《物聯(lián)網(wǎng)控制基礎(chǔ)》課件第3章

第3章控制理論與方法3.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3.2線性系統(tǒng)的時(shí)域及頻域分析法3.3

PID控制方法3.4智能控制方法3.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

3.1.1反饋原理

一般情況下，控制系統(tǒng)分為開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)兩大類。所謂開環(huán)控制系統(tǒng)，是指控制器形成控制信號時(shí)不依賴于系統(tǒng)的輸出信號，這是一種“不計(jì)后果”的主觀控制方式，但對一些具有明確先驗(yàn)知識的系統(tǒng)仍然具有很好的控制效果，其結(jié)構(gòu)如圖3-1所示。但是，大多數(shù)控制系統(tǒng)的控制器在形成控制信號時(shí)要依賴于系統(tǒng)的輸出信號，這是一種“顧及后果”的客觀控制方式，稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如圖3-2所示。圖3-1開環(huán)控制系統(tǒng)圖3-2閉環(huán)控制系統(tǒng)所謂反饋原理，就是根據(jù)系統(tǒng)輸出變化的信息來進(jìn)行控制，即通過比較系統(tǒng)行為（輸出）與期望行為之間的偏差，并消除偏差以獲得預(yù)期的系統(tǒng)性能。所以，閉環(huán)控制系統(tǒng)又稱為反饋控制系統(tǒng)。在反饋控制系統(tǒng)中，既存在由輸入端到輸出端的信號前向通路，也包含從輸出端到輸入端的信號反饋通路，兩者組成一個(gè)閉合的回路。反饋控制是自動控制的主要形式。自動控制系統(tǒng)多數(shù)是反饋控制系統(tǒng)。在工程上常把在運(yùn)行中使輸出量和期望值保持一致的反饋控制系統(tǒng)稱為自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)，而把用來精確地跟隨或?qū)崿F(xiàn)某種過程的反饋控制系統(tǒng)稱為伺服系統(tǒng)或隨動系統(tǒng)。在反饋控制系統(tǒng)中，不管出于什么原因（外部擾動或系統(tǒng)內(nèi)部變化），只要被控量偏離規(guī)定值，就會產(chǎn)生相應(yīng)的控制作用去消除偏差。因此，它具有抑制干擾的能力，對元件特性變化不敏感，并能改善系統(tǒng)的響應(yīng)特性。但反饋回路的引入增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性，而且增益選擇不當(dāng)時(shí)會引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。為提高控制精度，在擾動變量可以測量時(shí)，也常同時(shí)采用按擾動的控制（即前饋控制）作為反饋控制的補(bǔ)充而構(gòu)成復(fù)合控制系統(tǒng)。實(shí)際上，反饋對于一切自然系統(tǒng)、生物系統(tǒng)和社會系統(tǒng)具有普適性。因此，也決定了它在物聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)中的重要地位。

物聯(lián)網(wǎng)控制系統(tǒng)通過信息的測量（提?。⑻幚恚庸づc變換）、傳輸、存儲及利用，最終形成控制作用（也是通過信息得以實(shí)現(xiàn)）。

在物聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)中，反饋的過程也就是信息傳遞和誤差消除的過程，這是一種最為基本的控制方式。如果反饋信息（系統(tǒng)實(shí)際輸出）使得系統(tǒng)輸出的誤差逐漸減少，則稱這種反饋為負(fù)反饋；反之，稱為正反饋。負(fù)反饋是反饋的基本形式。閉合負(fù)反饋環(huán)路的幾個(gè)重要的特征為：①可以使系統(tǒng)穩(wěn)定（最重要的特征）；②可以使系統(tǒng)具有魯棒性（Robustness），即減少系統(tǒng)輸出對系統(tǒng)參數(shù)變化（系統(tǒng)元件老化或系統(tǒng)內(nèi)部干擾）的敏感度，減少系統(tǒng)對量測誤差（量測噪聲）的敏感性；③可以使系統(tǒng)具有抗干擾能力，即減少外部干擾對系統(tǒng)輸出的影響；④可以改善系統(tǒng)輸出的響應(yīng)性能。3.1.2自動控制系統(tǒng)的分類

1.線性連續(xù)控制系統(tǒng)

線性連續(xù)控制系統(tǒng)可以用線性微分方程描述，其一般形式為式中，c(t)是被控量；r(t)是系統(tǒng)輸入量。系數(shù)a0,a1，…,an，b0，b1，…，bm是常數(shù)時(shí)，稱該系統(tǒng)為定常系統(tǒng)；系數(shù)a0，a1，…，an，b0，b1，…，bm隨時(shí)間變化時(shí)，稱該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。

