專題07特殊的平行四邊形中的最值模型之費(fèi)馬點模型（原卷版）

專題07特殊的平行四邊形中的最值模型之費(fèi)馬點模型費(fèi)馬點問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，在各類考試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費(fèi)馬點問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握?！灸Ｐ捅尘啊科ひさ隆べM(fèi)馬，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數(shù)學(xué)．費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費(fèi)馬廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”、“費(fèi)馬大定理”等．費(fèi)馬點：三角形內(nèi)的點到三個頂點距離之和最小的點。【模型解讀】結(jié)論：如圖，點M為△ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個頂點連線的夾角為120°時，MA+MB+MC的值最小。注意：上述結(jié)論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時費(fèi)馬點就是最大角的頂點A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）【模型證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最?。藭r，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．費(fèi)馬點的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點為M，則點M即為△ABC的費(fèi)馬點?！咀钪翟怼績牲c之間，線段最短。例1．（2023·福建泉州·八年級校考期末）如圖，是邊長為2的正方形內(nèi)一動點，為邊上一動點，連接，則的最小值為（

）

A．4 B．3 C． D．例2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．例3．（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點M是矩形內(nèi)一點，且，，N為邊上一點，連接、、，則的最小值為______．例4．（2023·廣東深圳·二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對角線BD（不含B點）上任意一點，，（點N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時，正方形的邊長為______．例5．（2023·廣東廣州·校考二模）平行四邊形中，點E在邊上，連，點F在線段上，連，連．(1)如圖1，已知，點E為中點，．若，求的長度；(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過點C作交于點G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫出的最小值．例6．（2023·重慶·九年級專題練習(xí)）【問題提出】（1）如圖1，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對角線（不含B點）上任意一點，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，．若連接，則的形狀是________．（2）如圖2，在中，，，求的最小值．【問題解決】（3）如圖3，某高新技術(shù)開發(fā)區(qū)有一個平行四邊形的公園，千米，，公園內(nèi)有一個兒童游樂場E，分別從A、B、C向游樂場E修三條，求三條路的長度和（即）最小時，平行四邊形公園的面積．例7．（2023·江蘇·九年級階段練習(xí)）如圖，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點上，AB＝10公里，BC＝15公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個車站E，F(xiàn)，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值為公里．例8．（2023上·廣東廣州·九年級校考期中）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸，軸交于，兩點，點為中點，四邊形和四邊形都是正方形．(1)求的長；(2)如圖②，連接，，過點作于點，延長交于點，求證：；(3)如圖③，，點在邊上，且，為的中點，點為正方形內(nèi)部一點，連接，，，請直接寫出的最小值．課后專項訓(xùn)練1．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，P為平面內(nèi)的一點，連接，若，則的最小值是（

）A． B．36 C． D．2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形中，，點E是矩形內(nèi)一動點，連接，，F(xiàn)為上一動點，連接，則的最小值是．

3.（2023.重慶八年級期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC上有一動點P，BC=6，∠ABC=150°，則線段AP＋BP＋PD的最小值為

．4．（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，點P是矩形內(nèi)一點，連接、、、，已知，；則①的最小值為；②若，則．

5．（2023上·浙江臺州·九年級校考期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，，，P為內(nèi)任意一點，求的最小值．6．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，P是平面內(nèi)一點，則的最小值為______．

7．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）問題提出(1)如圖，點、是直線外兩點，在直線上找一點，使得最?。畣栴}探究(2)在等邊三角形內(nèi)有一點，且，，，求度數(shù)的大小．問題解決(3)如圖，矩形是某公園的平面圖，米，米，現(xiàn)需要在對角線上修一涼亭，使得到公園出口、，的距離之和最?。畣枺菏欠翊嬖谶@樣的點？若存在，請畫出點的位置，并求出的和的最小值；若不存在，請說明理由．8．（2023·重慶綦江·九年級期末）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點E、F分別是AB、BC上的動點，連接DE、DF、EF．(1)如圖1，連接AF，若AF⊥BC，E為AB的中點，且EF＝5，求DF的長；(2)如圖2，若BE＝BF，G為DE的中點，連接AF、AG、FG，求證：AG⊥FG；(3)如圖3，若AB＝7，將△BEF沿EF翻折得到△EFP（始終保持點P在菱形ABCD的內(nèi)部），連接AP、BP及CP，請直接寫出當(dāng)PA＋PB＋PC值最小時PB的長．9．（2022·綿陽市·九年級專題練習(xí)）如圖：(1)如圖1，已知銳角△ABC的邊BC＝3，S△ABC＝6，點M為△ABC內(nèi)一點，過點M作MD⊥BC交BC于點D，連接AM，則AM+MD的最小值為．(2)如圖2．點P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA＝2，PB＝，PC＝4．求∠APB的度數(shù)．(3)如圖3，在長方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800點P是長方形內(nèi)一動點，且S△ABC＝2S△PBC，點Q為△ADP內(nèi)的任意﹣點，是否存在一點P和一點Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，請求出此時PQ的長度，若不存在，請說明理由．10．（2022·河南南陽·統(tǒng)考三模）【發(fā)現(xiàn)奧秘】(1)如圖1，在等邊三角形中，，點E是內(nèi)一點，連接，分別將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．當(dāng)B，E，F(xiàn)，D四個點滿足______時，的值最小，最小值為_______．【解法探索】(2)如圖2，在中，，點P是內(nèi)一點，連接，請求出當(dāng)?shù)闹底钚r的度數(shù)，并直接寫出此時的值．（提示：分別將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接）【拓展應(yīng)用】(3)在中，，點P是內(nèi)一點，連接，直接寫出當(dāng)?shù)闹底钚r，的值．11．（2023·山東九年級課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接BN、AM、CM．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的邊長為，正方形內(nèi)是否存在一點P，使得PA＋PB＋PC的值最?。咳舸嬖?，求出它的最小值；若不存在，說明理由．12．（2023春·江蘇·八年級校考周測）如圖①，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對角線（不含B點）上任意一點，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)求證：；(2)如圖1，當(dāng)M點在何處時，的值最?。?3)如圖2，在中，，，．若點是內(nèi)一點，直接寫出的最小值．13．（2023春·江蘇蘇州·八年級期中）已知為等邊三角形，邊長為4，點D、E分別是、邊上一點，連接、．．(1)如圖1，若，求的長度；(2)如圖2，點F為延長線上一點，連接、，、相交于點G，連接，已知，求證：；(3)如圖3，點P是內(nèi)部一動點，順次連接，請直接寫出的最小值．14．（2023·山東八年級課時練習(xí)）閱讀下列材料：小華遇到這樣一個問題,如圖1,△ABC中,∠ACB=30o,BC=6,AC=5,在△ABC內(nèi)部有一點P,連接PA.PB.PC,求PA+PB+PC的最小值．小華是這樣思考的：要解決這個問題,首先應(yīng)想辦法將這三條端點重合于一點的線段分離,然后再將它們連接成一條折線,并讓折線的兩個端點為定點,這樣依據(jù)“兩點之間,線段最短”,就可以求出這三條線段和的最小值了．他先后嘗試了翻折.旋轉(zhuǎn).平移的方法,發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個問題．他的做法是,如圖2,將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60o,得到△EDC,連接PD.BE,則BE的長即為所求．（1）請你寫出圖2中,PA+PB+PC的最小值為;（2）參考小華的思考問題的方法,解決下列問題：①如圖3,菱形ABCD中,∠ABC=60o,在菱形ABCD內(nèi)部有一點P,請在圖3中