第8講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算題型總結(jié)

第8講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算題型總結(jié)【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念①平均變化率：一般地函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為②導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作或．考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率，即考點(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即．考點(diǎn)四：導(dǎo)數(shù)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）考點(diǎn)五：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則①函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；②函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；③函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．④常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：考點(diǎn)六：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為注：【題型目錄】題型一：平均變化率與瞬時(shí)變化率問題題型二：導(dǎo)數(shù)的概念題型三：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算【典型例題】題型一：平均變化率與瞬時(shí)變化率問題【例1】（2022江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，故選：A【例2】（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（理））一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系為，且這一物體在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】利用平均速度的計(jì)算公式求解即可【詳解】，，因?yàn)槲矬w在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為，所以，解得，故選：A【例3】（2022·四川·成都七中高二期末（文））吹氣球時(shí)，記氣球的半徑r與體積V之間的函數(shù)關(guān)系為，為的導(dǎo)函數(shù)．已知在上的圖像如圖所示，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．存在，使得【答案】D【分析】A：設(shè)，由圖得，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B:根據(jù)圖像和導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C:設(shè)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D:結(jié)合圖像和導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以判斷該選項(xiàng)正確.【詳解】解：A：設(shè)，由圖得，所以所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B:由圖得圖像上點(diǎn)的切線的斜率越來越小，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C:設(shè)，因?yàn)樗?，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D:表示兩點(diǎn)之間的斜率，表示處切線的斜率，由于，所以可以平移直線使之和曲線相切，切點(diǎn)就是點(diǎn),所以該選項(xiàng)正確.故選：D【例4】（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）在曲線的圖象上取一點(diǎn)及鄰近一點(diǎn)，則為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率，代入計(jì)算．【詳解】∵故選：C．【例5】（2022·北京·牛欄山一中高二階段練習(xí)）為了評(píng)估某種藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測量.設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度與時(shí)間的關(guān)系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間變化的關(guān)系如下圖所示，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同.B．在內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率不相同.C．若，則在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率一定不同D．若，則在時(shí)刻，甲血管中藥物濃度不高于乙血管中藥物濃度【答案】D【分析】由關(guān)系圖提供的數(shù)據(jù)結(jié)合平均變化率的定義進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在時(shí)刻，兩曲線交于同一點(diǎn)，說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，瞬時(shí)變化率為切線的斜率，故不相同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，在兩個(gè)時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度相同，因此在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，在時(shí)刻時(shí)，甲血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率大于乙血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率，在時(shí)刻時(shí)，甲血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率小于乙血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率，故存在使得甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，在內(nèi)，乙血管中藥物濃度始終大于甲血管中藥物濃度，在時(shí)刻，甲乙血管中藥物濃度相同，故若，則在時(shí)刻，甲血管中藥物濃度不高于乙血管中藥物濃度，D正確.故選：D．【例6】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，在區(qū)間上的平均變化率為，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】A【分析】直接代函數(shù)平均變化率公式進(jìn)行化簡得到，表達(dá)式，由題意知，即可得判斷，大小關(guān)系.【詳解】，.由題意，知，所以.故選：A.【例7】（2022·廣東廣州·高二期末）在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對(duì)于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系.該運(yùn)動(dòng)員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度（單位：m/s）為（

）A．10.9 B．10.9 C．5 D．5【答案】D【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把代入即可求解．【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，得瞬時(shí)速度為．故選：D.【例8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得正確答案.【詳解】由圖象可知，即.故選：D【例9】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下（位移單位：，時(shí)間單位：求：(1)物體在內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度；(3)物體在時(shí)的瞬時(shí)速度.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）計(jì)算時(shí)間變化量為，其位移變化量為，即可求出物體在，內(nèi)的平均速度；（2）求物體的初速度，即求物體在時(shí)的瞬時(shí)速度，求出物體在附近位移的平均變化率，再利用極限的思想求出瞬時(shí)速度；（3）求出物體在附近位移的平均變化率，再利用極限的思想求出瞬時(shí)速度；（1）解：由已知在時(shí)，其時(shí)間變化量為，其位移變化量為，故所求平均速度為；（2）解：求物體的初速度，即求物體在時(shí)的瞬時(shí)速度.因?yàn)槲矬w在附近位移的平均變化率為所以物體在處位移的瞬時(shí)變化率為，即物體的初速度.（3）解：因?yàn)槲矬w在附近位移的平均變化率為，故物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為，即物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為．【題型專練】1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)多選題）一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系為，則下列說法正確的是（