1）恒值控制系統(tǒng)

恒值控制系統(tǒng)的參據(jù)量是一個(gè)常值，要求被控量亦等于一個(gè)常值，故又稱為調(diào)節(jié)器。但由于擾動的影響，被控量可能會偏離參據(jù)量而出現(xiàn)偏差，控制系統(tǒng)便根據(jù)偏差產(chǎn)生控制作用，以克服擾動的影響，使被控量恢復(fù)到給定的常值。因此，恒值控制系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是研究各

種擾動對被控對象的影響以及抗擾動的措施。在恒值控制系統(tǒng)中，參據(jù)量可以隨產(chǎn)生條件的變化而改變，但是一經(jīng)調(diào)整后，被控量就應(yīng)與調(diào)整好的參據(jù)量保持一致。在工業(yè)中，如果被控量是溫度、流量、壓力、液位等生產(chǎn)過程參量時(shí)，這種控制系統(tǒng)則成為過程控制系統(tǒng)，它們大多數(shù)都屬于恒值控制系統(tǒng)。

2）隨動系統(tǒng)

隨動系統(tǒng)的參據(jù)量是預(yù)先未知的隨時(shí)間任意變化的函數(shù)，要求被控量以盡可能小的誤差跟隨參據(jù)量的變化，故又稱為跟蹤系統(tǒng)。在隨動系統(tǒng)中，擾動的影響是次要的，系統(tǒng)分析、

設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是研究被控量跟隨參據(jù)量的快速性和準(zhǔn)確性。在隨動系統(tǒng)中，如果被控量是機(jī)械位置或其導(dǎo)數(shù)時(shí)，這類系統(tǒng)稱為伺服系統(tǒng)。

3）程序控制系統(tǒng)

程序控制系統(tǒng)的參據(jù)量是按預(yù)定規(guī)律隨時(shí)間變化的函數(shù)，要求被控量迅速、準(zhǔn)確地加以復(fù)現(xiàn)，機(jī)械加工使用的數(shù)字程序控制機(jī)床便是一例。程序控制系統(tǒng)和隨動系統(tǒng)的參據(jù)量都是時(shí)間函數(shù)，不同之處在于前者是已知的時(shí)間函數(shù)，后者則是未知的任意時(shí)間函數(shù)，而恒值控制系統(tǒng)也可視為程序控制系統(tǒng)的特例。

2.線性定常離散控制系統(tǒng)

一般在離散系統(tǒng)中既有連續(xù)的模擬信號，也有離散的數(shù)字信號，因此離散系統(tǒng)要用差分方程描述，線性定常差分方程的一般形式為式中，m≤n，n為差分方程的次數(shù)；a0，

a1，…，an，b0，b1，…，bm為常系數(shù)；r(k)，c(k)分別為輸入和輸出采樣序列。

3.非線性控制系統(tǒng)

系統(tǒng)中只要有一個(gè)元部件的輸入輸出特性是非線性的，這類系統(tǒng)就稱為非線性控制系統(tǒng)，這時(shí)，要用非線性微分（或差分）方程描述其特性。非線性方程的特點(diǎn)是系數(shù)與變量有關(guān)，或者方程中含有變量及其導(dǎo)數(shù)的高次冪或乘積項(xiàng)，例如嚴(yán)格地說，實(shí)際物理系統(tǒng)中都含有程度不同的非線性元部件，例如放大器和電磁元件的飽和特性，運(yùn)動部件的死區(qū)、間隙和摩擦特性等。3.1.3拉普拉斯變換

系統(tǒng)的行為（即系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)）可以用微分方程或差分方程來描述，因而，求解微分方程可得到系統(tǒng)的響應(yīng)。拉普拉斯變換可以將微分運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算，對一類特定的用線性定常微分方程描述的系統(tǒng)，可用拉普拉斯變換的方法分析、求解。

1.拉普拉斯變換及其反變換的定義

一個(gè)定義在區(qū)間［0，∞)，即0≤t<∞的函數(shù)f(t)，它的拉普拉斯變換式F(s)的定義為式中,s=δ+jω為復(fù)數(shù)。F(s)稱為f(t)的象函數(shù)，f(t)稱F(s)的原函數(shù)。拉普拉斯變換簡稱拉氏變換，F(xiàn)(s)又稱為f(t)的拉氏變換式。拉氏變換是線性變換，滿足疊加性和齊次性。如果F(s)已知，要求出它所對應(yīng)的原函數(shù)f(t)，則稱F(s)到f(t)的這種變換為拉普拉斯反變換。它的定義為為書寫簡便起見，通?？捎糜浱枴癓［］”表示對方括號里的函數(shù)作拉氏變換，即L［f(t)］=F(s)；用記號“L－1［］”表示對方括號里的函數(shù)作拉氏反變換，即f(t)=L－1［F(s)］。常見的拉式變換見表3-1。

