數(shù)學學案：課堂探究等差數(shù)列

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究一、解讀等差數(shù)列的概念剖析：(1）在等差數(shù)列的定義中，要注意兩點，“從第2項起”及“同一個常數(shù)”．因為數(shù)列的第1項沒有前一項,因此強調從第2項起，如果一個數(shù)列，不從第2項起，而是從第3項或從第4項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列，但可以說從第2項或第3項起是一個等差數(shù)列．（2)一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它的前一項的差，盡管等于常數(shù)，這個數(shù)列可不一定是等差數(shù)列,因為這個常數(shù)可以不同，要注意“差是常數(shù)”和“差是同一個常數(shù)”的含義的不同,如數(shù)列2，4，5,9，從第2項起，每一項與它前一項的差都是常數(shù)，但常數(shù)是不相同的，當常數(shù)不同時，就不是等差數(shù)列，因此定義中“同一個常數(shù)”，這個“同一個”十分重要，切記不可丟掉．二、等差數(shù)列的性質剖析：若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，（1）d＝0時，數(shù)列為常數(shù)列；d〉0時，數(shù)列為遞增數(shù)列；d<0時，數(shù)列為遞減數(shù)列．（2)d＝eq\f(an－a1,n－1）＝eq\f（am－ak,m－k)（m,n，k∈N+)．(3)an＝am＋(n－m）d(n,m∈N+）．（4)若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N+),則am＋an＝ap＋aq．（5）若eq\f（m＋n,2)＝k，則am＋an＝2ak．(6)若數(shù)列{an｝是有窮等差數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之和都相等，且等于首末兩項之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai+1＋an－i＝…．（7）數(shù)列｛λan＋b｝(λ，b是常數(shù)）是公差為λd的等差數(shù)列．(8）下標成等差數(shù)列且公差為m的項ak,ak+m,ak+2m,…(k，m∈N+）組成公差為md的等差數(shù)列．(9）若數(shù)列｛bn}也為等差數(shù)列，則｛an±bn｝,｛kan＋b}(k，b為非零常數(shù)）也成等差數(shù)列．（10)若｛an｝是等差數(shù)列，則a1，a3，a5，…仍成等差數(shù)列．（11)若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9,…仍成等差數(shù)列．名師點撥：用性質(4)時要注意，序號的和相等，但項數(shù)不同,此結論不一定正確，如a8＝a2＋a6，a1＋a3＋a4＝a2＋a6，就不一定正確．三、教材中的“?”(1）通項公式為an＝an－b（a,b是常數(shù)）的數(shù)列都是等差數(shù)列嗎?剖析：通項公式為an＝an－b（a，b為常數(shù))的數(shù)列都是等差數(shù)列，其公差為a．(2)怎么證明A＝eq\f(x＋y，2）？剖析：∵x，A，y成等差數(shù)列，∴A－x＝y(tǒng)－A,即2A＝x＋y．∴A＝eq\f(x＋y，2)．(3）要確定一個等差數(shù)列的通項公式，需要知道幾個獨立的條件？剖析：因為等差數(shù)列的通項公式中涉及首項a1與公差d，所以要確定一個等差數(shù)列的通項公式，需要知道兩個獨立的條件．題型一等差數(shù)列定義的應用【例1】判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列．（1)an＝3n＋2；(2)an＝n2＋n．分析：利用等差數(shù)列的定義,即判斷an+1－an(n∈N＋)是否為同一個常數(shù)．解：(1）an+1－an＝3（n＋1）＋2－(3n＋2)＝3（n∈N+）．由n的任意性知，這個數(shù)列為等差數(shù)列．(2)an+1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－(n2＋n）＝2n＋2，不是常數(shù)，所以這個數(shù)列不是等差數(shù)列．反思：利用定義法判斷等差數(shù)列時，關鍵是看an＋1－an得到的結果是否是一個與n無關的常數(shù)，若是，即為等差數(shù)列，若不是，則不是等差數(shù)列．題型二等差數(shù)列的通項公式及其應用【例2】已知遞減等差數(shù)列{an}的前三項和為18，前三項的乘積為66,求數(shù)列｛an}的通項公式,并判斷－34是數(shù)列｛an}的項嗎？分析：由數(shù)列前三項和為18，前三項積為66，列出關于a1和d的方程組,通過解方程組求得a1和d，由遞減等差數(shù)列的條件確定方程組的解即可求出an；由an＝－34求n,然后由n∈N+可判斷．解：由題意設該數(shù)列的首項為a1，公差為d，則即得或又由該數(shù)列為遞減數(shù)列，∴d＝5時不合題意，故該數(shù)列的通項公式為an＝a1＋（n－1）d＝11－5（n－1）＝－5n＋16．且－34是數(shù)列｛an｝中的項，為第10項．