2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.1周期現(xiàn)象1.2角的概念與推廣學(xué)案含解析北師大版必修4

PAGE1周期現(xiàn)象2角的概念與推廣考綱定位重難突破1.了解周期現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中是廣泛存在的．2.理解隨意角的概念．3.駕馭終邊相同的角的表示．4.了解象限角、區(qū)間角、終邊在坐標(biāo)軸上的角的表示.重點(diǎn)：1.對隨意角概念的理解，正角、負(fù)角和零角的推斷．2.終邊相同角的表示方法，推斷角所在的象限．難點(diǎn)：終邊相同角的表示方法，推斷角所在的象限.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第1頁[自主梳理]1．周期現(xiàn)象我們把以相同間隔重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象叫作周期現(xiàn)象．2．角的有關(guān)概念3．角的分類(1)按旋轉(zhuǎn)方向分(2)按角終邊的位置分4．終邊相同的角的表示一般地，全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．即任何一個(gè)與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和．[雙基自測]1．下列改變中不是周期現(xiàn)象的是()A．一年四季的交替B．鐘表的分針每小時(shí)轉(zhuǎn)一圈C．天干地支表示年、月、日的時(shí)間依次D．某同學(xué)每天上學(xué)的時(shí)間答案：D2．角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)M(0，－3)，則α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角又是第四象限角D．不屬于任何象限解析：當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，這個(gè)角不屬于任何象限．點(diǎn)M(0，－3)在y軸上，故選D.答案：D3．鐘表時(shí)針走過1小時(shí)20分，則分針轉(zhuǎn)過的角度是________．解析：時(shí)針走1小時(shí)，分針轉(zhuǎn)1圈，為－360°，－360°＋eq\f(1,3)×(－360°)＝－360°－120°＝－480°.答案：－480°授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第2頁探究一周期現(xiàn)象的推斷[典例1]今日是星期三，那么7天后的那一天是星期幾？7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾？100天后的那一天是星期幾？[解析]每個(gè)星期從星期一到星期日，每7天重復(fù)一次，是具有周期現(xiàn)象的，因此今日是星期三，那么7天后的那一天是星期三，7k(k∈Z)天后的那一天是星期三，100天是14個(gè)星期零2天，因此100天后的那一天是星期五．解決此類問題，關(guān)鍵是抓住該現(xiàn)象每隔相同時(shí)間就重復(fù)出現(xiàn)．1．如圖所示是某人的心電圖，依據(jù)這個(gè)心電圖，請你推斷其心臟跳動是否正常．解析：視察圖像可知，此人的心電圖是周期性改變的．因此心臟跳動正常．探究二終邊相同的角與象限角[典例2]在0°到360°之間，找出與下列各角終邊相同的角α，并指出它們分別為第幾象限角．(1)－1154°18′；(2)2428°[解析](1)∵－1154°18′÷360°＝－4余285°42′，∴－1154°18′＝－4×360°＋285°42′，相應(yīng)α＝285°42′，從而－1154°18′為第四象限角．(2)∵2428°÷360°＝6余268°，∴2428°＝6×360°＋268°，相應(yīng)α＝268°，從而2428°為第三象限角．終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍．判定一個(gè)角是第幾象限角，只要找與它終邊相同且在0°～360°范圍內(nèi)的角，這個(gè)角所在象限即為所求．2．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，則α，β終邊的位置關(guān)系是()A．重合 B．關(guān)于原點(diǎn)對稱C．關(guān)于x軸對稱 D．關(guān)于y軸對稱解析：由α＝n·360°＋θ，n∈Z可知α與θ是終邊相同的角，由β＝m·360°－θ，m∈Z可知β與－θ是終邊相同的角．因?yàn)棣扰c－θ兩角終邊關(guān)于x軸對稱，所以α與β兩角終邊關(guān)于x軸對稱．答案：C探究三區(qū)域角的表示[典例3]如圖，分別寫出適合下列條件的角的集合：(1)終邊落在射線OM上；(2)終邊落在直線OM上；(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)．[解析](1)終邊落在射線OM上的角的集合為A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)終邊落在射線OM反向延長線上的角的集合為B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，則終邊落在直線OM上的角的集合為A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)同理，得終邊落在直線ON上的角的集合為{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，故終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．區(qū)間角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角．其寫法可分為三步：(1)先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°到360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}；(3)起始、終止邊界對應(yīng)角，α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．3．(1)已知角α的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么α∈________.(2)已知集合A＝{α|30°＋k×180°<α<90°＋k×180°，k∈Z}，B＝{β|－45°＋k×360°<β<45°＋k×360°，k∈Z}．①試在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出集合A和B中的角的終邊所在的區(qū)域；②求A∩B.解析：在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角α滿意30°＜α＜150°或210°＜α＜330°，所以全部滿意題意的角α的集合為{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．答案：{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}(2)①如圖所示：集合A中的角的終邊在陰影(Ⅰ)內(nèi)，集合B中的角的終邊在陰影(Ⅱ)內(nèi)．②集合A∩B中的角的終邊在陰影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分內(nèi)，所以A∩B＝{γ|30°＋k×360°<γ<45°＋k×360°，k∈Z}．因未能正確理解象限角出錯[典例]已知α是第三象限角，則eq\f(α,3)是第幾象限角？[解析]因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，所?80°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，所以60°＋k·120°<eq\f(α,3)<90°＋k·120°(k∈Z)．當(dāng)k＝3n(n∈Z)時(shí)，60°＋n·360°<eq\f(α,3)<90°＋n·360°(n∈Z)，所以eq\f(α,3)是第一象限的角；當(dāng)k＝3n＋1(n∈Z)時(shí)，180°＋n·360°<eq\f(α,3)<210°＋n·360°(n∈Z)，所以eq\f(α,3)是第三象限的角；當(dāng)k＝3n＋2(n∈Z)時(shí)，300°＋n·360°<eq\f(α,3)<330°＋n·360°(n∈Z)，所以eq\f(α,3)是第四象限的角．所以eq\f(α,3)是第一、三、四象限的角．[錯因與防范](1)僅以180°<α<270°表示第三象限角是出錯的主要緣由，(2)分類探討：已知角α所在的象限，要求eq\f(α,n)(n∈N＋)所在的象限，應(yīng)把角α寫成k·360°＋β<α<k·360°＋γ(k∈Z)的形式，再求出k·eq\f(360°,n)＋eq\f(β,n)<eq\f(α,n)<k·eq\f(360°,n)＋eq\f(γ,n)(k∈Z，n∈N＋)，分別取k＝0,1,2，…，n－1，即可確定eq\f(α,n)所在的象限．(3)幾