2.拉氏變換的基本性質(zhì)

性質(zhì)1唯一性:由定義式所定義的象函數(shù)F(s)與定義在［0，∞）區(qū)間上的時(shí)域函數(shù)f(t)存在著一一對應(yīng)的關(guān)系。性質(zhì)2線性性質(zhì)（線性定理）:令f1(t)和f2(t)是兩個(gè)任意的時(shí)間函數(shù)，且它們的象函數(shù)分別為F1(s)和F2(s)，a和b是兩個(gè)任意的常數(shù)，有性質(zhì)3（時(shí)域）導(dǎo)數(shù)性質(zhì)（微分定理）：原函數(shù)f(t)的象函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)f′(t)=df／(t)dt的象函數(shù)之間有如下關(guān)系：式中，f(0)為原函數(shù)f(t)在t=0時(shí)的值。性質(zhì)4（時(shí)域）積分性質(zhì)（積分定理）：原函數(shù)f(t)的象函數(shù)與其積分的象函數(shù)之間有如下關(guān)系:性質(zhì)5卷積定理:設(shè)f1(t)和f2(t)的象函數(shù)分別為F1(s)和F2(s)，則卷積3.1.4系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及結(jié)構(gòu)圖

1.傳遞函數(shù)的定義

線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)。設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：式中，c(t)為系統(tǒng)輸出量；r(t)系統(tǒng)輸入量；ai(i=0，1，2，…，n)和bj(j=0，1，2，…，m)是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。設(shè)r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，可得于是，由定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為式中,由傳遞函數(shù)公式可知C(s)=R(s)G(s)，因此，可以用傳遞函數(shù)表示控制系統(tǒng)，如圖3-3所示。圖3-3傳遞函數(shù)的圖示

2.傳遞函數(shù)的性質(zhì)

（1）傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式，式中分子M(s)和分母N(s)的各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)，由系統(tǒng)的參數(shù)確定。當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為n階時(shí)，稱該系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)是物理系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)描述形式，它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入量無關(guān)。（2）傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是單位脈沖響應(yīng)g(t)。單位脈沖響應(yīng)（也稱脈沖過渡函數(shù)）g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖δ(t)輸入時(shí)的輸出響應(yīng)，因此R(s)=L［δ(t)］=1，故有g(shù)(t)=

L－1［C(s)］=L－1［G(s)R(s)］=L－1［G(s)］。（3）服從不同物理規(guī)律的系統(tǒng)可以有同樣的傳遞函數(shù)，正如一些不同的物理現(xiàn)象可以用形式相同的微分方程描述一樣，故它不能反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。傳遞函數(shù)只描述系統(tǒng)的輸入/輸出特性，而不能表征系統(tǒng)內(nèi)部所有狀況的特性。

（4）傳遞函數(shù)是將線性定常系統(tǒng)的微分方程作拉氏變換后得到的，因此，傳遞函數(shù)的概念只能用于線性定常系統(tǒng)。（5）確定的傳遞函數(shù)與確定的零極點(diǎn)分布相對應(yīng)。傳

遞函數(shù)分子多項(xiàng)式的根稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式方程，即傳遞函數(shù)的特征方程的根稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。一般零點(diǎn)、極點(diǎn)可為實(shí)數(shù)，也可為復(fù)數(shù)，若為復(fù)數(shù)，必共軛成對出現(xiàn)。求出傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，因?yàn)镚(s)=C(s)/R(s),并將其分子和分母分解因式后，傳遞函數(shù)表達(dá)式又可表示為式中，K為放大系數(shù)；zi為G(s)的零點(diǎn)；pj為G(s)的極點(diǎn)。傳遞函數(shù)的求取方法很多，也很靈活，我們可將其歸納為以下五種方法：

（1）由系統(tǒng)的原理圖求傳遞函數(shù)；

（2）由系統(tǒng)的微分方程求傳遞函數(shù)；

（3）由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)；

（4）由系統(tǒng)的頻率特性曲線求傳遞函數(shù)；

（5）由系統(tǒng)的響應(yīng)曲線或響應(yīng)解析式求傳遞函數(shù)。

3.典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)是由若干個(gè)元件或環(huán)節(jié)組成的，一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總可以分解為數(shù)個(gè)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積。逐個(gè)研究和掌握這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的特性，就不難進(jìn)一步綜合研究整個(gè)系統(tǒng)的特性。

