專題19銳角三角函數(shù)（共50題）-2024年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（含答案）【全國(guó)】

專題19銳角三角函數(shù)（共50題）-2024年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（含答案）【全國(guó)通用】專題19銳角三角函數(shù)（共50題）一．選擇題（共14小題）1．（2020?長(zhǎng)沙）從一艘船上測(cè)得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角為30°時(shí)，船離燈塔的水平距離是（）A．423米 B．143米 C．21米 D．42米2．（2020?涼山州）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanA的值為（）A．12 B．22 C．2 3．（2020?蘇州）如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)上旗桿AB的高度，他作了如下操作：（1）在點(diǎn)C處放置測(cè)角儀，測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋恰螦CE＝α；（2）量得測(cè)角儀的高度CD＝a；（3）量得測(cè)角儀到旗桿的水平距離DB＝b．利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識(shí)，旗桿的高度可表示為（）A．a(chǎn)+btanα B．a(chǎn)+bsinα C．a(chǎn)+btanα D．4．（2020?聊城）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠ACB的值為（）A．355 B．175 C．35．（2020?南充）如圖，點(diǎn)A，B，C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC＝（）A．26 B．2626 C．26136．（2020?重慶）如圖，垂直于水平面的5G信號(hào)塔AB建在垂直于水平面的懸崖邊B點(diǎn)處，某測(cè)量員從山腳C點(diǎn)出發(fā)沿水平方向前行78米到D點(diǎn)（點(diǎn)A，B，C在同一直線上），再沿斜坡DE方向前行78米到E點(diǎn)（點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)E處測(cè)得5G信號(hào)塔頂端A的仰角為43°，懸崖BC的高為144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，則信號(hào)塔AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米7．（2020?遵義）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACCD=A．2+1 B．2-1 C．2 8．（2020?杭州）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB9．（2020?重慶）如圖，在距某居民樓AB樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一個(gè)山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C點(diǎn)到坡頂D點(diǎn)的距離CD＝45m，在坡頂D點(diǎn)處測(cè)得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28°，居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（）A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m10．（2020?溫州）如圖，在離鐵塔150米的A處，用測(cè)傾儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣?，測(cè)傾儀高AD為1.5米，則鐵塔的高BC為（）A．（1.5+150tanα）米 B．（1.5+150tanαC．（1.5+150sinα）米 D．（1.5+15011．（2020?濟(jì)寧）一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北航行，2小時(shí)后到達(dá)海島B處．燈塔C在海島A的北偏西42°方向上，在海島B的北偏西84°方向上．則海島B到燈塔C的距離是（）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里12．（2020?廣元）規(guī)定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，給出以下四個(gè)結(jié)論：（1）sin（﹣30°）=-1（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15°=6其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)13．（2020?深圳）如圖，為了測(cè)量一條河流的寬度，一測(cè)量員在河岸邊相距200米的P、Q兩點(diǎn)分別測(cè)定對(duì)岸一棵樹T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，則河寬（PT的長(zhǎng)）可以表示為（）A．200tan70°米 B．200tan70°米C．200sin70°米 D．200sin70°14．（2020?黔西南州）如圖，某停車場(chǎng)入口的欄桿AB，從水平位置繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置，已知AO的長(zhǎng)為4米．若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝α，則欄桿A端升高的高度為（）A．4sinα米 B．4sinα米 C．4cosα米 D．4cos二．填空題（共14小題）15．（2020?咸寧）如圖，海上有一燈塔P，位于小島A北偏東60°方向上，一艘輪船從小島A出發(fā)，由西向東航行24nmile到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔P的正南方，此時(shí)輪船與燈塔P的距離是nmile．（結(jié)果保留一位小數(shù)，3≈16．（2020?天水）如圖所示，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則sin∠AOB的值是．17．（2020?深圳）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB=12，BOOD=18．（2020?菏澤）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，連接CD，若BC＝4，CD＝3，則cos∠DCB的值為．19．（2020?泰安）如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)山坡，坡上面是一塊平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB長(zhǎng)26m，斜坡AB的坡比為12：5．為了減緩坡面，防止山體滑坡，學(xué)校決定對(duì)該斜坡進(jìn)行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過50°時(shí)，可確保山體不滑坡．如果改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，則坡頂B沿BC至少向右移m時(shí)，才能確保山體不滑坡．（取tan50°＝1.2）20．（2020?棗莊）人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具（如圖）．若AB，AC的長(zhǎng)都為2m，當(dāng)α＝50°時(shí)，人字梯頂端離地面的高度AD是m．（結(jié)果精確到0.1m，參考依據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）21．（2020?達(dá)州）小明為測(cè)量校園里一棵大樹AB的高度，在樹底部B所在的水平面內(nèi)，將測(cè)角儀CD豎直放在與B相距8m的位置，在D處測(cè)得樹頂A的仰角為52°．若測(cè)角儀的高度是1m，則大樹AB的高度約為．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）22．（2020?自貢）如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABCD，DC∥AB．BC長(zhǎng)6米，坡角β為45°，AD的坡角α為30°，則AD長(zhǎng)為米（結(jié)果保留根號(hào)）．23．（2020?樂山）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖．自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為30°，在自動(dòng)扶梯下方地面C處測(cè)得扶梯頂端B的仰角為60°，A、C之間的距離為4m．則自動(dòng)扶梯的垂直高度BD＝m．（結(jié)果保留根號(hào)）24．（2020?濟(jì)寧）如圖，小明在距離地面30米的P處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°．若斜面坡度為1：3，則斜坡AB的長(zhǎng)是米．25．（2020?金華）如圖是小明畫的卡通圖形，每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)都相等，相鄰兩正六邊形的邊重合，點(diǎn)A，B，C均為正六邊形的頂點(diǎn)，AB與地面BC所成的銳角為β．則tanβ的值是．26．（2020?攀枝花）sin60°＝．27．（2020?黔東南州）cos60°＝．28．（2020?湘潭）計(jì)算：sin45°＝．三．解答題（共22小題）29．（2020?荊門）如圖，海島B在海島A的北偏東30方向，且與海島A相距20海里，一艘漁船從海島B出發(fā)，以5海里/時(shí)的速度沿北偏東75°方向航行，同時(shí)一艘快艇從海島A出發(fā)，向正東方向航行．2小時(shí)后，快艇到達(dá)C處，此時(shí)漁船恰好到達(dá)快艇正北方向的E處．（1）求∠ABE的度數(shù)；（2）求快艇的速度及C，E之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈30．（2020?隨州）如圖，某樓房AB頂部有一根天線BE，為了測(cè)量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點(diǎn)C，D，A，在點(diǎn)C處測(cè)得天線頂端E的仰角為60°，從點(diǎn)C走到點(diǎn)D，測(cè)得CD＝5米，從點(diǎn)D測(cè)得天線底端B的仰角為45°，已知A，B，E在同一條垂直于地面的直線上，AB＝25米．