高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：傅立葉級(jí)數(shù)

一、三角函數(shù)系的正交性二、函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)

一、三角函數(shù)系的正交性2、三角函數(shù)系為1、三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù),3、三角函數(shù)系的正交性

三角函數(shù)系在上正交,是指三角函數(shù)系中任何不同的兩個(gè)函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分等于零.即注意:

在三角函數(shù)系中,兩個(gè)相同函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分不等于零，即:

二、函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)1、函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)的含義:并設(shè)三角級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分.則此式稱為函數(shù)f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)，傅立葉系數(shù).將代入三角級(jí)數(shù)的右端，得：即：類似可得：3、收斂定理(狄里克雷充分條件)設(shè)

f(x)是周期為的周期函數(shù)，如果它滿足：

(1)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；

(2)在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn).當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于f(x);當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于則f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)收斂，并且：狄里克雷充分條件的解釋:(1)即函數(shù)f(x)在上不作無(wú)限次振動(dòng)，函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處就收斂于該點(diǎn)的函數(shù)值f(x);(2)在間斷點(diǎn)，則收斂于該點(diǎn)的左極限與右極限的算術(shù)平均值.通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限f(x0-)及f(x0+)都存在，那么x0稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn).不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).將f(x)展開成傅立葉級(jí)數(shù).(3)傅立葉展開式為：4、周期延拓:

若f(x)不是周期為的周期函數(shù)，只在上有定義，并滿足狄利克雷條件，可在或外補(bǔ)充函數(shù)定義，使f(x)拓廣為周期為的周期函數(shù)F(x)，稱這種拓廣函數(shù)定義域的過(guò)程為周期延拓.將F(x)展開為傅立葉級(jí)數(shù)，最后限制x在傅立葉級(jí)數(shù)定理設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件，則它的傅立葉級(jí)數(shù)展開式為其中系數(shù)an、bn為(2)證明說(shuō)明:當(dāng)f(x)為奇