1)比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)，又稱為無慣性環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量成固定的比例關(guān)系，因此，比例環(huán)節(jié)的輸出可以無失真、無滯后地按一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量。比例環(huán)節(jié)的微分方程可表示為

y(t)=kx(t)

式中，k為比例系數(shù)。

兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏變換得

Y(s)=kX(s)

由此，得比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

2)慣性環(huán)節(jié)

在慣性環(huán)節(jié)中，當(dāng)輸入量突變時(shí)，輸出量不會產(chǎn)生突變，只是按照指數(shù)規(guī)律逐漸變化。這種環(huán)節(jié)具有一個(gè)儲能元件，其微分方程為兩邊取拉氏變換得

(τs+1)Y(s)=X(s)一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

3)積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的輸出量等于輸入量對時(shí)間的積分，其動態(tài)微分方程為其傳遞函數(shù)為

4)微分環(huán)節(jié)

理想的微分環(huán)節(jié)是指輸出量與輸入量的一階導(dǎo)數(shù)成正比的環(huán)節(jié)，其微分方程為式中,τ為時(shí)間常數(shù)。其傳遞函數(shù)為

5)振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的微分方程為其傳遞函數(shù)為式中，參數(shù)ζ為振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比；ωn為振蕩環(huán)節(jié)的自然振蕩角頻率。在振蕩環(huán)節(jié)中，振蕩的強(qiáng)度與阻尼比ζ有關(guān)，ζ值越小，振蕩越強(qiáng)；當(dāng)ζ=0時(shí)，輸出量曲線為等幅振蕩曲線，振蕩的頻率為自然振蕩頻率；當(dāng)ζ≥1時(shí)，輸出量曲線則

為單調(diào)上升曲線；當(dāng)0<ζ<1時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)的動態(tài)響應(yīng)曲線具有衰減振蕩特性。

6)時(shí)滯環(huán)節(jié)

時(shí)滯環(huán)節(jié)，也稱為延遲環(huán)節(jié)，其輸出量經(jīng)過一段延遲時(shí)間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入量。時(shí)滯環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

y(t)=r(t－τ)

式中，τ是純滯后時(shí)間。

對上式求拉氏變換，可得式中，ζ=t－τ。將時(shí)滯環(huán)節(jié)展開成泰勒級數(shù)，并略去高次項(xiàng)得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

從簡化后的傳遞函數(shù)來看，時(shí)滯環(huán)節(jié)在一定條件下可近似為慣性環(huán)節(jié)。時(shí)滯環(huán)節(jié)的動態(tài)響應(yīng)的輸出與輸入波形相同，但延遲了一段時(shí)間。系統(tǒng)中有延遲環(huán)節(jié)時(shí)，可能使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，且τ越大對系統(tǒng)的穩(wěn)定越不利。3.1.5系統(tǒng)的方框圖

1.方框圖的基本概念

建立自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的圖示方法有方框圖（結(jié)構(gòu)圖、方塊圖）和信號流圖?？刂葡到y(tǒng)是由一些典型環(huán)節(jié)組成的，將各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)框圖根據(jù)系統(tǒng)的物理原理，按信號傳遞的關(guān)系，依次正確地連接起來，即為系統(tǒng)的方框圖。方框圖是控制系統(tǒng)的又一種動態(tài)數(shù)學(xué)模型。采用方框圖更便于求傳遞函數(shù)，同時(shí)能形象直觀地表明各信號在系統(tǒng)或元件中

的傳遞過程。

1）方框圖的組成

信號線（物理量）：帶箭頭的線段。表示系統(tǒng)中信號的流通方向，一般在線上標(biāo)注信號所對應(yīng)的變量。

引出點(diǎn)：信號引出或測量的位置，表示信號從該點(diǎn)取出。注意，從同一信號線上取出的信號大小和性質(zhì)完全相同。

比較點(diǎn)：表示兩個(gè)或兩個(gè)以上信號在該點(diǎn)相加（+）或相減（－）。注意，比較點(diǎn)處信號的運(yùn)算符號（正、負(fù)）必須標(biāo)明，一般不標(biāo)明則取正號。

方框：（環(huán)節(jié)）表示輸入、輸出信號之間的動態(tài)傳遞關(guān)系。

2）方框圖的特點(diǎn)

（1）依據(jù)微分方程或經(jīng)拉氏變換得到的變換方程，可以方便地畫出方框圖。再經(jīng)過方框圖的等效變換，便可求出圖中任意兩信號（變量）間的傳遞函數(shù)。

（2）方框圖對研究整個(gè)控制系統(tǒng)的動態(tài)性能及分析各環(huán)節(jié)對系統(tǒng)總體性能的影響非常有幫助，該方法比較形象和