（1）求A與C之間的距離；（2）求天線BE的高度．（參考數(shù)據(jù)：3≈31．（2020?臨沂）如圖，要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角α般要滿足60°≤α≤75°，現(xiàn)有一架長(zhǎng)5.5m的梯子．（1）使用這架梯子最高可以安全攀上多高的墻（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？（2）當(dāng)梯子底端距離墻面2.2m時(shí)，α等于多少度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？此時(shí)人是否能夠安全使用這架梯子？（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．）32．（2020?岳陽(yáng)）共抓長(zhǎng)江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽(yáng)，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項(xiàng)目，需要從如圖A，B兩地向C地新建AC，BC兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測(cè)得C地在A地北偏東45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距離為7km，求新建管道的總長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈33．（2020?營(yíng)口）如圖，海中有一個(gè)小島A，它周圍10海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由東向西航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏西60°方向上，航行12海里到達(dá)C點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏西30°方向上，如果漁船不改變方向繼續(xù)向西航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：3≈34．（2020?懷化）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量一棵古樹的高度，在距離古樹A點(diǎn)處測(cè)得古樹頂端D的仰角為30°，然后向古樹底端C步行20米到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得古樹頂端D的仰角為45°，且點(diǎn)A、B、C在同一直線上求古樹CD的高度．（已知：2≈1.414，335．（2020?湘潭）為了學(xué)生的安全，某校決定把一段如圖所示的步梯路段進(jìn)行改造．已知四邊形ABCD為矩形，DE＝10m，其坡度為i1＝1：3，將步梯DE改造為斜坡AF，其坡度為i2＝1：4，求斜坡AF的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，1736．（2020?株洲）某高速公路管理部門工作人員在對(duì)某段高速公路進(jìn)行安全巡檢過程中，發(fā)現(xiàn)該高速公路旁的一斜坡存在落石隱患．該斜坡橫斷面示意圖如圖所示，水平線l1∥l2，點(diǎn)A、B分別在l1、l2上，斜坡AB的長(zhǎng)為18米，過點(diǎn)B作BC⊥l1于點(diǎn)C，且線段AC的長(zhǎng)為26米．（1）求該斜坡的坡高BC；（結(jié)果用最簡(jiǎn)根式表示）（2）為降低落石風(fēng)險(xiǎn)，該管理部門計(jì)劃對(duì)該斜坡進(jìn)行改造，改造后的斜坡坡角α為60°，過點(diǎn)M作MN⊥l1于點(diǎn)N，求改造后的斜坡長(zhǎng)度比改造前的斜坡長(zhǎng)度增加了多少米？37．（2020?攀枝花）實(shí)驗(yàn)學(xué)校某班開展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”測(cè)量活動(dòng)．有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線MN的距離皆為100cm．王詩(shī)嬑觀測(cè)到高度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度i＝1：0.75，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)解答下列問題：（1）若王詩(shī)嬑的身高為150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長(zhǎng)為多少cm？（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)．請(qǐng)直接回答這個(gè)猜想是否正確？（3）若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為100cm，則高圓柱的高度為多少cm？38．（2020?徐州）小紅和爸爸繞著小區(qū)廣場(chǎng)鍛煉．如圖，在矩形廣場(chǎng)ABCD邊AB的中點(diǎn)M處有一座雕塑．在某一時(shí)刻，小紅到達(dá)點(diǎn)P處，爸爸到達(dá)點(diǎn)Q處，此時(shí)雕塑在小紅的南偏東45°方向，爸爸在小紅的北偏東60°方向，若小紅到雕塑的距離PM＝30m，求小紅與爸爸的距離PQ．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，39．（2020?郴州）2020年5月5日，為我國(guó)載人空間站工程研制的長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在海南文昌首飛成功．運(yùn)較火箭從地面O處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，地面D處的雷達(dá)站測(cè)得AD＝4000米，仰角為30°．3秒后，火箭直線上升到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)地面C處的雷達(dá)站測(cè)得B處的仰角為45°．已知C，D兩處相距460米，求火箭從A到B處的平均速度（結(jié)果精確到1米/秒，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，240．（2020?黃岡）因東坡文化遠(yuǎn)近聞名的遺愛湖公園，“國(guó)慶黃金周”期間，游人絡(luò)繹不絕，現(xiàn)有一艘游船載著游客在遺愛湖中游覽，當(dāng)船在A處時(shí)，船上游客發(fā)現(xiàn)岸上P1處的臨摹亭和P2處的遺愛亭都在東北方向，當(dāng)游船向正東方向行駛600m到達(dá)B處時(shí)，游客發(fā)現(xiàn)遺愛亭在北偏西15°方向，當(dāng)游船繼續(xù)向正東方向行駛400m到達(dá)C處時(shí)，游客發(fā)現(xiàn)臨摹亭在北偏西60°方向．（1）求A處到臨摹亭P1處的距離；（2）求臨摹亭P1處于遺愛亭P2處之間的距離．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）41．（2020?天津）如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC，BC．測(cè)得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，求AB的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．42．（2020?陜西）如圖所示，小明家與小華家住在同一棟樓的同一單元，他倆想測(cè)算所住樓對(duì)面商業(yè)大廈的高M(jìn)N．他倆在小明家的窗臺(tái)B處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角∠1的度數(shù)，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測(cè)得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù)．于是，他倆上樓來(lái)到小華家，在窗臺(tái)C處測(cè)得大廈底部M的俯角∠2的度數(shù)，竟然發(fā)現(xiàn)∠1與∠2恰好相等．已知A，B，C三點(diǎn)共線，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，試求商業(yè)大廈的高M(jìn)N．43．（2020?內(nèi)江）為了維護(hù)我國(guó)海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)行了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)60海里的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔P在北偏東60°方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時(shí)到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上．（1）求B處到燈塔P的距離；（2）已知燈塔P的周圍50海里內(nèi)有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？44．（2020?天水）為了維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖所示，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)40海里的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東45°方向上．（1）求∠APB的度數(shù)；（2）已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，345．（2020?鹽城）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，tanA=33，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CD=346．（2020?鄂州）鄂州市某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無(wú)人機(jī)測(cè)量一條河流的寬度CD．