高三上學(xué)期數(shù)學(xué)周測（2024.10）

第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)周測三一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）1．設(shè)集合，集合，則________．2．不等式的解集是________．3．已知復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則________．4．已知冪函數(shù)的圖象過點，則________．5．已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軌，終邊經(jīng)過點，則________．6．從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則甲、乙兩人都沒有被選到的概率為________（用數(shù)字作答）．7．某圓錐體的底面圓的半徑長為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐體的體積是________．8．已知平面向量，滿足，且向量，的夾角為，則在方向上的數(shù)量投影為________．9．總體由編號為01、02、03、…、50的50個個體組成，利用隨機數(shù)表從中抽取5個個體，下面提供隨機數(shù)表的第5行到第7行：931247795737891845503994557392296111609849657350984730309837377023104476914606792662206205229234若從表中第6行第6列開始向右依次讀取，則抽取的第3個個體的編號是________．10．已知函數(shù)，對任意，都有（為常數(shù)），且當(dāng)時，，則________．11．已知平面向量，，常數(shù)．向量，且對任意，總有成立，則實數(shù)的取值范圍是________．12．已知常數(shù)，，函數(shù)，若關(guān)于的方程在上有解，則的最小值為________．二、單選題（13、14題每題4分，15、16題每題5分，共18分）13．若，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．14．在中，若，則的形狀一定是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等胺三角形 D．等腰直角三角形15．已知函數(shù)的圖象與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別是1，2，4，下列區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間的是（）A． B． C． D．16．已知函數(shù)的定義域為，滿足對任意，恒有，若函數(shù)的零點個數(shù)為有限的個，則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答題（17、18、19題每題14分，20、21題每題18分，共78分）17．已知，（1）求的值；（2）求的值．18．如圖，已知平面，，直線與平面所成的角為，且．（1）求三棱錐的體積；（2）設(shè)為的中點，求異面直線與所成角的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）19．如圖所示，，兩處各有一個垃圾中轉(zhuǎn)站，在的正東方向處，的南面為居民生活區(qū)．為了妥繕處理生活垃圾，政府決定在的北面處建一個發(fā)電廠，利用垃圾發(fā)電．要求發(fā)電廠到兩個垃圾中轉(zhuǎn)站的距離（單位：）與它們每天集中的生活垃圾是（單位，噸）成反比，現(xiàn)估測得，兩處中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾是分別約為40噸和50噸．（1）當(dāng)時，求的值；（2）發(fā)電廠盡量遠離居民區(qū)，也即要求的面積最大，問此時發(fā)電廠與垃圾中轉(zhuǎn)站的距離為多少？20．已知．（1）求圖像的對稱中心；（2）如果的三邊，，滿足，求邊所對的角的取值范圍，用區(qū)間表示；（3）如果的定義域?。?）中的結(jié)果，求此時的值域．21．若函數(shù)與滿足：對任意的，總存在唯一的，使成立，則稱是在區(qū)間上的“階伴隨函數(shù)”；當(dāng)時，則稱為區(qū)間上的“階自伴函數(shù)”．（1）判斷是否為區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”？并說明理由；（2）若函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，求的值；（3）若是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知平面向量，，常數(shù)．向量，且對任意，總有成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】已知平面向量,常數(shù).向量,

不妨設(shè)對應(yīng)的點分別為,則,因為,則三點共線,

又直線方程為,即即在直線上,

設(shè)對應(yīng)的點為,則,則的幾何意義為與的距離,

又恒成立,即由點到直線的距離公式可得:即,即或,

即實數(shù)的取值范圍是.故答案為:。12．已知常數(shù)，，函數(shù)，若關(guān)于的方程在上有解，則的最小值為________．【答案】【解析】,則,

所以其中,根據(jù)均值不等式得到,當(dāng)且僅當(dāng)時成立,

設(shè),該函數(shù)在上為增函數(shù),當(dāng)時取得最小值,

此時,此時,兩個等號可以同時成立,

故得到,

結(jié)合可得到:當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為:.二、選擇題13.D14.B15.D16.B15．已知函數(shù)的圖象與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別是1，2，4，下列區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知函數(shù)的周期,解得.由知,當(dāng)時,函數(shù)取得最大值,,解得,令,解得當(dāng)時,的增區(qū)間是.故選D.16．已知函數(shù)的定義域為，滿足對任意，恒有，若函數(shù)的零點個數(shù)為有限的個，則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】令,則有,故,,若,則開口向上,對稱軸為且,,在上有兩個零點,即函數(shù)的零點個數(shù)最多有2個.故選:B三．解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20．已知．（1）求圖像的對稱中心；（2）如果的三邊，，滿足，求邊所對的角的取值范圍，用區(qū)間表示；（3）如果的定義域取（2）中的結(jié)果，求此時的值域．【答案】（1）,；（2）（3）【解析】(1)

令,解得,.所以圖像的對稱中心為,；

(2)中,,則,所以的取值范圍是.

(3)因為,所以則,所以,即的值域為.21．若函數(shù)與滿足：對任意的，總存在唯一的，使成立，則稱是在區(qū)間上的“階伴隨函數(shù)”；當(dāng)時，則稱為區(qū)間上的“階自伴函數(shù)”．（1）判斷是否為區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”？并說明理由；（2）若函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，求的值；（3）若是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）不是（2）（3）,.【解析】(1),

當(dāng)時,,再由得,所以,所以,

故根據(jù)"2階自伴函數(shù)"定義得，不是區(qū)間上的"2階自伴函數(shù)";

(2)由函數(shù)為區(qū)間上的"1階自伴函數(shù)",所以,且對任意總存在唯一的使得成立；所以對任意,總存在唯一的,使得,

因為函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以對任意,總存在唯一的,使得,所以,所以,所以,則,故;

(3)因為函數(shù)在區(qū)間的值域為,

因為是在區(qū)間上的"2階伴隨函數(shù)",

則對任意的,總存在唯一的,使得成立,

所以,即在區(qū)間區(qū)間上的