）.A．前內(nèi)球滾下的垂直距離的增量B．在時(shí)間內(nèi)球滾下的垂直距離的增量C．前內(nèi)球在垂直方向上的平均速度為D．在時(shí)間內(nèi)球在垂直方向上的平均速度為【答案】BCD【分析】結(jié)合函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)前內(nèi)和時(shí)間內(nèi)的可求得平均速度，由此判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】前內(nèi)，，，此時(shí)球在垂直方向上的平均速度為，A錯(cuò)誤；C正確；在時(shí)間內(nèi)，，，此時(shí)球在垂直方向上的平均速度為，B正確；D正確.故選：BCD.2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，其中，此函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，則實(shí)數(shù)m的值為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率，進(jìn)而可得，解出方程可得的值，即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：解得：故答案為：2.3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，其中，則此函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為__________.【答案】5【分析】根據(jù)平均變化率的知識(shí)求得正確答案.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為.故答案為：4．（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高二期末）函數(shù)在到之間的平均變化率為___________.【答案】##【分析】根據(jù)題意，由平均變化率公式計(jì)算即可得解.【詳解】解：由函數(shù)，得，，所以其平均變化率.故答案為：.5．（2022·廣東·深圳中學(xué)高二期中）已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程是的單位為的單位為），則該物體在時(shí)間段內(nèi)的平均速度與時(shí)刻的瞬時(shí)速度相等，則___________.【答案】【分析】由平均速度和瞬時(shí)速度的概念可得關(guān)于的等量關(guān)系，從而得到的取值.【詳解】在到t+這段時(shí)間內(nèi)，物體的平均速度，所以該物體在時(shí)間段內(nèi)的平均速度為6,當(dāng)無限趨近于0時(shí)即可得到時(shí)刻的瞬時(shí)速度即,由題意平均速度與時(shí)刻的瞬時(shí)速度相等，即,解得,故答案為：6．（2022·河北·高二期中）已知函數(shù)，則在上的平均變化率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】利用平均變化率的定義求解.【詳解】解：在上的平均變化率為：，故選：A7．（2022·貴州·黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義和平均變化率的定義，利用直線斜率的關(guān)系，即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即直線的斜率，表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即直線的斜率，又由平均變化率的定義，可得表示過兩點(diǎn)的割線的斜率，結(jié)合圖象，可得，所以.故選：A.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圖象的變化趨勢，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的定義有，即可得答案.【詳解】由圖知：，即.故選：A9．（2022·陜西西安·高二期末（理））一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其位移（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系是，則該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A．3 B．6 C．12 D．16【答案】A【分析】利用瞬時(shí)變化率的定義即可求解.【詳解】所以所以.故選：A.題型二：導(dǎo)數(shù)的概念【例1】（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A．叫作函數(shù)值的增量B．叫作函數(shù)在上的平均變化率C．在處的導(dǎo)數(shù)記為D．在處的導(dǎo)數(shù)記為【答案】ABD【解析】【分析】由函數(shù)值的增量的意義判斷A；由平均變化率和瞬時(shí)變化率的意義判斷BCD.【詳解】A中，叫作函數(shù)值的改變量，即函數(shù)值的增量，A正確；B中，稱為函數(shù)在到之間的平均變化率，B正確；由導(dǎo)數(shù)的定義知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)記為，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD【例2】（2022·廣東·深圳市寶安第一外國語學(xué)校高二期中）已知函數(shù)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以故選：D【例3】（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室高二期中（理））已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則等于（

