專題06用空間向量研究距離夾角問題10種常見考法歸類（原卷版）

專題06用空間向量研究距離、夾角問題10種常見考法歸類1．空間角的向量求法角的分類向量求法范圍兩異面直線l1與l2所成的角為θ設(shè)l1與l2的方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos<u，v>|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線l與平面α所成的角為θ設(shè)l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos<u，n>|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))平面α與平面β的夾角為θ設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos<n1，n2>|＝eq\f(|n1·n2|,|n1|·|n2|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))2．空間距離的向量求法分類向量求法兩點距設(shè)A、B為空間中的任意兩點，則d＝|AB|（注：設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)為空間中任意兩點，則d＝|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝eq\r(\o(AB,\s\up16(→))·\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2)）點線距設(shè)直線l的單位方向向量為u，A∈l，Pl，設(shè)eq\o(AP,\s\up8(→))＝a，則點P到直線l的距離d＝eq\r(|a|2－（a·u）2)點面距已知平面α的法向量為n，A∈α，Pα，則點P到平面α的距離為d＝eq\f(|\o(AP,\s\up8(→))·n|,|n|)3．空間距離的定義(1)圖形與圖形的距離：一個圖形內(nèi)的任一點與另一圖形內(nèi)的任一點的距離中的最小值叫做圖形與圖形的距離．(2)點到平面的距離：一點到它在一個平面內(nèi)正射影的距離，叫做點到這個平面的距離．(3)直線與其平行平面的距離：一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離，叫做直線與平面的距離．(4)兩個平行平面的距離：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平面的公垂線．夾在平行平面間的部分，叫做兩個平面的公垂線段．兩平行平面的公垂線段的長度，叫做兩平行平面的距離．4.求點到平面的距離的四步驟注：線面距、面面距實質(zhì)上都是求點面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行．5.求點到平面的距離的常用方法(1)直接法：過P點作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點P到平面α的距離．(2)轉(zhuǎn)化法：若點P所在的直線l平行于平面α，則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個點到平面α的距離來求．(3)等體積法：求點面距離可以轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，如四面體中點A到平面BCD的距離，用等體積法求得h＝.(4)向量法：設(shè)平面α的一個法向量為n，A是α內(nèi)任意點，則點P到α的距離為d＝eq\f(|\o(PA,\s\up8(→))·n|,|n|).6．向量法求空間距離的注意點(1)數(shù)形結(jié)合：利用向量法求空間距離時，一定要注意結(jié)合圖形分析，再利用向量求解．(2)向量式的共同點：空間兩幾何元素(點、直線、平面)之間的距離，除兩點間距離及點線距外都具有相同的表達形式．設(shè)平面的法向量為n(求異面直線間的距離時，取與兩異面直線都垂直的向量為n)，求距離的兩幾何圖形上各取一點A，B，則距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up16(→))·n|,|n|).(如圖)(3)特殊性：求距離還常采用等積變換法或歸結(jié)為解直角三角形．利用向量法實際取點時，要選取方便，容易計算的．7.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；注：用坐標法求異面直線所成角的一般步驟(1)建立空間直角坐標系；(2)分別求出兩條異面直線的方向向量的坐標；(3)利用向量的夾角公式計算兩條直線的方向向量的夾角；(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍求出異面直線所成的角．二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解．8．兩條異面直線所成的角的兩個關(guān)注點(1)余弦值非負：兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負值，而對應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角．(2)范圍：異面直線所成的角θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故兩直線的方向向量夾角α的余弦值為負時，應(yīng)取其絕對值．9.求直線與平面的夾角的思路與步驟思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)．思路二：用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量．利用法向量求直線與平面的夾角的基本步驟．(1)建立空間直角坐標系；(2)求直線的方向向量eq\o(AB,\s\up8(→))；(3)求平面的法向量n；(4)計算：設(shè)線面角為θ，則sinθ＝eq\f(|n·\o(AB,\s\up8(→))|,|n|·|\o(AB,\s\up8(→))|).10.求線面角的兩種方法(1)將線面角轉(zhuǎn)化為線線角．根據(jù)直線與平面所成角的定義，確定出待求角，轉(zhuǎn)化為兩條直線所成的角來求解，此時要注意兩直線所成角的取值范圍．