專題09拿高分題目強化卷（第三篇）

沖刺2020高考數(shù)學之拿高分題目強化卷第一期【北京版】專題93月一模精選壓軸卷（第9卷）1．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，離心率為e，過點的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若，且，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，，，，，，設(shè)，則，，由雙曲線定義可得：，，，，故，解得，則．在中，由勾股定理可得：，即，得，，故選．2．已知函數(shù)則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】．①當時，，，不等式②當時，，，不等式③當時，，，不等式④當時，，，不等式．綜上，不等式的解集為，故選C．3．已知矩形中，，當每個取遍時，的最小值是_____，最大值是_______．【答案】0【解析】建立如圖所示坐標系：，則由題意若使模長最大，則不妨設(shè)為則當時模長最大為；當時模長最小值為0，故答案為：0；．4．數(shù)列的前n項和為，若數(shù)列的各項按如下規(guī)律排列：，，，，，，，，，，，，…，，…有如下運算和結(jié)論：①；②數(shù)列，，，，…是等比數(shù)列；③數(shù)列，，，，…的前項和為；④若存在正整數(shù)，使，，則．其中正確的結(jié)論是_____．（將你認為正確的結(jié)論序號都填上）【答案】①③④【解析】①前24項構(gòu)成的數(shù)列是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，所以，故①正確；②數(shù)列，，，，…是，1，，2，…，，，由等差數(shù)列定義（常數(shù)），所以數(shù)列，，，，…是等差數(shù)列，故②不正確；③因為數(shù)列，，，，…是等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列前項和公式可知：，故③正確；④由③知：，，，，，，是，1，，2，，．因為，，所以存在，使，，且，故④正確．故答案為：①③④．5．已知橢圓C：的離心率為，過焦點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的方程；（2）已知點，，過點的任意一條直線與橢圓交于，兩點，求證：．【解析】（1）解：因為，令，得，因為過焦點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，所以，根據(jù)離心率為，得，結(jié)合，解得，，所以橢圓的方程為．（2）證明：要證明，只需證明，過，分別作軸的垂線段，，易得：，所以只需證明，所以只需證明，只需證明．當直線的斜率不存在時，易得．當直線的斜率存在時，不妨設(shè)其為，則直線的方程為，聯(lián)立消去y，得，設(shè)，，則，，直線的斜率，直線的斜率，．綜上所述，．6．已知函數(shù)．（1）求在點處的切線方程；（2）若方程有兩個實數(shù)根，，且，證明．【解析】（1）解：，，，所以切線方程為．（2）證明：由（1）知在點處的切線方程為．設(shè)，構(gòu)造，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．當且僅當時取“”∵方程的根．又，由在上單調(diào)遞減，所以．另一方面，在點處的切線方程為．設(shè)，構(gòu)造．，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，當且僅當時取“”，∵方程的根，又，由在上單調(diào)遞增，所以．所以，得證．7．若無窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì)．（1）若具有性質(zhì)，且，求；（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是等比數(shù)列，，，．判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；（3）設(shè)是無窮數(shù)列，已知．求證：“對任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”．【解析】（1）解：因為，所以，，，．所以，又因為，解得（2）解：的公差為，所以，的公比為，所以所以，所以，，，因為，所以不具有性質(zhì)．（3）證明充分性：當為常數(shù)列時，．對任意給定的，只要，則由，必有．充分性得證．證明必要性：用反證法證明．假設(shè)不是常數(shù)列，則存在，使得，而．下面證明存在滿足的，使得，但．設(shè)，取