如圖所示，一架水平飛行的無(wú)人機(jī)在A處測(cè)得正前方河流的左岸C處的俯角為α，無(wú)人機(jī)沿水平線AF方向繼續(xù)飛行50米至B處，測(cè)得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線段AM的長(zhǎng)為無(wú)人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)M、C、D在同一條直線上．其中tanα＝2，MC＝503米．（1）求無(wú)人機(jī)的飛行高度AM；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求河流的寬度CD．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，347．（2020?遼陽(yáng)）如圖，我國(guó)某海域有A，B兩個(gè)港口，相距80海里，港口B在港口A的東北方向，點(diǎn)C處有一艘貨船，該貨船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求貨船與港口A之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）48．（2020?南京）如圖，在港口A處的正東方向有兩個(gè)相距6km的觀測(cè)點(diǎn)B、C．一艘輪船從A處出發(fā)，沿北偏東26°方向航行至D處，在B、C處分別測(cè)得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求輪船航行的距離AD．（參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）49．（2020?廣元）如圖，公路MN為東西走向，在點(diǎn)M北偏東36.5°方向上，距離5千米處是學(xué)校A；在點(diǎn)M北偏東45°方向上距離62千米處是學(xué)校B．（參考數(shù)據(jù)：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）．（1）求學(xué)校A，B兩點(diǎn)之間的距離；（2）要在公路MN旁修建一個(gè)體育館C，使得A，B兩所學(xué)校到體育館C的距離之和最短，求這個(gè)最短距離．50．（2020?江西）如圖1是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．量得托板長(zhǎng)AB＝120mm，支撐板長(zhǎng)CD＝80mm，底座長(zhǎng)DE＝90mm．托板AB固定在支撐板頂端點(diǎn)C處，且CB＝40mm，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求點(diǎn)A到直線DE的距離；（2）為了觀看舒適，在（1）的情況下，把AB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°后，再將CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線DE上即可，求CD旋轉(zhuǎn)的角度．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，3≈專題19銳角三角函數(shù)（共50題）一．選擇題（共14小題）1．（2020?長(zhǎng)沙）從一艘船上測(cè)得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角為30°時(shí)，船離燈塔的水平距離是（）A．423米 B．143米 C．21米 D．42米【分析】在直角三角形中，已知角的對(duì)邊求鄰邊，可以用正切函數(shù)來(lái)解決．【解析】根據(jù)題意可得：船離海岸線的距離為42÷tan30°＝423（米）故選：A．2．（2020?涼山州）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanA的值為（）A．12 B．22 C．2 【分析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根據(jù)三角函數(shù)的意義可求出tanA的值．【解析】如圖，連接BD，由網(wǎng)格的特點(diǎn)可得，BD⊥AC，AD=22+22=∴tanA=BD故選：A．3．（2020?蘇州）如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)上旗桿AB的高度，他作了如下操作：（1）在點(diǎn)C處放置測(cè)角儀，測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋恰螦CE＝α；（2）量得測(cè)角儀的高度CD＝a；（3）量得測(cè)角儀到旗桿的水平距離DB＝b．利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識(shí)，旗桿的高度可表示為（）A．a(chǎn)+btanα B．a(chǎn)+bsinα C．a(chǎn)+btanα D．【分析】過C作CF⊥AB于F，則四邊形BFCD是矩形，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解析】過C作CF⊥AB于F，則四邊形BFCD是矩形，∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，∵∠ACF＝α，∴tanα=AF∴AF＝b?tanα，∴AB＝AF+BF＝a+btanα，故選：A．4．（2020?聊城）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠ACB的值為（）A．355 B．175 C．3【分析】如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解決問題．【解析】如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC=A∴sin∠ACH=AH故選：D．5．（2020?南充）如圖，點(diǎn)A，B，C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC＝（）A．26 B．2626 C．2613【分析】作BD⊥AC于D，根據(jù)勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面積求出BD，最后在直角△ABD中根據(jù)三角函數(shù)的意義求解．【解析】如圖，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB=32+22=∵S△ABC=12AC?BD=12×3∴BD=2∴sin∠BAC=BD故選：B．6．（2020?重慶）如圖，垂直于水平面的5G信號(hào)塔AB建在垂直于水平面的懸崖邊B點(diǎn)處，某測(cè)量員從山腳C點(diǎn)出發(fā)沿水平方向前行78米到D點(diǎn)（點(diǎn)A，B，C在同一直線上），再沿斜坡DE方向前行78米到E點(diǎn)（點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)E處測(cè)得5G信號(hào)塔頂端A的仰角為43°，懸崖BC的高為144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，則信號(hào)塔AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米【分析】過點(diǎn)E作EF⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，根據(jù)斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可設(shè)EF＝x，則DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，進(jìn)而可得出EF與DF的長(zhǎng)，故可得出CF的長(zhǎng)．由矩形的判定定理得出四邊形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝EF，再由銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出答案．【解析】過點(diǎn)E作EF⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，∴設(shè)EF＝x，則DF＝2.4x．在Rt△DEF中，∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，解得x＝30，∴EF＝30米，DF＝72米，∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，∴四邊形EFCM是矩形，∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝43°，∴AM＝EM?tan43°≈150×0.93＝139.5米，∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．故選：D．7．（2020?遵義）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACCD=A．2+1 B．2-1 C．2 【分析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝22.5°，設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝BD=2，根據(jù)tan22.5°=【解析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝22.5°，設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝BD=2∴tan22.5°=AC故選：B．8．（2020?杭州）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，就可以解決問題．【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，∴sinB=bc，即b＝csinB，故A選項(xiàng)不成立，tanB=ba，即b＝atanB，故C選項(xiàng)不成立，故選：B．9．（2020?重慶）如圖，在距某居民樓AB樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一個(gè)山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C點(diǎn)到坡頂D點(diǎn)的距離CD＝45m，在坡頂D點(diǎn)處測(cè)得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28°，居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（）A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m【分析】構(gòu)造直角三角形，利用坡比的意義和直角三角形的邊角關(guān)系，分別計(jì)算出DE、EC、BE、DF、AF，進(jìn)而求出AB．