新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯(cuò)題型第31講 平面向量的應(yīng)用（原卷版）

第31講平面向量的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)全通關(guān)】一：法向量與點(diǎn)到直線的距離1．對(duì)于直線SKIPIF1<0是直線的方向向量，SKIPIF1<0是直線的法向量．2．已知直線SKIPIF1<0和定點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為與SKIPIF1<0垂直的單位向量，則P到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．【微點(diǎn)撥】（1）如果給出的方程不是一般式，應(yīng)先將方程化為一般式；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，可以得到兩平行直線SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0，應(yīng)用此公式時(shí)，要預(yù)先把兩直線中的SKIPIF1<0的系數(shù)調(diào)整到分別相同才行．二：向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：（1）證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時(shí)用到向量減法的意義．（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運(yùn)用向量平行（共線）的條件：SKIPIF1<0（或x1y2－x2y1=0）．（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運(yùn)用向量垂直的條件：SKIPIF1<0（或x1x2+y1y2=0）．（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式SKIPIF1<0．（5）向量的坐標(biāo)法，對(duì)于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題．【微點(diǎn)撥】用向量知識(shí)證明平面幾何問題是向量應(yīng)用的一個(gè)方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運(yùn)算法則運(yùn)算就可以達(dá)到解決幾何問題的目的了．三：向量在解析幾何中的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量，使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系，特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決．常見解析幾何問題及應(yīng)對(duì)方法：（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質(zhì)．（2）垂直條件運(yùn)用：轉(zhuǎn)化為向量垂直，然后構(gòu)造向量數(shù)量積為零的等式，最終轉(zhuǎn)換出關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的方程．（3）定比分點(diǎn)問題：轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線及向量共線的等式條件．（4）夾角問題：利用公式SKIPIF1<0．四：向量在物理中的應(yīng)用（1）利用向量知識(shí)來確定物理問題，應(yīng)注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即將物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象．（2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識(shí)：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動(dòng)量mv是數(shù)乘向量；④功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積．（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運(yùn)算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論．【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)一：點(diǎn)到直線的距離公式1．求經(jīng)過P（-1，2）與直線SKIPIF1<0平行的直線的方程．【變式1-1】已知直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方程分別為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．考點(diǎn)二：向量在平面幾何中的應(yīng)用2．用向量法證明：直徑所對(duì)的圓周角是直角．已知：如下圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O上任一點(diǎn)（不與A、B重合），求證：∠APB＝90°．【變式2-1】如下圖，正三角形ABC中，D、E分別是AB、BC上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且AE、CD交于點(diǎn)P．求證：BP⊥CD．【變式2-2】如圖所示，四邊形ADCB是正方形，P是對(duì)角線DB上一點(diǎn)，PFCE是矩形，證明：SKIPIF1<0.【變式2-3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（―1，―2），B（2，3），C（―2，―1）．（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長；（2）設(shè)實(shí)數(shù)t滿足SKIPIF1<0，求t的值．【變式2-4】四邊形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點(diǎn)F．求證：AF=AE．考點(diǎn)三：向量在解析幾何中的應(yīng)用3．已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且SKIPIF1<0，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．【變式3-1】已知圓C：（x-3）2+（y-3）2=4及定點(diǎn)A（1，1），M為圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段MA上，且SKIPIF1<0，求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程．【變式3-2】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點(diǎn)．（1）求直線DE、EF、FD的方程；（2）求AB邊上的高CH所在直線的方程．考點(diǎn)四：向量在物理學(xué)中“功”的應(yīng)用4．如圖所示，已知力F與水平方向的夾角為30°（斜向上），大小為50N，一個(gè)質(zhì)量為8kg的木塊受力F的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.02的水平平面上運(yùn)動(dòng)了20m．問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？（g=10m/s2）考點(diǎn)五：向量在力學(xué)中的應(yīng)用5．如圖，用兩條同樣長的繩子拉一物體，物體受到重力為G．兩繩受到的拉力分別為F1、F2，夾角為SKIPIF1<0．（1）求其中一根繩子受的拉力|F1|與G的關(guān)系式，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)分析F1的大小與夾角SKIPIF1<0的關(guān)系；（2）求F1的最小值；（3）如果每根繩子的最大承受拉力為|G|，求SKIPIF1<0的取值范圍．【考點(diǎn)易錯(cuò)】1．如圖，在△OAB中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試以a，b為基底表示SKIPIF1<0．2．已知A、B、C是不共線的三點(diǎn)，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，證明O是△ABC的重心．3．設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是三個(gè)有共同起點(diǎn)的不共線向量，求證：它們的終點(diǎn)A、B、P共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)m、n使m+n=1且SKIPIF1<0．【鞏固提升】1.等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0.（Ⅰ）求函數(shù)fx的（Ⅱ）若銳角SKIPIF1<0的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且fA=1，求SKIPIF1<0的取值范圍.3．在SKIPIF1<0中,內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0,且向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影.4.一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為________．5．在水流速度為SKIPIF1<0的河流中，有一艘船正沿與水流垂直的方向以SKIPIF1<0的速度航行，則船自身航行的速度大小為____________SKIPIF1<0.6．在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF