則點P到邊，的距離之和的值（

）A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值3．（22-23八年級下·江蘇無錫·期中）如圖1，在正方形中，E為的中點，將正方形沿著翻折得到四邊形，直線與直線相交于點F，連接．

(1)的度數(shù)是；(2)若將正方形變?yōu)榱庑?，①如圖2，若，，求的長度；②如圖3，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．4．（2023上·福建漳州·九年級校考期中）如圖，已知正方形的邊長為，點為對角線上一動點，連接、過點作，交點，以、為鄰邊作矩形，連接．

(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；(3)直接寫出當點滿足什么條件時，的最小值，最小值是多少？【考點二矩形、菱形、正方形中求最小值問題】例題：（2023上·山西晉中·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，P為邊上一動點，于點E，于點F，點M為中點，則最小值為（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5【變式訓(xùn)練】1．（2023上·寧夏銀川·九年級銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┤鐖D，邊長為8的正方形中，為邊上一點，且，是對角線上的一個動點，則的最小值為．2．（2023上·甘肅張掖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，點E在對角線上，于點F，于點G，連接，若，則的最小值為．3．（2024上·廣東河源·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，，E，F(xiàn)分別是過，上的動點，連接，，G，H分別為，的中點，連接，則的最小值為．4．（2023下·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形中，，，點P為邊上任意一點（不包括端點），連結(jié)，過點P作邊點Q，點R線段上的一點．

(1)若點R為菱形對角線的交點，為的中位線，求的值；(2)當?shù)闹底钚r，請確定點R的位置，并求出的最小值；(3)當?shù)闹底钚r，在備用圖中作出此時點P，Q的位置，寫作法并寫出的最小值．【考點三矩形、菱形、正方形中求最大值問題】例題：（2023上·陜西渭南·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為2的正方形中，，分別是邊，上的動點（可與端點重合），，分別是，的中點，則的最大值為．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，E為邊的中點，P為邊上的一動點（含端點），F(xiàn)為的中點，則長度的最大值為．2．（2023下·北京海淀·八年級清華附中?？计谥校┚匦沃校?，點A是y軸正半軸上任意一點，點B在x軸正半軸上．連接．則線段的長度最大值是．3．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形中，，對角線交于點，，點為的中點，點為上一點，且，點為上一動點，連接，則的最大值為．

4．（2022上·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，，為正三角形，點，分別在菱形的邊，上滑動，且，不與，，重合．當點在，上滑動時，求面積的最大值．

【考點四矩形、菱形、正方形中點四邊形問題】例題：（2023下·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，E、F分別是、的中點，G、H分別是、的中點．

(1)請判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)四邊形滿足什么條件時，四邊形是菱形，請說明理由．(3)四邊形滿足什么條件時，四邊形是矩形，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點分別是四邊形邊的中點．則正確的是（

）

A．若，則四邊形為矩形B．若，則四邊形為菱形C．若是平行四邊形，則與互相平分D．若是正方形，則與互相垂直且相等2．（2023下·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點E、F、G、H分別是四邊形邊、、、的中點，下列說法；①若，則四邊形為矩形：②若，則四邊形為菱形；③若四邊形是平行四邊形，則與互相平分；④若四邊形是正方形，則與互相垂直且相等．其中正確的個數(shù)有個

3．（2023下·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，是線段上的一點，在的同側(cè)作和，使，，，連接，點，，，分別是，，，的中點，順次連接，，，．(1)猜想四邊形的形狀，直接回答，不必說明理由；(2)點在線段的上方時，如圖2，在的外部作和，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；(3)如果（2）中，，其他條件不變，先補全圖3，再判斷四邊形的形狀，并說明理由．4．（2023上·廣東佛山·九年級?？茧A段練習(xí)）定義：對于一個四邊形，我們把依次連接它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”．如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．【概念理解】：（1）下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是______．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形【性質(zhì)探究】：（2）如圖1，四邊形是“中方四邊形”，觀察圖形，直接寫出四邊形的對角線，的關(guān)系；【問題解決】：（3）如圖2．以銳角的兩邊，為邊長，分別向外側(cè)作正方形和正方形，連接，，．求證：四邊形是“中方四邊形”；【拓展應(yīng)用】：如圖3，已知四邊形是“中方四邊形”，M，N分別是，的中點．（4）試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（5）若，求的最小值．

【考點五矩形、菱形、正方形中新定義問題】例題：（22-23九年級下·江西九江·階段練習(xí)）新定義題型構(gòu)思巧妙，立意新穎，重在考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，實踐能力及創(chuàng)新精神，讓我們試試吧：我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫作“等鄰角四邊形”．(1)定義理解：

如圖①，已知四邊形為等鄰角四邊形，且，求的度數(shù)．(2)定義運用：如圖②，在五邊形中，，對角線平分，求證：四邊形為等鄰角四邊形；(3)定義拓展：如圖③，在等鄰角四邊形中，，點為邊邊上的一動點，過點作，垂足分別為，試猜想，在點的運動過程中，的值是否會發(fā)生改變，并說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·陜西西安·階段練習(xí)）新定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的四邊形叫做“等對角四邊形”．(1)如圖1，若四邊形是“等對角四邊形”，，，，則的度數(shù)為______．(2)如圖2，“等對角四邊形”，已知：，，你認為成立嗎？若成立，請你證明此結(jié)論，若不成立，請說明理由．(3)在“等對角四邊形”中，，，，．求對角線的長．2．（22-23八年級下·安徽合肥·期末）定義：在三角形中，若有兩條中線互相垂直，則稱該三角形為中垂三角形．

(1)如圖（a），是中垂三角形，分別是邊上的中線，且于點，若，求證：是等腰三角形．(2)如圖（b），在中垂三角形中，分別是邊上的中線，且于點，求證：．(3)如圖（c），四邊形是菱形，對角線交于點，點分別是的中點，連接并延長，交于點．求證：是中垂三角形；3．（22-23八年級上·湖南長沙·開學(xué)考試）新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形．(1)初步嘗試：如圖1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=5，P為AC上一點，當AP=_____時，△ABP