第八章第6節(jié)橢圓雙曲線焦點(diǎn)三角形下的離心率公式-

第6節(jié)橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形下的離心率公式知識與方法1．如圖1所示，在焦點(diǎn)三角形背景下求橢圓的離心率，一般結(jié)合橢圓的定義，關(guān)鍵是運(yùn)用已知條件研究出的三邊長之比或內(nèi)角正弦值之比.公式：2.如圖2所示，在焦點(diǎn)三角形背景下求雙曲線的離心率，一般結(jié)合雙曲線的定義，關(guān)鍵是運(yùn)用已知條件研究出的三邊長之比或內(nèi)角正弦值之比.公式：.典型例題【例1】（2018·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知、是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一點(diǎn)，若，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【解析】解法1：如圖，，，故可設(shè)，則，，所以C的離心率.解法2：如圖，.【答案】D變式1設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P在C上且軸，若，則橢圓C的離心率為_______.【解析】如圖，且，故可設(shè)，則，，所以橢圓C的離心率.解法2：如圖，【答案】變式2在中，，，則以B、C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A的橢圓的離心率為_______.【解析】如圖，不妨設(shè)，，則，所以.解法2：如圖，.【答案】變式3過橢圓的左焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，若是等腰直角三角形，則橢圓的離心率為_______.【解析】解法1：如圖，是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，不妨設(shè)，則，所以橢圓的離心率.解法2：如圖，由題意，，所以橢圓的離心率.【答案】變式4過橢圓的左焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為_______.【解析】解法1：如圖，，不妨設(shè)，，則，所以.解法2：如圖，.【答案】變式5在中，，，且，若以B、C為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)A，則該橢圓的離心率的取值范圍為_______.【解析】解析：如圖，設(shè)則，，而，所以.【答案】【反思】從上面幾道題可以看出，焦點(diǎn)三角形下求橢圓的離心率，要么研究焦點(diǎn)三角形的三邊長之比，要么研究焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角正弦值之比.【例2】已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，且，則雙曲線C的離心率為_______.【解析】解法1：如圖，由題意，不妨設(shè)，則，，所以.解法2：如圖，由題意，，，所以.【答案】變式1（2016·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，與x軸垂直，，則E的離心率為（）A. B. C. D.2【解析】解法1：如圖，不妨設(shè)，，則，所以.解法2：.【答案】A變式2已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過且與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為_______.【解析】解法1：是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，不妨設(shè)，則，雙曲線C的離心率.解法2：是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，所以.【答案】變式3在中，，，則以B、C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線的離心率為_______.【解析】如圖，不妨設(shè)，則，，所以雙曲線的離心率.【答案】變式4已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，，則雙曲線C的離心率為_______.【解析】如圖，由題意，，，所以.【答案】強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★★）在中，，，則以A、B為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P的橢圓的離心率為_______.【解析】如圖，由題意，不妨設(shè)，則，，所以.【答案】2.（★★★）設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且，，則橢圓C的離心率為_______.【解析】如圖，，，所以，故.【答案】3.（★★★）已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，軸，且，則雙曲線C的離心率為_______.【解析】如圖，不妨設(shè)，，則，雙曲線C的離心率.【答案】4.（★★★）在中，，，，若以B、C為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)A，則該橢圓的離心率為_______.【解析】橢圓的離心率.【答案】5.（★★★）過橢圓的左焦點(diǎn)F作x軸的垂線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為_______.【解析】如圖，設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為，是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，不妨設(shè)，則，，所以橢圓C的離心率.解法2：是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，.【答案】6.（★★★）已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過且與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若是正三角形，則雙曲線C的離心率為_______.【解析】解法1：如圖，是正三角形，不妨設(shè)，則，，離心率.解法2：如圖，是正三角形，，，所以雙曲線C的離心率.【答案】7.（★★★）過雙曲線的左焦點(diǎn)作x軸的垂線交C于A、B兩點(diǎn)，C的右焦點(diǎn)為，若，則雙曲線C的離心率為_______.【解析】如圖，，不妨設(shè)，，則，所以離心率.【答案】8.（★★★）過雙曲線的左焦點(diǎn)F作x軸的垂線交C于A、B兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為_______.【解析】如圖，設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為，是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，不妨設(shè)，則，，所以C的離心率.【答案】9.（★★★）設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過且斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，，則橢圓C的離心率為_______.【解析】解法l：如圖，直線的斜率為，又，所以，，不妨設(shè)，則，，所以橢圓C的離心率.解法2：如圖，直線的斜率為，又，所以，，故橢圓C的離心率.【答案】10.（★★★）設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與橢圓的4個交點(diǎn)和、恰好構(gòu)成一個正六邊形，則橢圓E的離心率為_______.【解析】如圖，由題意，是正六邊形，所以，，，故橢圓E的離心率.【答案】11.（★★★★）已知P、Q為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P