(2)向量法．設(shè)直線AP的方向向量為a，平面α的法向量為n，所求直線與平面所成的角為θ(θ∈[0，eq\f(π,2)])，a與n的夾角為φ，則sinθ＝|cosφ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).求解步驟如下：①分析圖形關(guān)系，建立空間直角坐標系；②求出直線的方向向量a和平面的法向量n；③計算：設(shè)線面角為θ，則sinθ＝eq\f(|n·\o(AB,\s\up8(→))|,|n|·|\o(AB,\s\up8(→))|)；④判斷直線和平面所成的角θ和〈a，n〉的關(guān)系，求出角θ.11.二面角與平面的夾角區(qū)別和聯(lián)系（1）二面角的范圍為[0，π]，而兩個平面的夾角是不大于直角的角，范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).（2）兩平面的夾角與二面角的兩個半平面的法向量所成的角的關(guān)系：兩平面的法向量分別為u，v，若〈u，v〉為銳角時，兩平面的夾角等于〈u，v〉，若〈u，v〉為鈍角時，兩平面的夾角等于π－〈u，v〉．12.利用向量法求兩平面夾角的步驟(1)建立空間直角坐標系；(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量；(3)求兩個法向量的夾角；(4)法向量夾角或其補角就是兩平面的夾角(不大于90°的角)．13.求二面角的兩種思路（1）若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個平面α，β內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則向量eq\o(AB,\s\up13(→))與eq\o(CD,\s\up13(→))的夾角就是二面角的平面角(如圖)，可利用公式cos〈eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(CD,\s\up13(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up13(→))·\o(CD,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))||\o(CD,\s\up13(→))|)求二面角．（2）設(shè)n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α，β所在平面的法向量，則向量n1與n2的夾角或其補角就是二面角的平面角(如圖所示)．而我們做題時經(jīng)常用第二種思路．利用法向量求二面角的大小的一般步驟如下．①建系：依據(jù)幾何條件建立適當?shù)目臻g直角坐標系．②求法向量：在建立的坐標系下求兩個面的法向量n1，n2.③計算：求n1與n2所成銳角θ，cosθ＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).④定值：若二面角為銳角，則為θ；若二面角為鈍角，則為π－θ.注：確定二面角的平面角的大小，方法有：①根據(jù)幾何圖形直觀判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，從而決定其余弦值的正負；②依據(jù)“同進同出互補，一進一出相等”求解；③在二面角的一個半平面內(nèi)取一點P，過P點作另一個半平面所在平面的垂線，若垂足在另一個半平面內(nèi)，則所求二面角為銳角，若垂足在另一個半平面的反向延長面上，則所求二面角為鈍角．圖示如下：條件平面α，β的法向量分別為u，v，α，β所構(gòu)成的二面角的大小為θ，〈u，v〉＝φ圖形關(guān)系θ＝φθ＝π－φ計算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ14．向量法求空間角的一般步驟(1)向量表示法一：選不共面的三個向量為基底，進行基底表示；法二：建立適當?shù)淖鴺讼颠M行坐標表示．求出直線a、b的方向向量a、b，平面α、β的法向量m、n.(2)向量運算①求直線a、b所成的角，計算cos〈a，b〉；②求直線a與平面α所成的角，計算cos〈a，m〉；③求兩個平面的夾角的大小，計算cos〈m，n〉．(3)解釋結(jié)論①由于直線a、b所成角θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故cosθ＝|cos〈a，b〉|.②直線a與平面α所成角θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，由圖形知〈a，m〉與θ的余角相等或互補，故sinθ＝|cos〈a，b〉|.③兩個平面的夾角為不大于直角的角，范圍θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故cosθ＝|cos〈m，n〉考點一求點到直線的距離（一）點到直線的距離（二）兩平行線間的距離考點二求點到平面的距離（一）點到平面距離（二）直線到平面的距離（三）平行平面間的距離（四）異面直線的距離考點三有關(guān)距離的探索性問題考點四求兩條異面直線所成的角考點五已知線線角求其他量考點六求直線與平面所成的角考點七已知線面角求其他量考點八求平面與平面的夾角（一）平面與平面的夾角（二）二面角考點九已知面面角求其他量考點十有關(guān)夾角的探索性問題考點一求點到直線的距離（一）點到直線的距離1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知空間三點，則點到直線的距離為．2．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知直線l的一個方向向量為，若點為直線l外一點，為直線l上一點，則點P到直線l的距離為.3．（2023春·江西贛州·高二上猶中學(xué)校考期末）已知四棱錐的底面為正方形，平面，，點是的中點，則點到直線的距離是（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）四面體滿足，點在棱上，且，點為的重心，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點，點在上，且，則的中點到直線的距離是．6．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為菱形，邊長為2，，，且，異面直線PB與CD所成的角為.

(1)求證:平面ABCD;(2)若E是線段OC的中點，求點E到直線BP的距離.7．（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，，為的中點，是棱上兩點（在的上方），且.

(1)若，求證：平面；(2)當點到平面的距離取得最大值時，求的長.8．（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.(1)若平面平面，求證：；(2)若點是的中點，求點到直線的距離的取值范圍.（二）兩平行線間的距離9．（2023秋·山東濟寧·高二濟寧市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．（1）求點到直線的距離；（2）求直線到直線的距離；（3）求點到平面的距離；（4）求直線到平面的距離．考點二求點到平面的距離11．（2023春·甘肅臨夏·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，點在邊上，且，為的中點．以，，分別為軸，軸，軸的正方向，井以1為單位長度，建立空間直角坐標系，求：

(1)直線的一個方向向量；(2)點到平面的距離．12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點，，則點到平面的距離為（

）

A． B． C． D．13．（2023春·江西·高二贛州市第四中學(xué)校考期末）如圖，已知平面，底面為矩形，，，、分別為、的中點．

(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．14．（2023春·云南楚雄·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱中，是線段上靠近點的一個三等分點，是的中點．

(1)證明：平面；(2)若，求點到平面的距離．15．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，平面，，點為中點.

(1)求證：平面；(2)求點到直線的距離.16．【多選】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谀┮阎襟w的邊長為1，點分別是棱的中點，下列說法正確的有（

）A．B．平面C．平面截正方體的截面面積為D．到平面的距離為（二）直線到平面的距離17．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．(1)求點到平面的距離為；(2)求到平面的距離．18．【多選】（2023·高二課時練習(xí)）在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（

）A．異面直線AC與所成的角為B．是平面的一個法向量C．直線到平面的距離為D．平面與平面間的距離為（三）平行平面間的距離19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若兩平行平面、分別經(jīng)過坐標原點O和點，且兩平面的一個法向量為，則兩平面間的距離是．20．（2023春·高二課時練習(xí)）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD的距離為.21．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知正方體的棱長為4，設(shè)M、N、E、F分別是，的中點，求平面AMN與平面EFBD的距離．22．（2023春·高二課時練習(xí)）直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側(cè)棱，分別為的中點，分別是的中點．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．（四）異面直線的距離23．（2023·北京石景山·校考模擬預(yù)測）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為線段BC1上的動點，則點P到直線AC的距離的最小值為（）

A．1 B． C． D．24．（2023秋·上海浦東新·高二上海市實驗學(xué)校?？计谥校┤鐖D是一棱長為的正方體，則異面直線與之間的距離為（

）A． B． C． D．25．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在長方體中，，，求：(1)點到直線BD的距離；(2)點到平面的距離；(3)異面直線之間的距離.26．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，，頂點在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動點，則P，Q兩點間距離的最小值是（

）A． B．2 C． D．考點三有關(guān)距離的探索性問題27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形.，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，.(1)求四棱錐的體積；(2)是否存在點D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1?若存在，求出此時線段DE的長；若不存在，請說明理由.28．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，三棱柱的所有棱長都是2，平面，是的中點．（1）求平面和平面夾角的余弦值；（2）在線段（含端點）上是否存在點，使點到平面的距離為？請說明理由．29．（2023秋·江蘇宿遷·高三沭陽縣建陵高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點．(1)證明：；(2)已知是邊長為1的等邊三角形，且三棱錐的體積為，若點在棱上，且點到平面的距離為，求．考點四求兩條異面直線所成的角30．（2023春·高二單元測試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.

(1)求證：平面；(2)若，求與所成角的余弦值.31．（2023春·江西贛州·高二江西省尋烏中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)依次為的中點．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；(2)求點到平面AEF的距離．32．（2023秋·北京西城·高二北京市第三十五中學(xué)?？计谥校┮阎睦忮F中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是PB的中點.