【解析】如圖，由題意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，在Rt△DEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，∴DEEC設(shè)DE＝4x，則EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，又CD＝45，即5x＝45，∴x＝9，∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，在Rt△ADF中，AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，故選：B．10．（2020?溫州）如圖，在離鐵塔150米的A處，用測(cè)傾儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣?，測(cè)傾儀高AD為1.5米，則鐵塔的高BC為（）A．（1.5+150tanα）米 B．（1.5+150tanαC．（1.5+150sinα）米 D．（1.5+150【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC，E為垂足，再由銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長(zhǎng)，由BC＝CE+BE即可得出結(jié)論．【解析】過點(diǎn)A作AE⊥BC，E為垂足，如圖所示：則四邊形ADCE為矩形，AE＝150，∴CE＝AD＝1.5，在△ABE中，∵tanα=BE∴BE＝150tanα，∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（m），故選：A．11．（2020?濟(jì)寧）一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北航行，2小時(shí)后到達(dá)海島B處．燈塔C在海島A的北偏西42°方向上，在海島B的北偏西84°方向上．則海島B到燈塔C的距離是（）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠C＝∠CAB＝42°，根據(jù)等角對(duì)等邊得出BC＝AB，求出AB即可．【解析】如圖．根據(jù)題意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，∴BC＝AB，∵AB＝15×2＝30，∴BC＝30，即海島B到燈塔C的距離是30海里．故選：C．12．（2020?廣元）規(guī)定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，給出以下四個(gè)結(jié)論：（1）sin（﹣30°）=-1（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15°=6其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)題目中所規(guī)定公式，化簡(jiǎn)三角函數(shù)，即可判斷結(jié)論．【解析】（1）sin(-30°)=-sin30°=-（2）cos2x＝cos（x+x）＝cosxcosx﹣sinxsinx＝cos2x﹣sin2x，故此結(jié)論正確；（3）cos（x﹣y）＝cos[x+（﹣y）]＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，故此結(jié)論正確；（4）cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°=2所以正確的結(jié)論有3個(gè)，故選：C．13．（2020?深圳）如圖，為了測(cè)量一條河流的寬度，一測(cè)量員在河岸邊相距200米的P、Q兩點(diǎn)分別測(cè)定對(duì)岸一棵樹T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，則河寬（PT的長(zhǎng)）可以表示為（）A．200tan70°米 B．200tan70°米C．200sin70°米 D．200sin70°【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的長(zhǎng)，以及∠PQT的度數(shù)，進(jìn)而得到∠PTQ的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)即可求得PT的長(zhǎng)．【解析】在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，∴∠PTQ＝70°，∴tan70°=PQ∴PT=PQ即河寬200tan70°故選：B．14．（2020?黔西南州）如圖，某停車場(chǎng)入口的欄桿AB，從水平位置繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置，已知AO的長(zhǎng)為4米．若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝α，則欄桿A端升高的高度為（）A．4sinα米 B．4sinα米 C．4cosα米 D．4cos【分析】過點(diǎn)A′作A′C⊥AB于點(diǎn)C，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解析】過點(diǎn)A′作A′C⊥AB于點(diǎn)C，由題意可知：A′O＝AO＝4，∴sinα=A'C∴A′C＝4sinα，故選：B．二．填空題（共14小題）15．（2020?咸寧）如圖，海上有一燈塔P，位于小島A北偏東60°方向上，一艘輪船從小島A出發(fā)，由西向東航行24nmile到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔P的正南方，此時(shí)輪船與燈塔P的距離是20.8nmile．（結(jié)果保留一位小數(shù)，3≈【分析】過P作PD⊥AB于D，易證△ABP是等腰三角形，得到BP＝AB＝24nmile．然后在直角△PBD中，利用三角函數(shù)的定義求得PD的長(zhǎng)即可．【解析】過P作PD⊥AB于D．∵∠PAB＝30°，∠PBD＝60°，∴∠PAB＝∠APB，∴BP＝AB＝24nmile．在直角△PBD中，PD＝BP?sin∠PBD＝24×32=123即此時(shí)輪船與燈塔P的距離約為20.8nmile．故答案為20.8．16．（2020?天水）如圖所示，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則sin∠AOB的值是22【分析】如圖，連接AB．證明△OAB是等腰直角三角形即可解決問題．【解析】如圖，連接AB．∵OA＝AB=10，OB＝25∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB=2故答案為2217．（2020?深圳）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB=12，BOOD=43【分析】通過作輔助線，得到△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，△ABC∽△DAN，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)邊成比例，再根據(jù)tan∠ACB=12，BOOD=43，得出對(duì)應(yīng)邊之間關(guān)系，設(shè)AB＝a，DN＝b，表示【解析】如圖，過點(diǎn)D作DM∥BC，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)BA交DM于點(diǎn)N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴ABBC=ANNM=tan∠又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴ABBC設(shè)AB＝a，DN＝b，則BC＝2a，NA＝2b，MN＝4b，由BCDM=OBOD=∴4b+b=32即，b=310∴S△ABD故答案為：33218．（2020?菏澤）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，連接CD，若BC＝4，CD＝3，則cos∠DCB的值為23【分析】過點(diǎn)D作DE⊥BC，由平行線平分線段定理可得E是BC的中點(diǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的意義，可求出答案．【解析】過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，又∵點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，∴BE＝EC=12在Rt△DCE中，cos∠DCB=EC故答案為：2319．（2020?泰安）如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)山坡，坡上面是一塊平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB長(zhǎng)26m，斜坡AB的坡比為12：5．為了減緩坡面，防止山體滑坡，學(xué)校決定對(duì)該斜坡進(jìn)行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過50°時(shí)，可確保山體不滑坡．如果改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，則坡頂B沿BC至少向右移10m時(shí)，才能確保山體不滑坡．（取tan50°＝1.2）【分析】在BC上取點(diǎn)F，使∠FAE＝50°，作FH⊥AD，根據(jù)坡度的概念求出BE、AE，根據(jù)正切的定義求出AH，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解析】在BC上取點(diǎn)F，使∠FAE＝50°，過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，∵BF∥EH，BE⊥AD，F(xiàn)H⊥AD，∴四邊形BEHF為矩形，∴BF＝EH，BE＝FH，∵斜坡AB的坡比為12：5，∴BEAE設(shè)BE＝12x，則AE＝5x，由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262，解得，x＝2，∴AE＝10，BE＝24，∴FH＝BE＝24，在Rt△FAH中，tan∠FAH=EH∴AH=EH∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10，∴坡頂B沿BC至少向右移10m時(shí)，才能確保山體不滑坡，故答案為：10．20．（2020?棗莊）人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具（如圖）．