）A．－2 B．－1 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，即可判斷.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知.故選：A【例4】（2022·廣東·珠海市第二中學(xué)高二期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式直接求解.【詳解】因?yàn)椋?，故選：D.【例5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處附近有定義，且為常數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由導(dǎo)函數(shù)的定義可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)闉槌?shù)，所以，故選：C.【例6】（2022·廣西河池·高二階段練習(xí)（理））函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)可表示為，即（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義直接選擇即可.【詳解】是的另一種記法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知C正確．故選：C【例7】（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)在可導(dǎo)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，可直接計(jì)算出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谔幙蓪?dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的定義可得：.故選：D.【題型專練】1．（2021·陜西·榆林市第十中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A．－2 B．2 C．－1 D．1【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即得.【詳解】∵函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，∴.故選：B.2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷【詳解】由圖象可知在上單調(diào)遞增故，即故選：B3．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．1 B．5 C． D．0【答案】B【分析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.4．（2022·黑龍江·海林市朝鮮族中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若函數(shù)在處可導(dǎo)，則的結(jié)果（

）．A．與，h均無關(guān) B．僅與有關(guān)，而與h無關(guān)C．僅與h有關(guān)，而與無關(guān) D．與，h均有關(guān)【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以結(jié)果僅與有關(guān)，而與h無關(guān)，故選：B.5．（2021·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)在處可導(dǎo)，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】解：∵在處可導(dǎo)，∴，故選：C.6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則在處的導(dǎo)數(shù)（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)條件可得出，即可得出的值.【詳解】，．故選：C7．（2021·全國·高二單元測試）設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則等于（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可得，因?yàn)?，所以，故選：A.8.（2022·湖北襄陽·高二期末）若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，則（

）A．2 B．3 C．－2 D．－3【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義即可得出．【詳解】解：若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，．則．故選：B．9.（2022·上?！とA師大二附中高二期中）已知函數(shù)，若，則______.【答案】－1【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的定義可得，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的定義可得，.故答案為：－1.題型三：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算【例1】（2022·江蘇省響水中學(xué)高二階段練習(xí)）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?所以C錯(cuò)誤；因?yàn)?所以D正確.故選:D.【例2】（2022·新疆·莎車縣第一中學(xué)高二期中（理））求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即可得到結(jié)果.(1)(2)(3)【例3】（2022·浙江·高三）已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出，再令代入解析式，即可得到答案；【詳解】，，，，故選：D.【例4】（2022黑龍江·哈爾濱七十三中高二期中（理））已知，，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】，∴，，，，∴，∴.故選：A．【例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則判斷【詳解】解：A選項(xiàng)中，，故正確；B選項(xiàng)中，，故正確；C選項(xiàng)中，，故正確D選項(xiàng)中，，故錯(cuò)誤，故選：D.【例6】（2022·湖南·高二期末）（多選題）下列結(jié)論正確的有（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式和法則逐個(gè)分析判斷即可【詳解】若，則正確.若，則不正確.若，則正確.若，則正確.故選：ACD【題型專練】1．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（文））下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)分析計(jì)算即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D不正確.故選：D2.（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，且滿足，則__________．【答案】2【分析】由求得，再令建立等式即可求出，即可求得解析式求出【詳解】由得，，則，可得，則，.故答案為：23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝cosx+sinx，則的值為______．【答案】##【分析】對(duì)f（x）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，然后代入即可得到答案【詳解】解：由題意得，f（x）＝f′（）cosx+sinx求導(dǎo)得所以解得，故答案為：．4．（2022·江蘇省響水中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則______．【答案】【分析】注意是一個(gè)常數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，代入求得的值，從而得到的解析式，故易得.【詳解】因?yàn)槭且粋€(gè)常數(shù)，，所以，故，得，所以，故.故答案為：.5.（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期末）已知，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則求導(dǎo)后可得正確的選項(xiàng).【詳解】，故選：C.6.（2022·陜西武功·二模（文