河北衡中同卷2024年高三高考模擬訓(xùn)練評(píng)估卷(5)數(shù)學(xué)試題_第1頁
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河北衡中同卷2024年高三高考模擬訓(xùn)練評(píng)估卷(5)數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,若的最大值為2,則實(shí)數(shù)k的值為()A.1 B. C.2 D.2.在中,角所對(duì)的邊分別為,已知,.當(dāng)變化時(shí),若存在最大值,則正數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.3.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則的最小值為A.8 B.16 C.24 D.364.已知函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱,,當(dāng)取得最小值時(shí),函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.5.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.46.集合,,則=()A. B.C. D.7.由曲線圍成的封閉圖形的面積為()A. B. C. D.8.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為,已知,則為()A. B. C.或 D.或9.已知函數(shù),則()A. B. C. D.10.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為;②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形;③函數(shù)的極大值為;④函數(shù)的最小值為.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④11.設(shè)函數(shù),若在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為()A. B. C. D.12.已知(為虛數(shù)單位,為的共軛復(fù)數(shù)),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在點(diǎn)處的切線方程是__________.14.已知三棱錐中,,,則該三棱錐的外接球的表面積是________.15.在平面五邊形中,,,,且.將五邊形沿對(duì)角線折起,使平面與平面所成的二面角為,則沿對(duì)角線折起后所得幾何體的外接球的表面積是______.16.某商場(chǎng)一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示,下列說法中正確的是______.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同;②支出最高值與支出最低值的比是6:1;③第三季度平均收入為50萬元;④利潤(rùn)最高的月份是2月份.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)證明:點(diǎn)在軸的右側(cè);(2)設(shè)線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點(diǎn).若與的面積相等,求直線的斜率18.(12分)某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn),預(yù)計(jì)該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價(jià)格)(單位:萬元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.(1)求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本(即生產(chǎn)過程中一段時(shí)間的總成本對(duì)該段時(shí)間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù));(2)記每日生產(chǎn)平均成本求證:;(3)若財(cái)團(tuán)每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減,連續(xù)注入天,求證:這天的總投入資金大于億元.19.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方),斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn),且,直線交軸于點(diǎn).(1)設(shè)橢圓的離心率為,當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí),的坐標(biāo)為,求的值.(2)若橢圓的方程為,且,是否存在使得成立?如果存在,求出的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.20.(12分)已知x,y,z均為正數(shù).(1)若xy<1,證明:|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy?2yz?2xz的最小值.21.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)是線段的中點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示,,,要使得z能取到最大值,則,當(dāng)時(shí),x在點(diǎn)B處取得最大值,即,得;當(dāng)時(shí),z在點(diǎn)C處取得最大值,即,得(舍去).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.2、C【解析】

因?yàn)?,,所以根?jù)正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因?yàn)榇嬖谧畲笾?,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正?shù)的取值范圍為,故選C.3、B【解析】

方法一:由題意得,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得成等差數(shù)列,設(shè),則,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.方法二:設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及,化簡(jiǎn)可得,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.4、A【解析】

先求出平移后的函數(shù)解析式,結(jié)合圖像的對(duì)稱性和得到A和.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱,所以,所以,的最小值是.,則,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質(zhì).平移圖像時(shí)需注意x的系數(shù)和平移量之間的關(guān)系.5、A【解析】

由傾斜角的余弦值,求出正切值,即的關(guān)系,求出雙曲線的離心率.【詳解】解:設(shè)雙曲線的半個(gè)焦距為,由題意又,則,,,所以離心率,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,B,結(jié)合并集計(jì)算方法,求解,即可.【詳解】解得集合,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本道題考查了集合的運(yùn)算,考查了一元二次不等式解法,關(guān)鍵化簡(jiǎn)集合A,B,難度較?。?、A【解析】

先計(jì)算出兩個(gè)圖像的交點(diǎn)分別為,再利用定積分算兩個(gè)圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點(diǎn)睛】本題考察定積分的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.8、D【解析】

由正弦定理可求得,再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知,所以,解得,又,且,所以或。故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍,是否有兩解的情況,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式,先求得的值,再求得的值.【詳解】依題意,.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

因?yàn)?,所以①不正確;因?yàn)椋?,,所以,所以函?shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形,②正確;易知函數(shù)的最小正周期為,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可.當(dāng)時(shí),,且,令,得,可知函數(shù)在處取得極大值為,③正確;因?yàn)?,所以,所以函?shù)的最小值為,④正確.故選D.11、A【解析】

由求出范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點(diǎn)特征,建立不等量關(guān)系,即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,∵在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),整體代換是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

設(shè),由,得,利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè),則,所以,解得,故,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí),考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.【詳解】由已知,,所以,又,所以切線方程為,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,要注意在某點(diǎn)處的切線與過某點(diǎn)的切線的區(qū)別,是一道容易題.14、【解析】