若AB，AC的長(zhǎng)都為2m，當(dāng)α＝50°時(shí)，人字梯頂端離地面的高度AD是1.5m．（結(jié)果精確到0.1m，參考依據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【分析】在Rt△ADC中，求出AD即可．【解析】∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AD＝AC?sin50°＝2×0.77≈1.5（m），故答案為1.5．21．（2020?達(dá)州）小明為測(cè)量校園里一棵大樹AB的高度，在樹底部B所在的水平面內(nèi)，將測(cè)角儀CD豎直放在與B相距8m的位置，在D處測(cè)得樹頂A的仰角為52°．若測(cè)角儀的高度是1m，則大樹AB的高度約為11．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出AE，進(jìn)而求出AB即可．【解析】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，由題意得，BC＝DE＝8，∠ADE＝52°，DE＝CD＝1在Rt△ADE中，AD＝DE?tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24，∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）故答案為：11．22．（2020?自貢）如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABCD，DC∥AB．BC長(zhǎng)6米，坡角β為45°，AD的坡角α為30°，則AD長(zhǎng)為62米（結(jié)果保留根號(hào)）．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，過點(diǎn)C作CF⊥AB于F．首先證明DE＝CF，解直角三角形求出CF，再根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)即可解決問題．【解析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，過點(diǎn)C作CF⊥AB于F．∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE＝CF，在Rt△CFB中，CF＝BC?sin45°＝32（米），∴DE＝CF＝32（米），在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2DE＝62（米），故答案為62．23．（2020?樂山）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖．自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為30°，在自動(dòng)扶梯下方地面C處測(cè)得扶梯頂端B的仰角為60°，A、C之間的距離為4m．則自動(dòng)扶梯的垂直高度BD＝23m【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到BC＝AC＝4，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解析】∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BDC中，sin∠BCD=BD∴sin60°=BD∴BD＝23（m），答：自動(dòng)扶梯的垂直高度BD＝23m，故答案為：23．24．（2020?濟(jì)寧）如圖，小明在距離地面30米的P處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°．若斜面坡度為1：3，則斜坡AB的長(zhǎng)是203米．【分析】如圖所示：過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠ABF＝30°，根據(jù)已知條件得到∠HPB＝30°，∠APB＝45°，求得∠HBP＝60°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解析】如圖所示：過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∵斜面坡度為1：3，∴tan∠ABF=AF∴∠ABF＝30°，∵在P處進(jìn)行觀測(cè)，測(cè)得山坡上A處的俯角為15°，山腳B處的俯角為60°，∴∠HPB＝30°，∠APB＝45°，∴∠HBP＝60°，∴∠PBA＝90°，∠BAP＝45°，∴PB＝AB，∵PH＝30m，sin60°=PH解得：PB＝203，故AB＝203（m），答：斜坡AB的長(zhǎng)是203m，故答案為：203．25．（2020?金華）如圖是小明畫的卡通圖形，每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)都相等，相鄰兩正六邊形的邊重合，點(diǎn)A，B，C均為正六邊形的頂點(diǎn)，AB與地面BC所成的銳角為β．則tanβ的值是19315【分析】如圖，作AT∥BC，過點(diǎn)B作BH⊥AT于H，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，則正六邊形的半徑為a，邊心距=32a．求出BH，【解析】如圖，作AT∥BC，過點(diǎn)B作BH⊥AT于H，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，則正六邊形的半徑為a，邊心距=32觀察圖象可知：BH=192a，AH=∵AT∥BC，∴∠BAH＝β，∴tanβ=BH故答案為19326．（2020?攀枝花）sin60°＝32【分析】根據(jù)我們記憶的特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案．【解析】sin60°=3故答案為：3227．（2020?黔東南州）cos60°＝12【分析】根據(jù)記憶的內(nèi)容，cos60°=1【解析】cos60°=1故答案為：1228．（2020?湘潭）計(jì)算：sin45°＝22【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得：sin45°=2三．解答題（共22小題）29．（2020?荊門）如圖，海島B在海島A的北偏東30方向，且與海島A相距20海里，一艘漁船從海島B出發(fā)，以5海里/時(shí)的速度沿北偏東75°方向航行，同時(shí)一艘快艇從海島A出發(fā)，向正東方向航行．2小時(shí)后，快艇到達(dá)C處，此時(shí)漁船恰好到達(dá)快艇正北方向的E處．（1）求∠ABE的度數(shù)；（2）求快艇的速度及C，E之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈【分析】（1）過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，作BF⊥CE于點(diǎn)E，由平行線的性質(zhì)得出∠ABD＝∠NAB＝30°，求出∠DBE＝105°，則可得出答案；（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，證明四邊形BDCF為矩形，得出DC，F(xiàn)C，求出CE的長(zhǎng)，則可得出答案．【解析】（1）過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，作BF⊥CE于點(diǎn)E，由題意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，∵AN∥BD，∴∠ABD＝∠NAB＝30°，而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；（2）BE＝5×2＝10（海里），在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里），在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，∴AD＝AB×sin30°＝20×1BD＝AB×cos30°＝20×32=∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，∴四邊形BDCF為矩形，∴DC＝BF﹣9.7，F(xiàn)C＝BD＝17.3，∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7，CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9，設(shè)快艇的速度為v，則v=19.7答：快艇的速度為9.85海里/小時(shí)，C，E之間的距離為19.9海里．30．（2020?隨州）如圖，某樓房AB頂部有一根天線BE，為了測(cè)量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點(diǎn)C，D，A，在點(diǎn)C處測(cè)得天線頂端E的仰角為60°，從點(diǎn)C走到點(diǎn)D，測(cè)得CD＝5米，從點(diǎn)D測(cè)得天線底端B的仰角為45°，已知A，B，E在同一條垂直于地面的直線上，AB＝25米．（1）求A與C之間的距離；（2）求天線BE的高度．（參考數(shù)據(jù)：3≈【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD＝AB＝25米，則可求出答案；（2）解直角三角形求出AE＝30?tan60°＝303（米），則可求出BE．【解析】（1）由題意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝25米，∵CD＝5米，∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），即A與C之間的距離是30米；（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝30米，∴AE＝30?tan60°＝303（米），∵AB＝25米，∴BE＝AE﹣AB＝（303-∵3≈∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．即天線BE的高度為27米．31．（2020?臨沂）如圖，要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角α般要滿足60°≤α≤75°，現(xiàn)有一架長(zhǎng)5.5m的梯子．（1）使用這架梯子最高可以安全攀上多高的墻（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？（2）當(dāng)梯子底端距離墻面2.2m時(shí)，α等于多少度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？此時(shí)人是否能夠安全使用這架梯子？（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．）【分析】（1）根據(jù)正弦的定義求出AC，得到答案；（2）根據(jù)余弦的定義求出α，根據(jù)題意判斷即可．【解析】（1）由題意得，當(dāng)α＝75°時(shí)，這架梯子可以安全攀上最高的墻，在Rt△ABC中，sinα=AC∴AC＝AB?sinα≈5.5×0.97≈5.3，答：使用這架梯子最高可以安全攀上5.3m的墻；（2）在Rt△ABC中，cosα=BC則α≈66.4°，∵60°≤66.4°≤75°，∴此時(shí)人能夠安全使用這架梯子．32．（2020?岳陽(yáng)）共抓長(zhǎng)江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽(yáng)，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項(xiàng)目，需要從如圖A，B兩地向C地新建AC，BC兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測(cè)得C地在A地北偏東45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距離為7km，求新建管道的總長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出新建管道的總長(zhǎng)度．【解析】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)題意可知：AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，∴AD＝CD，∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=CD∴CD7-CD∴CD＝2，∴AD＝CD＝2，BD＝7﹣2＝5，∴AC＝22≈BC=CD∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2（km）．答：新建管道的總長(zhǎng)度約為8.2km．33．（2020?營(yíng)口）如圖，海中有一個(gè)小島A，它周圍10海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由東向西航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏西60°方向上，航行12海里到達(dá)C點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏西30°方向上，如果漁船不改變方向繼續(xù)向西航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：3≈【分析】作高AN，由題意可得∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，進(jìn)而得出∠ABC＝∠BAC＝30°，于是AC＝BC＝12，在在Rt△ANC中，利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出AN與10海里比較即可．【解答】解：沒有觸礁的危險(xiǎn)；理由：如圖，過點(diǎn)A作AN⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，由題意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，∴∠ABC＝∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝12，在Rt△ANC中，AN＝AC?cos60°＝12×32=∵AN＝63≈∴沒有危險(xiǎn)．34．（2020?懷化）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量一棵古樹的高度，在距離古樹A點(diǎn)處測(cè)得古樹頂端D的仰角為30°，然后向古樹底端C步行20米到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得古樹頂端D的仰角為45°，且點(diǎn)A、B、C在同一直線上求古樹CD的高度．（已知：2≈1.414，3【分析】設(shè)CB＝CD＝x，根據(jù)tan30°=CD【解析】由題意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵△BCD是等腰直角三角形，∴CB＝CD，設(shè)CD＝x，則BC＝x，AC＝20+x，在Rt△ACD中，tan30°=CD解得x＝103+∴CD＝27，答：CD的高度為27米．35．（2020?湘潭）為了學(xué)生的安全，某校決定把一段如圖所示的步梯路段進(jìn)行改造．已知四邊形ABCD為矩形，DE＝10m，其坡度為i1＝1：3，將步梯DE改造為斜坡AF，其坡度為i2＝1：4，求斜坡AF的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，17【分析】先由DE的坡度計(jì)算DC的長(zhǎng)度，根據(jù)矩形性質(zhì)得AB長(zhǎng)度，再由AF的坡度得出BF的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AF的長(zhǎng)度．【解析】∵DE＝10m，其坡度為i1＝1：3，∴在Rt△DCE中，DE=D∴解得DC＝5．∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝5．∵斜坡AF的坡度為i2＝1：4，∴ABBF∴BF＝4AB＝20，∴在Rt△ABF中，AF=AB2故斜坡AF的長(zhǎng)度約為20.61米．36．（2020?株洲）某高速公路管理部門工作人員在對(duì)某段高速公路進(jìn)行安全巡檢過程中，發(fā)現(xiàn)該高速公路旁的一斜坡存在落石隱患．該斜坡橫斷面示意圖如圖所示，水平線l1∥l2，點(diǎn)A、B分別在l1、l2上，斜坡AB的長(zhǎng)為18米，過點(diǎn)B作BC⊥l1于點(diǎn)C，且線段AC的長(zhǎng)為26米．（1）求該斜坡的坡高BC；（結(jié)果用最簡(jiǎn)根式表示）（2）為降低落石風(fēng)險(xiǎn)，該管理部門計(jì)劃對(duì)該斜坡進(jìn)行改造，改造后的斜坡坡角α為60°，過點(diǎn)M作MN⊥l1于點(diǎn)N，求改造后的斜坡長(zhǎng)度比改造前的斜坡長(zhǎng)度增加了多少米？【分析】（1）運(yùn)用勾股定理解題即可；（2）根據(jù)勾股定理列出方程，求出AM，問題得解．【解析】（1）在Rt△ABC中，BC=A（2）∵∠α＝60°，∴∠AMN＝30°，∴AM＝2MN，∵在Rt△ABC中，AN2+MN2＝AM2，∴AN2+300＝4AN2∴AN＝10，∴AM＝20，∴AM﹣AB＝20﹣18＝2．綜上所述，長(zhǎng)度增加了2米．37．（2020?攀枝花）實(shí)驗(yàn)學(xué)校某班開展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”測(cè)量活動(dòng)．有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線MN的距離皆為100cm．王詩(shī)嬑觀測(cè)到高度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度i＝1：0.75，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)解答下列問題：（1）若王詩(shī)嬑的身高為150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長(zhǎng)為多少cm？（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)．請(qǐng)直接回答這個(gè)猜想是否正確？（3）若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為100cm，則高圓柱的高度為多少cm？【分析】（1）根據(jù)同一時(shí)刻，物長(zhǎng)與影從成正比，構(gòu)建方程即可解決問題．（2）根據(jù)落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，結(jié)合橫截面分析可得；（3）過點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G，設(shè)FG＝4m，CG＝3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，再根據(jù)同一時(shí)刻身高與影長(zhǎng)的比例，求出AH的長(zhǎng)度，即可得到AB．【解析】（1）設(shè)王詩(shī)嬑的影長(zhǎng)為xcm，由題意可得：9072解得：x＝120，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝120是分式方程的解，王詩(shī)嬑的的影子長(zhǎng)為120cm；（2）正確，因?yàn)楦邎A柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽(yáng)光的光線與MN垂直，則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，∴高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)；（3）如圖，AB為高圓柱，AF為太陽(yáng)光，△CDE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子，過點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G，由題意可得：BC＝100，CF＝100，∵斜坡坡度i＝1：0.75，∴DECE∴設(shè)FG＝4m，CG＝3m，在△CFG中，（4m）2+（3m）2＝1002，解得：m＝20，∴CG＝60，F(xiàn)G＝80，∴BG＝BC+CG＝160，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，∵同一時(shí)刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm，F(xiàn)G⊥BE，AB⊥BE，F(xiàn)H⊥AB，可知四邊形HBGF為矩形，∴9072∴AH=90∴AB＝AH+BH＝AH+FG＝200+80＝280，故高圓柱的高度為280cm．38．（2020?徐州）小紅和爸爸繞著小區(qū)廣場(chǎng)鍛煉．如圖，在矩形廣場(chǎng)ABCD邊AB的中點(diǎn)M處有一座雕塑．在某一時(shí)刻，小紅到達(dá)點(diǎn)P處，爸爸到達(dá)點(diǎn)Q處，此時(shí)雕塑在小紅的南偏東45°方向，爸爸在小紅的北偏東60°方向，若小紅到雕塑的距離PM＝30m，求小紅與爸爸的距離PQ．