2024北京八中高三（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京八中高三（上）期中數(shù)學(xué)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，3．已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．5．直線和直線，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．該圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減7．已知，是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．8．函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．9．“打水漂”是一種游戲：按一定方式投擲石片，使石片在水面上實(shí)現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好．小樂同學(xué)在玩“打水漂”游戲時(shí)，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時(shí)的速度為，然后石片在水面上繼續(xù)進(jìn)行多次彈跳．不考慮其他因素，假設(shè)石片每一次接觸水面時(shí)的速度均為上一次的，若石片接觸水面時(shí)的速度低于，石片就不再彈跳，沉入水底，則小樂同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．5 B．6 C．7 D．810．已知函數(shù)，，若有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題11．已知向量，若向量在上的投影向量為，且與不共線，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的向量的坐標(biāo).12．已知展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為243，則展開式中的第3項(xiàng)為.13．已知拋物線上的點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為6，則以線段PF的中點(diǎn)為圓心，為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為．14．印章是我國(guó)傳統(tǒng)文化之一，根據(jù)遺物和歷史記載，至少在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已出現(xiàn)，其形狀多為長(zhǎng)方體?圓柱體等，陜西歷史博物館收藏的“獨(dú)孤信多面體煤精組印”是一枚形狀奇特的印章（如圖1），該形狀稱為“半正多面體”（由兩種或兩種以上的正多邊形所圍成的多面體），每個(gè)正方形面上均刻有不同的印章（圖中為多面體的面上的部分印章）.圖2是一個(gè)由18個(gè)正方形和8個(gè)正三角形圍成的“半正多面體”（其各頂點(diǎn)均在一個(gè)正方體的面上），若該多面體的棱長(zhǎng)均為1，且各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積為.15．已知數(shù)列an中各項(xiàng)均為正數(shù)，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)任意的，都有；②數(shù)列an③若，則當(dāng)時(shí)，；④若，則數(shù)列an為遞減數(shù)列，其中正確結(jié)論是.三、解答題16．在中，．(1)求；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組解答計(jì)分．17．已知三棱柱中，，是的中點(diǎn)，，.（1）證明：；（2）若側(cè)面是正方形，求平面與平面夾角的余弦值.18．《中華人民共和國(guó)體育法》規(guī)定，國(guó)家實(shí)行運(yùn)動(dòng)員技術(shù)等級(jí)制度，下表是我國(guó)現(xiàn)行《田徑運(yùn)動(dòng)員技術(shù)等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)》（單位：m）（部分摘抄）：項(xiàng)目國(guó)際級(jí)運(yùn)動(dòng)健將運(yùn)動(dòng)健將一級(jí)運(yùn)動(dòng)員二級(jí)運(yùn)動(dòng)員三級(jí)運(yùn)動(dòng)員男子跳遠(yuǎn)8.007.807.306.505.60女子跳遠(yuǎn)6.656.355.855.204.50在某市組織的考級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)參加了跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為預(yù)測(cè)考級(jí)能達(dá)到國(guó)家二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立，(1)估計(jì)甲在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；(3)在跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績(jī)作為其最終成績(jī)本次考級(jí)比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績(jī)（單位：m）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲6.506.486.476.516.466.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次試跳的成績(jī)?yōu)閍，用分別表示甲、丙試跳6次成績(jī)的方差，當(dāng)時(shí)，寫出a的值．（結(jié)論不要求證明）19．已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．20．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(2)若在處取得極值，求的極值.(3)若在上的最小值為，求的取值范圍.21．已知有限數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列．若存在等差數(shù)列，對(duì)于A中任意一項(xiàng)，都有，則稱數(shù)列A是長(zhǎng)為m的數(shù)列．（1）判斷下列數(shù)列是否為數(shù)列（直接寫出結(jié)果）：①數(shù)列1，4，5，8；②數(shù)列2，4，8，16．（2）若，證明：數(shù)列a，b，c為數(shù)列；（3）設(shè)M是集合的子集，且至少有28個(gè)元素，證明：M中的元素可以構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)為4的數(shù)列．