【互動探究】若將本例中的“遞減等差數(shù)列"改為“遞增等差數(shù)列”，其余條件不變，如何求解?答案:an＝5n－4，－34不是數(shù)列{an}中的項．題型三等差數(shù)列性質的應用【例3】已知等差數(shù)列｛an｝中，a2＋a6＋a10＝1,求a3＋a9．分析：既可以用等差數(shù)列的性質得到a2＋a10＝a3＋a9＝2a6,也可以由通項公式得a1與d間的關系再求解．解：方法一：根據(jù)等差數(shù)列的性質,得a2＋a10＝a3＋a9＝2a6．由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1,解得a6＝eq\f(1，3)．∴a3＋a9＝2a6＝eq\f(2，3)．方法二：根據(jù)等差數(shù)列的通項公式,得a2＋a6＋a10＝（a1＋d)＋(a1＋5d）＋（a1＋9d)＝3a1＋15d．由題意知3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝eq\f(1,3)．∴a3＋a9＝2a1＋10d＝2(a1＋5d）＝eq\f（2，3）．反思：方法一運用了等差數(shù)列的性質:若m＋n＝p＋q＝2w，則am＋an＝ap＋aq＝2aw（m，n,p，q，w都是正整數(shù)）；方法二利用通項公式轉化為數(shù)列的首項與公差的結構完成運算,屬于通法．兩種方法都運用了整體代換及方程的思想．【例4】已知等差數(shù)列｛an｝中，a49＝80,a59＝100，求a79的值．分析：（1)采用基本量法求解;（2）靈活運用性質求解．解：解法1：設公差為d,則解得∴a79＝a1＋78d＝－16＋78×2＝140．解法2:∵ap＝aq＋(p－q）d，∴d＝eq\f(a59－a49,59－49)＝eq\f(100－80,10）＝eq\f(20,10）＝2．∴a79＝a59＋（79－59）×d＝100＋20×2＝140．解法3：∵a49，a59,a69,a79，…成等差數(shù)列，∴a79＝a49＋（4－1）(a59－a49)＝80＋3×20＝140．反思：用通項公式解答等差數(shù)列問題的基本方法主要是:（1)采用基本量法，即解得數(shù)列的首項a1，公差d，運用通項公式解決問題；(2）靈活運用性質，這是簡化等差數(shù)列運算的有效手段．題型四構造等差數(shù)列求通項公式【例5】（1）數(shù)列｛an}的各項均為正數(shù),且滿足an＋1＝an＋2eq\r(an）＋1，a1＝1，求an;（2）在數(shù)列｛an}中，a1＝1，且滿足an＋1＝eq\f(2an,an＋2），求an．分析：利用題中所給關系的結構特征，構造等差數(shù)列,利用所構造的等差數(shù)列求an．解：（1）由an+1＝an＋2eq\r（an）＋1,可得an+1＝（eq\r(an)＋1）2．∵an>0,∴eq\r(an＋1）＝eq\r(an)＋1，即eq\r（an＋1)－eq\r(an)＝1．∴｛eq\r(an）｝是首項為eq\r(a1)＝1,公差為1的等差數(shù)列．∴eq\r（an)＝1＋(n－1)＝n．∴an＝n2．（2）由an+1＝eq\f(2an，an＋2）,可得eq\f（1,an＋1)＝eq\f（1，an)＋eq\f(1，2)，∴eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(\f(1,an）)）是首項為eq\f（1，a1)＝1，公差為eq\f(1,2）的等差數(shù)列．∴eq\f（1，an）＝1＋eq\f(1,2)（n－1)＝eq\f(n＋1,2）．∴an＝eq\f(2，n＋1)．反思：應熟記幾種輔助數(shù)列構造方法及其對應數(shù)列的結構形式．構造等差數(shù)列的方法一般有：平方法、開平方法、倒數(shù)法等．題型五易錯辨析【例6】已知b是a，c的等差中項，且lg(a＋1），lg（b－1)，lg(c－1）成等差數(shù)列，同時a＋b＋c＝15，求a,b,c的值．錯解：因為b是a，c的等差中項，所以2b＝a＋c．又因為a＋b＋c＝15，所以3b＝15，所以b＝5．設a，b，c的公差為d，則a＝5－d，c＝5＋d．由題可知2lg（b－1）＝lg(a＋1）＋lg(c－1），所以2lg4＝lg(5－d＋1）＋lg(5＋d－1）．所以16＝25－（d－1）2．所以（d－1）2＝9，即d－1＝3．所以d＝4,所以a,b，c分別為1，5，9．錯因分析：解方程(d－1）2＝9時，d－1應取±3兩個．而錯解只取d－1＝3，漏掉了d－1＝－3的情況．正解：因為b是a,c的等差中項，所以2b＝a＋c．又因為a＋b＋c＝15,所以3b＝15．所以b＝5．設a，b,c的公差為d,則a＝5－d,c＝5＋d．由題可知2lg(b－1)＝lg（a＋1）＋lg(c－1)，所以2lg4＝lg（5－d＋1）＋lg(5＋d－1）．所以16＝25－（d－1）2,即（d－1)2＝9．所以d－1＝±3，即d＝4或d＝－2．所以a，b，c三個數(shù)分別為1，5，9或7，5，3．【例7】已知兩個等差數(shù)列{an}：5，8,11，…與｛bn}:3，7，11，…,它們的項數(shù)均為100，則它們有多少個彼此具有相同數(shù)值的項？錯解：由已知兩等差數(shù)列的前3項,容易求得它們的通項公式分別為an＝3n＋2，bn＝4n－1（1≤n≤100）．令an＝bn，得3n＋2＝4n－1，即n＝3．所以兩數(shù)列只有1個數(shù)值相同的項，即第3項．錯因分析：本題中所說的數(shù)值相同的項,它們的項的序號并不一定相同．例如23在數(shù)列｛an｝中是第7項，而在數(shù)列｛