直觀。

（3）同一系統(tǒng)，可以畫出不同形式的方框圖，即結(jié)構(gòu)圖對所描述的系統(tǒng)來說不是唯一的。但是，經(jīng)結(jié)構(gòu)變換所得的結(jié)果應(yīng)該是相同的，即同一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是唯一的。（4）方框圖只包括與系統(tǒng)動態(tài)特性有關(guān)的信息，并不顯現(xiàn)系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，不同的物理系統(tǒng)有可能具有相同的方框圖。

3）方框圖的繪制步驟

（1）按照系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和工作原理，分解出各環(huán)節(jié)，并寫出它們的傳遞函數(shù)。

（2）繪出各環(huán)節(jié)的動態(tài)框圖，框圖中標(biāo)明它們的傳遞函數(shù)，并標(biāo)明其輸入量和輸出量。

（3）將系統(tǒng)的輸入量放在最左邊，輸出量放在最右邊，按照信號的傳遞順序把各框圖依次連接起來，就構(gòu)成了系統(tǒng)的動態(tài)方框圖。例3-1畫出圖3-4所示電路的方框圖。圖3-4電路圖

【解】根據(jù)電路列出如下方程：

在零初始條件下得

其相應(yīng)的方框圖為

將兩個(gè)單元的方框圖結(jié)合在一起，就可以得到系統(tǒng)的完整方框圖，如圖3-5所示。圖3-5系統(tǒng)的完整方框圖

2.方框圖的聯(lián)接方式

（1）串聯(lián)：環(huán)節(jié)首尾相聯(lián)的方式，如圖3-6所示。

圖3-6所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為

Y(s)=G2(s)U(s)=G2(s)G1(s)X(s)

因此，可得到等效的方框圖，如圖3-7所示。圖3-6串聯(lián)方式圖3-7串聯(lián)方式的等效圖（2）并聯(lián)：幾個(gè)環(huán)節(jié)的輸入信號相同，輸出信號相加（減）的聯(lián)接方式，如圖3-8所示。

圖3-8并聯(lián)方式圖3-8的等效方框圖如圖3-9所示。圖3-9并聯(lián)方式的等效圖（3）反饋聯(lián)接，如圖3-10所示。圖3-10反饋聯(lián)接在圖3-10中，由輸入信號開始經(jīng)G(s)到輸出信號的通道稱為主通道，也稱前向通道；由輸出信號經(jīng)反饋裝置到主反饋信號B(s)的通道稱為反饋通道，也稱反饋通路；E(s)=R(s)－B(s)為偏差信號。在反饋聯(lián)接中，還涉及如下幾個(gè)定義：

①前向通路傳遞函數(shù)：輸出信號C(s)與偏差信號E(s)之比，即②反饋回路傳遞函數(shù)：主反饋信號B(s)與輸出信號C(s)之比，即=G(s)H(s)④閉環(huán)傳遞函數(shù)：輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比，即

3.方框圖的變換與化簡為了由系統(tǒng)的方框圖方便地寫出它的閉環(huán)傳遞函數(shù)，通常需要對方框圖進(jìn)行等效變換。方框圖的等效變換必須遵守一個(gè)原則，即變換前后各變量之間的傳遞函數(shù)保持不變。在控制系統(tǒng)中，任何復(fù)雜系統(tǒng)都是由響應(yīng)環(huán)節(jié)的方框經(jīng)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式聯(lián)接而成的。例3-2化簡方框圖3-11。

分析方框圖中，出現(xiàn)三個(gè)環(huán)且其中兩環(huán)出現(xiàn)交叉現(xiàn)象。如果解除交叉，則可方便簡化，可見移動G6分支所在引出點(diǎn)，則可使問題簡化。圖3-11方框圖

【解】該方框圖的簡化過程如圖3-12~3-16所示。圖3-12化簡過程一圖3-13化簡過程二圖3-14化簡過程三圖3-15化簡過程四圖3-16化簡結(jié)果所以：例3-3求解如圖3-17所示的一般反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)。圖3-17一般反饋控制系統(tǒng)的方框圖

【解】（1）求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù):

①當(dāng)N(s)=0時(shí)（無擾動），圖3-17所示的系統(tǒng)可化簡為圖3-18的形式，其輸出C1(s)為

②當(dāng)R(s)=0時(shí)（無參數(shù)輸入），圖3-17所示的系統(tǒng)可化簡為圖3-19的形式，其輸出C2(s)為圖3-18無干擾時(shí)的系統(tǒng)方框圖圖3-19無參數(shù)輸入時(shí)的系統(tǒng)方框圖根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可得：（2）求解系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)（誤差響應(yīng)，輸入（擾動））：①當(dāng)N(s)=0時(shí)（無擾動），由圖3-18可得②當(dāng)R(s)=0時(shí)（無參數(shù)輸入），由圖3-19可得所以利用疊加原理，當(dāng)R(s)、N(s)同時(shí)作用時(shí)，有3.1.6系統(tǒng)模型與信號流圖

