直角三角形的判定及反證法（提高）知識(shí)講解

直角三角形的判定及反證法（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用，能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.2.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.3.理解反證法并能用反證法推理證明簡(jiǎn)單幾何題.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂勾股定理逆定理知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.要點(diǎn)二、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形(1)首先確定最大邊（如）.(2)驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.要點(diǎn)三、勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.要點(diǎn)詮釋：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（3）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；要點(diǎn)四、反證法反證法定義：在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或者已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.要點(diǎn)詮釋：反證法也稱歸謬法，是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，而且有些命題只能用它去證明．一般證明步驟如下：（1）假定命題的結(jié)論不成立；

（2）進(jìn)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾；

（3）由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來(lái)的假定“結(jié)論不成立”是錯(cuò)誤的；

（4）肯定原來(lái)命題的結(jié)論是正確的．【典型例題】類型一、勾股定理逆定理的應(yīng)用1、（2014春?防城區(qū)期末）如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長(zhǎng)為36cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊向B點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，問(wèn)過(guò)3秒時(shí)，△BPQ的面積為多少？【思路點(diǎn)撥】本題先設(shè)適當(dāng)?shù)膮?shù)求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式計(jì)算求解．【答案與解析】解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，∵周長(zhǎng)為36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，過(guò)3秒時(shí)，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP?BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故過(guò)3秒時(shí)，△BPQ的面積為18cm2．【總結(jié)升華】本題是道綜合性較強(qiáng)的題，需要學(xué)生把勾股定理的逆定理、三角形的面積公式結(jié)合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關(guān)鍵．隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力．舉一反三：【變式1】（2015春?渝中區(qū)校級(jí)月考）△ABC的三邊a、b、c滿足|a+b﹣50|++（c﹣40）2=0．試判斷△ABC的形狀是．【答案】直角三角形．解：∵|a+b﹣50|++（c﹣40）2=0，∴，解得，∵92+402=412，∴△ABC是直角三角形．故答案為直角三角形．【變式2】如圖所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度數(shù)．【答案】解：連接BD．∵CD⊥CP，且CD＝CP＝2，∴△CPD為等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．∵∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD．∵CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)，∴DB＝PA＝3．在Rt△CPD中，．又∵PB＝1，則．∵，∴，∴△DPB為直角三角形，且∠DPB＝90°，∴∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．2、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)B，與軸交于點(diǎn)A，直線與軸交于點(diǎn)C，同時(shí)也過(guò)點(diǎn)A．請(qǐng)判斷兩直線有怎樣的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】判斷兩直線的位置關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為判斷△ABC的形狀．要判斷△ABC的形狀，需先求出其三邊的長(zhǎng)，而由直線的解析式易求出線段AO，BO，CO的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可求得AB，AC的長(zhǎng)．【答案與解析】解：∵直線與軸交于點(diǎn)B，∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1，0)．∵直線與軸交于點(diǎn)A，∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)．∴AO＝3，BO＝1．在Rt△ABO中，由勾股定理，得．∵直線與軸交于點(diǎn)C，∴當(dāng)＝0時(shí)，＝9，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(9，0)．在Rt△ACO中，由勾股定理，得．又∵BC＝BO+CO＝10，∴，．∴．∴△ABC為直角三角形，∴AB⊥AC．【總結(jié)升華】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)判斷一個(gè)三角形的形狀，可考慮勾股定理的逆定理．另外，在平面直角坐標(biāo)系中，只要知道兩點(diǎn)的坐標(biāo)，便可求出線段的長(zhǎng)度．類型二、勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用3、如圖所示，MN以左為我國(guó)領(lǐng)海，以右為公海，上午9時(shí)50分我國(guó)緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C并以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我國(guó)領(lǐng)海開(kāi)來(lái)，便立即通知距其5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測(cè)得C與其距離為12海里，若走私艇C的速度不變，最早在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)海域？【答案與解析】解：∵，∴△ABC為直角三角形．∴∠ABC＝90°．又BD⊥AC，可設(shè)CD＝，∴①－②得，解得．∴≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10時(shí)41分進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海．【總結(jié)升華】（1）本題用勾股定理作相等關(guān)系列方程解決問(wèn)題，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，為勾股定理的運(yùn)用提供了條件．類型三、反證法4、求證：在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么它們所對(duì)的邊也不等．【思路點(diǎn)撥】先假設(shè)它們的對(duì)邊相等，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出假設(shè)不成立，從而證得原結(jié)論成立．【答案與解析】證明：假設(shè)它們所對(duì)的邊相等；則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理，“等邊對(duì)等角”所以等它們所對(duì)的角也相等；這就與題設(shè)兩個(gè)角不等相矛盾；因