(1)求直線BD與直線PC所成角的余弦值；(2)求證：平面(3)求點到平面的距離.33．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知直三棱柱，各棱長均為，為的中點，為的中點．(1)求直三棱柱的體積；(2)求證：平面；(3)求異面直線與所成角的余弦值．34．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面，平面平面.

(1)證明：平面；(2)若為中點，求向量與夾角的余弦值.考點五已知線線角求其他量35．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，底面，.點、、分別為棱、、的中點，是線段的中點，，.

(1)求證：平面；(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．36．（2023秋·浙江紹興·高三紹興一中校考階段練習(xí)）如圖，三棱錐中，底面于B，∠BCA＝90°，，點E是PC的中點．

(1)求證：側(cè)面PAC⊥平面PBC；(2)若異面直線AE與PB所成的角為θ，且，求平面ABC與平面ABE所成角的大?。?7．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，點是線段上的動點.(1)證明：平面平面；(2)若點在線段上，，且異面直線與成30°角，求平面和平面夾角的余弦值.38．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為正方體，動點P在對角線上，記．(1)求證：；(2)若異面直線AP與所成角為，求的值．考點六求直線與平面所成的角39．（2023春·江西九江·高二?？计谀┤鐖D所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.40．（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，在三棱錐C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中點，.

(1)證明：平面CBD⊥平面ABD；(2)求直線BC與平面ACD所成角的正弦值．41．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.

(1)證明：；(2)設(shè)的中點為，點在棱上（異于點，，且，求直線與平面所成角的正弦值.42．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點是的中點.

(1)證明：；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.43．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，平行六面體的體積為6，截面的面積為6．

(1)求點到平面的距離；(2)若，，求直線與平面所成角的正弦值．考點七已知線面角求其他量44．（江西省新余市20222023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點，為線段上的動點.

(1)證明：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.45．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖,在直三棱柱中,是以為斜邊的等腰直角三角形，,分別為上的點,且.

(1)若,求證:平面;(2)若,直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.46．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，.

(1)證明：平面平面；(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點E在線段上滿足，求二面角的余弦值.47．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，平面，，，，分別為，的中點，平面與平面的交線為，在圓上.

(1)在圖中作出交線（說明畫法，不必證明），并求三棱錐的體積；(2)若點滿足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.考點八求平面與平面的夾角平面與平面的夾角48．（2023·天津·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平而為的中點，在上，且(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值；(3)點是線段上異于兩端點的任意一點，若滿足異面直線與所成角的余弦值為，求的長．49．（2023秋·湖北武漢·高二華中科技大學(xué)附屬中學(xué)階段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，，，，分別是，上的點，且，，分別為，的中點，現(xiàn)將沿折起，得到四棱錐，連結(jié)．(1)證明：平面；(2)在翻折的過程中，當時，求平面與平面夾角的余弦值．50．（福建省廈門市20222023學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）如圖所示，在三棱柱中，是正三角形，D為棱AC的中點，，平面交于點E.

(1)證明：四邊形是矩形(2)若，，求平面與平面的夾角的余弦值.51．（2023春·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）如圖，三棱柱中，是的中點，平面.

(1)求證：；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.52．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面是的中點.

(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.（二）二面角53．（2023秋·天津河西·高二天津?qū)嶒炛袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面,點為棱的中點．

(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值．54．（2023春·安徽亳州·高二渦陽縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，已知五面體中，四邊形為矩形，為直角梯形，．

(1)求證：平面平面；(2)若為中點，求二面角的余弦值．55．（2023春·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）在四棱錐中，底面是矩形，分別是棱的中點.

(1)證明：平面；(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.56．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，，．

(1)證明：；(2)若，，，求二面角的余弦值．考點九已知面面角求其他量57．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點為弧的中點，且，，，四點共面.

(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成二面角的余弦值為，且線段長度為2，求點到直線的距離.58．（2023春·福建·高二校聯(lián)考期末）如圖，在正三棱柱中，點在棱上，且.

(1)求證：平面；(2)若正三棱柱的底面邊長為，二面角的大小為，求直線到平面的距離.59．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長為的正三角形，平面平面