現(xiàn)代科學(xué)最重要的標(biāo)志之一就是用數(shù)學(xué)工具來描述和分析所研究的問題。在工程控制論中，一般用以描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具是一階微分方程或一階差分方程。其中用一個(gè)變量表示時(shí)間，分別用不同的變量表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量、控制輸入變量、系統(tǒng)輸出變量、系統(tǒng)演化的隨機(jī)干擾等，同時(shí)用不同的映射表示狀態(tài)演化映射和輸出映射。此處，所謂狀態(tài)變量，是一組用來刻畫系統(tǒng)行為的變量，一般情況下具有馬爾可夫（Markov）性，即具有總結(jié)系統(tǒng)以往運(yùn)動特性的性質(zhì)，其未來的狀態(tài)變化只依賴于當(dāng)前的狀態(tài)值和未來施加于系統(tǒng)的控制輸入，而與系統(tǒng)以往運(yùn)動的過程如何達(dá)到當(dāng)前的狀態(tài)無關(guān)，可以說，狀態(tài)變量溝通了系統(tǒng)的控制輸入和系統(tǒng)輸出。如果狀態(tài)演化映射和輸出映射都是線性的，即滿足可加性和齊次性，則稱這個(gè)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，否則稱為非線性系統(tǒng)。如果狀態(tài)演化映射和輸出映射都不直接依賴于時(shí)間變量，則稱其為時(shí)不變系統(tǒng)，否則稱為時(shí)變系統(tǒng)。如果狀態(tài)演化映射和輸出映射都不受外界干擾，映射關(guān)系是精確關(guān)系，則稱其為確定性系統(tǒng)，否則稱為非確定性系統(tǒng)，后者在明確具有統(tǒng)計(jì)特性的外部干擾作用時(shí)稱為隨機(jī)系統(tǒng)。當(dāng)然，系統(tǒng)也可以采用高階微分方程或差分方程來描述，但經(jīng)過維數(shù)擴(kuò)展仍然可以轉(zhuǎn)換為一階微分方程或一階差分方程。

對于線性時(shí)不變系統(tǒng)，除了用微分方程或差分方程來描述之外，還可以用傳遞函數(shù)來描述。信號流圖是用來描述線性時(shí)不變系統(tǒng)的另外一種方法。信號流圖是由梅森（S.J.Mason）提出來的，所以也稱為梅森信號流圖。它利用圖示法來描述一個(gè)或一組線性代數(shù)方程式，表現(xiàn)為由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。信號流圖的一個(gè)示例如圖3-20所示。圖3-20信號流圖示例

1.信號流圖及其術(shù)語

（1）節(jié)點(diǎn)：表示方程式中的變量或信號，其值等于所有進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)的信號之和。

（2）源節(jié)點(diǎn)（輸入節(jié)點(diǎn)）：只有輸出，沒有輸入的節(jié)點(diǎn)，也稱源點(diǎn)，一般代表系統(tǒng)的輸入變量。

（3）輸出節(jié)點(diǎn)：只有輸入的節(jié)點(diǎn)，也稱匯點(diǎn)，一般代表系統(tǒng)的輸出變量。

（4）混和節(jié)點(diǎn)：既有輸入，又有輸出的節(jié)點(diǎn)。（5）支路：圖中的定向線段，其上的箭頭表明信號的流向，各支路上還標(biāo)明了增益，即支路的傳遞函數(shù)。

（6）通路：沿支路箭頭方向穿過各相連支路的路徑。（7）前向通道：信號從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路上通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的通路。

（8）回路：始端與終端重合且與任何節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通道。

（9）不接觸回路：沒有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路。

2.梅森增益

從復(fù)雜的系統(tǒng)信號流圖，經(jīng)過簡化即可以求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而且方框圖的等效變換規(guī)則亦適用于信號流圖的簡化，但這個(gè)過程畢竟還是很麻煩的?？刂乒こ讨谐?yīng)用梅森增益公式直接求取從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)，而不需要簡化信號流圖，這就為信號流圖的廣泛應(yīng)用提供了方便。當(dāng)然，由于系統(tǒng)的方框圖與信號流圖之間有對應(yīng)關(guān)系，因此，梅森增益公式也可以直接用于系統(tǒng)的方框圖。梅森增益公式是按克萊姆（Gramer）規(guī)則求解線性聯(lián)立方程組時(shí)，將解的分子多項(xiàng)式及分母多項(xiàng)式與信號流圖（即拓?fù)鋱D）巧妙聯(lián)系的結(jié)果，此處不進(jìn)行詳細(xì)的推導(dǎo)。在具

有任意條前向通路及任意個(gè)單獨(dú)回路和不接觸回路的復(fù)雜信號流圖中，從任意輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之間傳遞函數(shù)的梅森增益公式為

式中，P為從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)（或總增益）；n為從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通路總數(shù)；pk為從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的第k條前向通路的總增益；Δ稱為信號流圖的特征式，記為：其中：∑L(1)表示所有不同回路的增益的乘積之和；∑L(2)表示所有任意兩個(gè)互不接觸回路的增益的乘積之和；以此類推，∑L(m)表示所有任意m個(gè)不接觸回路的增益的乘積之和。信號流圖的特征式是信號流圖所表示的方程組的系數(shù)矩

陣的行列式。值得注意的是，在同一個(gè)信號流圖中求圖中任何一對節(jié)點(diǎn)之間的增益，其分母總是Δ，變化的只是其分子；Δk為不與第k條前向通路相接觸的那一部分信號流圖的Δ值，稱為第k條前向通路特征式的余因子。例3-4求圖3-21所示信號流圖的總增益。圖3-21信號流圖

【解】該信號流圖中存在2條前向通路：

第1條前向通路x1→x2→x3→x4→x5，總增益P1=a12a23a34a45，特征式Δ1=1；

第2條前向通路x1→x2→x3→x5，總增益P1=a12a23a35，特征式Δ1=1－a44。

該信號流圖中存在4條單獨(dú)回路：

第1條單獨(dú)回路x2→x3→x2，該回路增益乘積L1=a23a32；

第2條單獨(dú)回路x2→x3→x4→x2，該回路增益乘積L2=a23a34a42；第3條單獨(dú)回路x4→x4，該回路增益乘積L3=a44；

第4條單獨(dú)回路x2→x3→x4→x5→x2，該回路增益乘積L4=a23a34a45a52；

第5條單獨(dú)回路x2→x3→x5→x2，該回路增益乘積L5=a23a35a52。

其中，第1條與第3條、第3條與第5條互不接觸，因此，不接觸回路增益乘積

L12=L1L3=a23a32a44，L22=L3L5=a23a35a52a44從而可以得到3.1.7反饋擾動補(bǔ)償方法

圖3-22為擾動補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)，圖中W1(s)和W2(s)

為反饋控制系統(tǒng)的正向通道傳遞函數(shù)，Xd(s)為系統(tǒng)擾動，WC(s)是為擾動補(bǔ)償Xd(s)的影響而引入的前饋裝置傳遞函數(shù)。按擾動補(bǔ)償?shù)目刂葡到y(tǒng)所希望達(dá)到的理想要求是通過WC(s)

的補(bǔ)償使擾動Xd(s)不影響系統(tǒng)的輸出C(s)。從傳遞函數(shù)上考慮，就是使擾動輸出的傳遞函數(shù)為零。故有即從而得到上式稱為擾動補(bǔ)償作用的完全補(bǔ)償條件。圖3-22擾動補(bǔ)償控制系統(tǒng)的方框圖3.2線性系統(tǒng)的時(shí)域及頻域分析法

3.2.1系統(tǒng)的時(shí)域分析法

控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)分為動態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)兩類。為了求解系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，必須了解輸入信號（即外作用）的解析表達(dá)式。

1.典型輸入信號

一般來說，控制系統(tǒng)是針對某一類輸入信號來設(shè)計(jì)的。某些系統(tǒng)，例如室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)或水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)，其輸入信號為要求的室溫或水位，這是設(shè)計(jì)者所熟知的。但是在大多數(shù)