將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,設(shè),,,設(shè)三棱錐的外接球半徑為,求得的值,然后利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,設(shè),,,設(shè)三棱錐的外接球半徑為,則,由勾股定理可得,上述三個(gè)等式全部相加得,,因此,三棱錐的外接球面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算,根據(jù)三棱錐對(duì)棱長(zhǎng)相等將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解答的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于中等題.15、【解析】

設(shè)的中心為,矩形的中心為,過作垂直于平面的直線,過作垂直于平面的直線,得到直線與的交點(diǎn)為幾何體外接球的球心,結(jié)合三角形的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】設(shè)的中心為,矩形的中心為,過作垂直于平面的直線,過作垂直于平面的直線,則由球的性質(zhì)可知,直線與的交點(diǎn)為幾何體外接球的球心,取的中點(diǎn),連接,,由條件得,,連接,因?yàn)?,從而,連接,則為所得幾何體外接球的半徑,在直角中,由,,可得,即外接球的半徑為,故所得幾何體外接球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及多面體的外接球的表面積的計(jì)算,其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,求得外接球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔試題.16、①②③【解析】

通過圖片信息直接觀察,計(jì)算,找出答案即可.【詳解】對(duì)于①,2至月份的收入的變化率為20,11至12月份的變化率為20,故相同,正確.對(duì)于②,支出最高值是2月份60萬元,支出最低值是5月份的10萬元,故支出最高值與支出最低值的比是6:1,正確.對(duì)于③,第三季度的7,8,9月每個(gè)月的收入分別為40萬元,50萬元,60萬元,故第三季度的平均收入為50萬元,正確.對(duì)于④,利潤(rùn)最高的月份是3月份和10月份都是30萬元,高于2月份的利潤(rùn)是80﹣60=20萬元,錯(cuò)誤.故答案為①②③.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象信息,分析歸納得出正確結(jié)論,屬于基礎(chǔ)題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可證出;(2)根據(jù)線段的垂直平分線求出點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出的面積,再表示出的面積,由與的面積相等列式,即可解出直線的斜率.【詳解】(1)由題意,得,直線()設(shè),,聯(lián)立消去,得,顯然,,則點(diǎn)的橫坐標(biāo),因?yàn)椋渣c(diǎn)在軸的右側(cè).(2)由(1)得點(diǎn)的縱坐標(biāo).即.所以線段的垂直平分線方程為:.令,得;令,得.所以的面積,的面積.因?yàn)榕c的面積相等,所以,解得.所以當(dāng)與的面積相等時(shí),直線的斜率.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用、根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用,以及三角形的面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)證明見解析;(3)證明見解析.【解析】

(1)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由此求得求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本.(2)將所要證明不等式轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得,由此證得不等式成立.(3)利用(2)的結(jié)論,判斷出,由此結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算,證得.【詳解】(1)因?yàn)樗援?dāng)時(shí),(2)要證,只需證,即證,設(shè)則所以在上單調(diào)遞減,所以所以,即;(3)因?yàn)橛钟桑?)知,當(dāng)時(shí),所以所以所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查放縮法證明數(shù)列不等式,屬于難題.19、(1);(2)不存在,理由見解析【解析】

(1)寫出,根據(jù),斜率乘積為-1,建立等量關(guān)系求解離心率;(2)寫出直線AB的方程,根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)B的坐標(biāo),計(jì)算出弦長(zhǎng),根據(jù)垂直關(guān)系同理可得,利用等式即可得解.【詳解】(1)由題可得,過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn),且,直線交軸于點(diǎn).點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí),的坐標(biāo)為,即,,化簡(jiǎn)得:,即,解得或(舍去),所以;(2)橢圓的方程為,由(1)可得,聯(lián)立得:,設(shè)B的橫坐標(biāo),根據(jù)韋達(dá)定理,即,,所以,同理可得若存在使得成立,則,化簡(jiǎn)得:,,此方程無解,所以不存在使得成立.【點(diǎn)睛】此題考查求橢圓離心率,根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系解決弦長(zhǎng)問題,關(guān)鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法,尤其是韋達(dá)定理在解決解析幾何問題中的應(yīng)用.20、(1)證明見解析;(2)最小值為1【解析】

(1)利用基本不等式可得,再根據(jù)0<xy<1時(shí),即可證明|x+z|?|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,從而求出2xy?2yz?2xz的最小值.【詳解】(1)證明:∵x,y,z均為正數(shù),∴|x+z|?|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時(shí)取等號(hào).又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=1時(shí)取等號(hào),∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy?2yz?2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy?2yz?2xz的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了利用綜合法證明不等式和利用基本不等式求最值,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬中檔題.21、(1);(2)【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.(2)利用(1)的結(jié)論,進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果

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