參考答案題號(hào)12345678910答案CDDABBAABB1．C【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，再利用并集的定義求解即得.【詳解】解不等式，得，解得，則，而，所以.故選：C2．D【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得：命題“，”的否定為“，”.故選：D．3．D【分析】利用表示以0,1為圓心，為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離可得答案.【詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)，表示到點(diǎn)0,1距離為1的所有復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即表示以0,1為圓心，為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以最短距離為，最長(zhǎng)距離為，則的取值范圍是0,2.故選：D.4．A【分析】根據(jù)公式，即可求解.【詳解】由題意可知，，則，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：A5．B【分析】由題意先求出的充要條件，然后根據(jù)充分不必要條件的定義判斷即可.【詳解】由題設(shè)，解得或.故，.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B.6．B【分析】先依據(jù)圖像求得函數(shù)的解析式，再去代入驗(yàn)證對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、單調(diào)區(qū)間的說法.【詳解】由圖象可知，即，所以，又，可得，又因?yàn)樗裕?，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，.故B正確；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)不單調(diào)遞減.故D錯(cuò)誤．故選：B7．A【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出，在中，利用余弦定理求得的關(guān)系，從而可得出答案.【詳解】解：在橢圓C：中，由橢圓的定義可得，因?yàn)?，所以，在中，，由余弦定理得，即，所以，所以C的離心率.故選：A.8．A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值來確定正確選項(xiàng).【詳解】的定義域?yàn)椋?，為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除C選項(xiàng).,，排除BD選項(xiàng).所以A選項(xiàng)符合.故選：A9．B【分析】設(shè)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為，根據(jù)題意得，即，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)換底公式求解即可.【詳解】設(shè)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為，由題意得，即，得.因?yàn)?，所以，?故選：B.10．B【分析】由題意可得x=0為1個(gè)零點(diǎn)，只需要x0時(shí)，，即y=a與y有3個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不為0，作出y的圖象，即可得出結(jié)論．【詳解】當(dāng)x=0時(shí)，g(0)=f(0)-0=0，當(dāng)時(shí)，由題意可得，即y=a與y有3個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不為0，令h(x)=,令h′（x）=，則x=，所以h(x)在（0，）單調(diào)遞增，在（）上單調(diào)遞減，∴y的大致圖像如圖：又h()=若y=a與y有3個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不為0，則，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的零點(diǎn)，考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題，考查了分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．11．（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，得到，求得，進(jìn)而可寫出一個(gè)向量，得到答案.【詳解】由向量，可得向量，因?yàn)橄蛄吭谏系耐队跋蛄繛?，可得，可得，設(shè)，可得，取，此時(shí)向量與向量不共線，故.故答案為：（答案不唯一）.12．/【分析】令，即可求出展開式系數(shù)和，從而求出，再寫出展開式的通項(xiàng)，即可得解.【詳解】解：令，得，解得，所以的展開式的通項(xiàng)，則展開式的第項(xiàng)為．故答案為：13．4【分析】首先利用拋物線定義確定P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得以的中點(diǎn)為圓心，PF長(zhǎng)度為直徑的圓的方程，再代入計(jì)算可得弦長(zhǎng).【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，由題意得，結(jié)合拋物線定義知P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，

則，代入橫坐標(biāo)可得，即，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為或，，所以以的中點(diǎn)為圓心，PF長(zhǎng)度為直徑的圓的方程為或，圓心到軸距離為，所以與截得的弦長(zhǎng)為，故答案為：4.14．【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定其外接球球心位置，根據(jù)已知求球體半徑，進(jìn)而求球體表面積.【詳解】由對(duì)稱性知：該多面體的各頂點(diǎn)在棱長(zhǎng)為的正方體的表面上，如圖，設(shè)其外接球的球心為，正方形的中心為，則點(diǎn)到平面的距離，又，所以該多面體外接球的半徑，故該球的表面積為.故答案為：15．②③④【分析】對(duì)于①，根據(jù)一元二次方程有解得情況，利用判別式可得首項(xiàng)的取值范圍，可得答案；對(duì)于②，將數(shù)列每一項(xiàng)設(shè)成未知量，根據(jù)等式建立方程，可得答案；對(duì)于③④，由題意作函數(shù)與函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)應(yīng)數(shù)列中項(xiàng)在圖象上的位置，可得答案.