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，【分析】作PN⊥BC于N，則四邊形ABNP是矩形，得PN＝AB，證出△APM是等腰直角三角形，得AM=22PM＝152m，則PN＝AB＝2AM＝302m，在Rt△PNQ中，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得NQ=33PN＝106m，PQ＝2【解析】作PN⊥BC于N，如圖：則四邊形ABNP是矩形，∴PN＝AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠APM＝45°，∴△APM是等腰直角三角形，∴AM=22PM=22×∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴PN＝AB＝2AM＝302m，在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，∴NQ=33PN＝106m，PQ＝2NQ＝206≈答：小紅與爸爸的距離PQ約為49m．39．（2020?郴州）2020年5月5日，為我國(guó)載人空間站工程研制的長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在海南文昌首飛成功．運(yùn)較火箭從地面O處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，地面D處的雷達(dá)站測(cè)得AD＝4000米，仰角為30°．3秒后，火箭直線上升到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)地面C處的雷達(dá)站測(cè)得B處的仰角為45°．已知C，D兩處相距460米，求火箭從A到B處的平均速度（結(jié)果精確到1米/秒，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，2【分析】設(shè)火箭從A到B處的平均速度為x米/秒，根據(jù)題意可得AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，可得AO＝2000，DO＝20003，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，可得BO＝OC，即可得2000+3x＝20003-460，進(jìn)而解得x【解析】設(shè)火箭從A到B處的平均速度為x米/秒，根據(jù)題意可知：AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，∴AO＝2000，∴DO＝20003，∵CD＝460，∴OC＝OD﹣CD＝20003-在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴BO＝OC，∵OB＝OA+AB＝2000+3x，∴2000+3x＝20003-解得x≈335（米/秒）．答：火箭從A到B處的平均速度為335米/秒．40．（2020?黃岡）因東坡文化遠(yuǎn)近聞名的遺愛湖公園，“國(guó)慶黃金周”期間，游人絡(luò)繹不絕，現(xiàn)有一艘游船載著游客在遺愛湖中游覽，當(dāng)船在A處時(shí)，船上游客發(fā)現(xiàn)岸上P1處的臨摹亭和P2處的遺愛亭都在東北方向，當(dāng)游船向正東方向行駛600m到達(dá)B處時(shí)，游客發(fā)現(xiàn)遺愛亭在北偏西15°方向，當(dāng)游船繼續(xù)向正東方向行駛400m到達(dá)C處時(shí)，游客發(fā)現(xiàn)臨摹亭在北偏西60°方向．（1）求A處到臨摹亭P1處的距離；（2）求臨摹亭P1處于遺愛亭P2處之間的距離．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）【分析】（1）如圖，作P1M⊥AC于M，設(shè)P1M＝x，在兩個(gè)直角三角形中，利用三角函數(shù)即可x表示出AM與CM，根據(jù)AC＝AM+CM即可列方程，從而求得P1M的長(zhǎng)，進(jìn)一步求得AP1的長(zhǎng)；（2）作BN⊥AP2于N，在兩個(gè)直角三角形中，利用三角函數(shù)即可求出AN與P2N，根據(jù)（1）的結(jié)果求得P1N，從而求得P1P2．【解析】（1）作P1M⊥AC于M，設(shè)P1M＝x，在Rt△P1AM中，∵∠P1AB＝45°，∴AM＝P1M＝x，在Rt△P1CM中，∵∠P1CA＝30°，∴MC=3P∵AC＝1000，∴x+3x=100，解得x＝500（∴P1M＝500（3-1）∴P1A=P1M22故A處到臨摹亭P1處的距離為500（6-2）（2）作BN⊥AP2于N，∵∠P2AB＝45°，∠P2BA＝75°，∴∠P2＝60°，在Rt△ABN中，∵∠P1AB＝45°，AB＝600m∴BN＝AN=22AB＝300∴PN＝500（6-2）﹣3002=5006在Rt△P2BN中，∵∠P2＝60°，∴P2N=33BN=3∴P1P2＝1006-（5006-8002）＝8002-故臨摹亭P1處于遺愛亭P2處之間的距離是（8002-4006）m41．（2020?天津）如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC，BC．測(cè)得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，求AB的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．【分析】通過作高，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，列方程求解即可．【解析】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，∵∠ACB＝45°，∴AD＝CD，設(shè)AB＝x，在Rt△ADB中，AD＝AB?sin58°≈0.85x，BD＝AB?cos58°≈0.53x，又∵BC＝221，即CD+BD＝221，∴0.85x+0.53x＝221，解得，x≈160，答：AB的長(zhǎng)約為160m．42．（2020?陜西）如圖所示，小明家與小華家住在同一棟樓的同一單元，他倆想測(cè)算所住樓對(duì)面商業(yè)大廈的高M(jìn)N．他倆在小明家的窗臺(tái)B處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角∠1的度數(shù)，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測(cè)得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù)．于是，他倆上樓來(lái)到小華家，在窗臺(tái)C處測(cè)得大廈底部M的俯角∠2的度數(shù)，竟然發(fā)現(xiàn)∠1與∠2恰好相等．已知A，B，C三點(diǎn)共線，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，試求商業(yè)大廈的高M(jìn)N．【分析】過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F，可得四邊形AMEC和四邊形AMFB均為矩形，可以證明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，進(jìn)而可得商業(yè)大廈的高M(jìn)N．【解析】如圖，過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F，∴∠CEF＝∠BFE＝90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，∴四邊形AMEC和四邊形AMFB均為矩形，∴CE＝BF，ME＝AC，∠1＝∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF＝EM＝31+18＝49，由矩形性質(zhì)可知：EF＝CB＝18，∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．答：商業(yè)大廈的高M(jìn)N為80m．43．（2020?內(nèi)江）為了維護(hù)我國(guó)海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)行了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)60海里的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔P在北偏東60°方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時(shí)到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上．（1）求B處到燈塔P的距離；（2）已知燈塔P的周圍50海里內(nèi)有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度數(shù)即可解決問題，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定．【解析】（1）∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，∴PB＝AB＝60海里；（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝60，在Rt△PBH中，PH＝PB?sin60°＝60×32=∵303＞∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．44．（2020?天水）為了維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖所示，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)40海里的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東45°方向上．（1）求∠APB的度數(shù)；（2）已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3【分析】（1）由題意得，∠PAB＝30°，∠APB＝135°由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；（2）作PH⊥AB于H，則△PBH是等腰直角三角形，BH＝PH，設(shè)BH＝PH＝x海里，求出AB＝20海里，在Rt△APH中，由三角函數(shù)定義得出方程，解方程即可．【解析】（1）由題意得，∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠APB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠APB＝180°﹣30°﹣135°＝15°；（2）作PH⊥AB于H，如圖：則△PBH是等腰直角三角形，∴BH＝PH，設(shè)BH＝PH＝x海里，由題意得：AB＝40×30在Rt△APH中，tan∠PAB＝tan30°=PH即x20+x解得：x＝103+∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行安全．45．（2020?鹽城）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，tanA=33，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CD=3【分析】根據(jù)∠C＝90°，tanA=33，可求出∠A＝30°，∠ABC＝60°，再根據(jù)BD是∠ABC的平分線，求出∠CBD＝∠【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=3∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，又∵CD=3∴BC=CD在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB=BC答：AB的長(zhǎng)為6．46．（2020?鄂州）鄂州市某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無(wú)人機(jī)測(cè)量一條河流的寬度CD．如圖所示，一架水平飛行的無(wú)人機(jī)在A處測(cè)得正前方河流的左岸C處的俯角為α，無(wú)人機(jī)沿水平線AF方向繼續(xù)飛行50米至B處，測(cè)得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線段AM的長(zhǎng)為無(wú)人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)M、C、D在同一條直線上．其中tanα＝2，MC＝503米．（1）求無(wú)人機(jī)的飛行高度AM；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求河流的寬度CD．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3【分析】（1）在Rt△ACM中，由tanα＝2，MC＝503，可求出AM即可；（2）在Rt△BND中，∠BDM＝30°，BN＝1003，可求出DN，進(jìn)而求出DM和CD即可．【解析】過點(diǎn)B作BN⊥MD，垂足為N，由題意可知，∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50，（1）在Rt△ACM中，tanα＝2，MC＝503，∴AM＝2MC＝1003=BN答：無(wú)人機(jī)的飛行高度AM為1003米；（2）在Rt△BND中，∵tan∠BDN=BNDN，即：tan30°∴DN＝300，∴DM＝DN+MN＝300+50＝350，∴CD＝DM﹣MC＝350﹣503≈答：河流的寬度CD約為264米．47．（2020?遼陽(yáng)）如圖，我國(guó)某海域有A，B兩個(gè)港口，相距80海里，港口B在港口A的東北方向，點(diǎn)C處有一艘貨船，該貨船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求貨船與港口A之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，求出∠ABC＝60°，在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，由三角函數(shù)定義求出AD＝AB?sin∠ABD＝403，求出∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝45°，則△ADC是等腰直角三角形，得出AC=2AD＝406【解析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，如圖所示：由題意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB?sin∠ABD＝80×sin60°＝80×32=∵∠CAB＝30°+45°＝75°，∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AC=2AD=2×403答：貨船與港口A之間的距離是406海里．48．（2020?南京）如圖，在港口A處的正東方向有兩個(gè)相距6km的觀測(cè)點(diǎn)B、C．一艘輪船從A處出發(fā)，沿北偏東26°方向航行至D處，在B、C處分別測(cè)得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求輪船航行的距離AD．（參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出輪船航行的距離AD．【解析】如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，在Rt△DCH中，∠C＝37°，∴CH=DH在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，∴BH=DH∵BC＝CH﹣BH，∴DHtan37°解得DH≈18，在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，∴AD=DH答：輪船航行的距離AD約為20km．49．（2020?廣元）如圖，公路MN為東西走向，在點(diǎn)M北偏東36.5°方向上，距離5千米處是學(xué)校A；在點(diǎn)M北偏東45°方向上距離62千米處是學(xué)校B．（參考數(shù)據(jù)：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）．（1）求學(xué)校A，B兩點(diǎn)之間的距離；（2）要在公路MN旁修建一個(gè)體育館C，使得A，B兩所學(xué)校到體育館C的距離之和最短，求這個(gè)最短距離．【分析】（1）過點(diǎn)A作CD∥MN，BE⊥MN，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△MBE中求出BE，ME，繼而得出AD，BD的長(zhǎng)度，在Rt△ABD中利用勾股定理可得出AB的長(zhǎng)度．（2）作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)G，連接AG交MN于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為站點(diǎn)，求出AG的長(zhǎng)度即可．【解析】（1）過點(diǎn)A作CD∥MN，BE⊥MN，如圖：在Rt△ACM中，∠CMA＝36.5°，AM＝5km，∵sin36.5°=CA∴CA＝3，MC＝4km，在Rt△MBE中，∠NMB＝45°，MB=62km∵sin45°=BE∴BE＝6，ME＝6km，∴AD＝CD﹣CA＝ME﹣CA＝3km，BD＝BE﹣DE＝BE﹣CM＝2km，在Rt△ABD中，AB=13km（2）作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)G，連接AG交MN于點(diǎn)P，連接PB，點(diǎn)P即為站點(diǎn)，此時(shí)PA+PB＝PA+PG＝AG，即A，B兩所學(xué)校到體育館C的距離之和最短為AG長(zhǎng)在Rt△ADG中，AD＝3，DG＝DE+EG＝DE+BE＝4+6＝10，∠ADG＝90°，∴AG=AD答：最短距離為109km．50．（2020?江西）如圖1是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．量得托板長(zhǎng)AB＝120mm，支撐板長(zhǎng)CD＝80mm，底座長(zhǎng)DE＝90mm．托板AB固定在支撐板頂端點(diǎn)C處，且CB＝40mm，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求點(diǎn)A到直線DE的距離；（2）為了觀看舒適，在（1）的情況下，把AB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°后，再將CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線DE上即可，求CD旋轉(zhuǎn)的角度．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，3≈【分析】（1）通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出CB、AF，即可求出點(diǎn)A到直線DE的距離；（2）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，結(jié)合圖形，明確圖形中的已知的邊角，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出相應(yīng)的角度即可．【解析】（1）如圖2，過A作AM⊥DE，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CF⊥AM，垂足為F，過點(diǎn)C作CN⊥DE，垂足為N，由題意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD?sin∠CDE＝80×32=403（mm∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC?sin40°＝80×0.643≈51.44，∴AM＝AF+FM＝51.44+403≈120.7（mm答：點(diǎn)A到直線DE的距離約為120.7mm；（2）旋轉(zhuǎn)后，如圖3所示，根據(jù)題意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，∴tan∠D=BC∴∠D＝26.6°，因此旋轉(zhuǎn)的角度為：60°﹣26.6°＝33.4°，答：CD旋轉(zhuǎn)的角度約為33.4°．專題20圓選擇題（共50道）一．選擇題（共50小題）1．（2020?濱州）在⊙O中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點(diǎn)C，若OC：OB＝3：5，則DE的長(zhǎng)為（）A．6 B．9 C．12 D．152．（2020?黔東南州）如圖，⊙O的直徑CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AB的長(zhǎng)為（）A．8 B．12 C．16 D．2913．（2020?武漢）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是（）A．523 B．33 C．32 4．（2020?宜昌）如圖，E，F(xiàn)，G為圓上的三點(diǎn)，∠FEG＝50°，P點(diǎn)可能是圓心的是（）A． B． C． D．5．（2020?營(yíng)口）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，連接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．110° B．130° C．140° D．160°6．（2020?荊門）如圖，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．14° B．28° C．42° D．56°7．（2020?臨沂）如圖，在⊙O中，AB為直徑，∠AOC＝80°．