【詳解】對(duì)于①，將等式看作關(guān)于的一元二次方程，即，該方程有解，則，所以當(dāng)時(shí)，方程有解，即當(dāng)時(shí)，一定存在數(shù)列an滿足，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，令，由題意可得，解得（舍去）或，常數(shù)列滿足，故②正確；由題意作函數(shù)與函數(shù)的圖象如下：由，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，易知在函數(shù)的圖象上，對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，由在函數(shù)的圖象上，則，由在函數(shù)的圖象上，則，當(dāng)時(shí)，，由在函數(shù)的圖象上，則，由在函數(shù)的圖象上，則，綜上所述，若，當(dāng)時(shí)，，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，由在函數(shù)的圖象上，且在函數(shù)的圖象上，則，當(dāng)時(shí)，由在函數(shù)的圖象上，且在函數(shù)的圖象上，則，故④正確.故答案為：②③④.16．(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，利用余弦定理求得，即可求解；（2）根據(jù)題意，若選擇①②，求得，由正弦定理求得，再由余弦定理求得，結(jié)合面積公式，即可求解；若①③：先求得，由，利用正弦定理求得，結(jié)合面積公式，即可求解；若選擇②③，利用余弦定理，列出方程求得，不符合題意.【詳解】（1）解：因?yàn)?，由余弦定理得，又因?yàn)椋?（2）解：由（1）知，若選①②：，，由，可得，由正弦定理，可得，解得，則，又由余弦定理，可得，即，解得或（舍去），所以的面積為.若選①③：且，由，可得，因?yàn)椋傻?，由正弦定理，可得，解得，所以的面積為.若選：②③：且，因?yàn)椋傻?，整理得，解得，不符合題意，（舍去）.17．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、、，證明出平面，，由此可證得；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、、，因?yàn)?，，故為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)?，，故平面，平面，所以，，、分別為、的中點(diǎn)，則，因此，；（2），則四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，、分別為、的中點(diǎn)，則，由（1）可得，，，故與所成角為，即，又因?yàn)?，，平面，平面，則，所以，、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，易知平面的一個(gè)法向量為，.因此，平面與平面夾角的余弦值為.18．(1)(2)(3)或.【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)計(jì)算頻率，用頻率估計(jì)概率；（2）由X的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，由公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望；（3）當(dāng)兩人成績(jī)滿足的模型，方差相等.【詳解】（1）甲以往的10次比賽成績(jī)中，有4次達(dá)到國(guó)家二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員標(biāo)準(zhǔn)，用頻率估計(jì)概率，估計(jì)甲在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的概率為；（2）設(shè)甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員分別為事件，以往的比賽成績(jī)中，用頻率估計(jì)概率，有，，，X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)，則X可能的取值為0，1，2，3，，，，，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；（3）甲的6次試跳成績(jī)從小到大排列為：，設(shè)這6次試跳成績(jī)依次從小到大為，丙的5次試跳成績(jī)從小到大排列為：，設(shè)丙的6次試跳成績(jī)從小到大排列依次為，當(dāng)時(shí)，滿足，成立；當(dāng)時(shí)，滿足，成立.所以或.19．(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)?，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．20．(1)(2)極大值，極小值；(3)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；（2）根據(jù)在處取得極值，求出a的值，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得極值；（3）分類討論，討論a與區(qū)間的位置關(guān)系，確定函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的最值，即可確定a的取值范圍.【詳解】（1）若，則，則，故，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）定義域?yàn)?，則，由于在處取得極值，故，則，令，則或，函數(shù)在上均單調(diào)遞增，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取到極大值，當(dāng)時(shí)，取到極小值；（3）由于，當(dāng)時(shí)，，僅在時(shí)等號(hào)取得，在上單調(diào)遞增，則，符合題意；當(dāng)時(shí)，則時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，不符合題意；綜上，可知的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：第三問根據(jù)函數(shù)的最小值求解參數(shù)范圍，求出導(dǎo)數(shù)后，要分類討論，討論a與區(qū)間的位置關(guān)系，從而確定最值，求得參數(shù)范圍.21．（1）①數(shù)列，，，是數(shù)列；②數(shù)列，，，是數(shù)列；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）由數(shù)列的新定義，可直接判定