情況下，控制系統(tǒng)的輸入信號以無法預(yù)測的方式變化。例如，在防空火炮系統(tǒng)中，敵機(jī)的位置和速度無法預(yù)料，火炮控制系統(tǒng)的輸入信號具有隨機(jī)性，從而給規(guī)定系統(tǒng)的性能要求以及分析和設(shè)計(jì)工作帶來了困難。為了便于進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，同時(shí)也為了便于對各種控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較，我們需要假定一些基本的輸入函數(shù)形式，稱之為典型輸入信號。所謂典型輸入信號，是指根據(jù)系統(tǒng)常遇到的輸入信號形式，在數(shù)學(xué)描述上加以理想化的一些基本輸入函數(shù)?？刂葡到y(tǒng)中常用的典型輸入信號有單位階躍函數(shù)、單位斜坡（速度）函數(shù)、單位加速度（拋物線）函數(shù)、單位脈沖函數(shù)和正弦函數(shù)，如表3-2所示。這些函數(shù)都是簡單的時(shí)間函數(shù)，便于數(shù)學(xué)分析和實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)際應(yīng)用時(shí)究竟采用哪一種典型輸入信號，取決于系統(tǒng)常見的工作狀態(tài)；同時(shí)，在所有可能的輸入信號中，往往選取最不利的信號作為系統(tǒng)的典型輸入信號，這種處理方法在許多場合是可行的。例如，室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)、水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)以及工作狀態(tài)突然改變或突然受到恒定輸入作用的控制系統(tǒng)，都可以采用階躍函數(shù)作為典型輸入信號；跟蹤通信衛(wèi)星的天線控制系統(tǒng)以及輸入信號隨時(shí)間逐漸變化的控制系統(tǒng)，斜坡函數(shù)是比較合適的典型輸入信號。加速度函數(shù)可作為宇宙飛船控制系統(tǒng)的典型輸入信號；當(dāng)控制系統(tǒng)的輸入信號是沖擊輸入量時(shí)，采用脈沖函數(shù)作為典型輸入信號最為合適；當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號具有周期性的變化時(shí)，可選擇正弦函數(shù)作為典型輸入信號。同一系統(tǒng)中，不同形式的輸入信號所對應(yīng)的輸出響應(yīng)是不同的，但對于線性控制來說，它們所表征的系統(tǒng)性能是一致的。通常以單位階躍函數(shù)作為典型輸入信號，則可在一個(gè)統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。應(yīng)當(dāng)指出，有些控制系統(tǒng)的實(shí)際輸入信號是變化無常的隨機(jī)信號，例如定位雷達(dá)天線控制系統(tǒng)，其輸入信號中既有運(yùn)動目標(biāo)的不規(guī)則信號，又有許多隨機(jī)噪聲分量，此時(shí)就不能用上述確定性的典型輸入信號去代替實(shí)際輸入信號，而必須采用隨機(jī)過程理論進(jìn)行處理。

為了評價(jià)線性系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)，需要研究控制系統(tǒng)的典型輸入信號作用下的時(shí)間響應(yīng)過程。

2.動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程

1）動態(tài)過程

動態(tài)過程又稱為過渡過程或瞬態(tài)過程，指系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。由于實(shí)際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦以及一些其他原因，系統(tǒng)輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化。根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)選擇情況，動態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式。顯然，一個(gè)可以實(shí)際運(yùn)行的控制系統(tǒng)，其動態(tài)過程必須是衰減的，換句話說，系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。動態(tài)過程除提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息外，還可以提供響應(yīng)速度及阻尼情況等信息。這些信息用動態(tài)性能描述。

2）穩(wěn)態(tài)過程

穩(wěn)態(tài)過程指系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。穩(wěn)態(tài)過程又稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息，用穩(wěn)態(tài)性能描述。

由此可見，控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下的性能指標(biāo)，通常由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。

3.動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運(yùn)行的首要條件，因此只有當(dāng)動態(tài)過程收斂時(shí)，研究系統(tǒng)的動態(tài)性能才有意義。

1）動態(tài)性能

通常在階躍函數(shù)作用下，測定或計(jì)算系統(tǒng)的動態(tài)性能。一般認(rèn)為，階躍輸入對系統(tǒng)來說是嚴(yán)峻的工作狀態(tài)。如果系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動態(tài)性能滿足要求，那么系統(tǒng)在其他形式的函數(shù)作用下，其動態(tài)性能也是令人滿意的。描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)的作用下，動態(tài)過程隨時(shí)間t的變化狀況的指標(biāo)稱為動態(tài)性能指標(biāo)。為了便于分析，假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用前處于靜止?fàn)顟B(tài)，而且輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。對于大多數(shù)控制系統(tǒng)來說，這種假設(shè)是符合實(shí)際情況的。對于圖3-23所示的單位階躍響應(yīng)h(t)，其動態(tài)性能指標(biāo)通常如下所述。

延遲時(shí)間td：指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到終值的一半所需的

時(shí)間。上升時(shí)間tr：指響應(yīng)從終值的10%上升到終值的90%所

需的時(shí)間；對于有振蕩的系統(tǒng)，也可以定義為響應(yīng)從零第

一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。上升時(shí)間是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一

種度量。上升時(shí)間越短，說明系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快。

峰值時(shí)間tp：指響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需的

時(shí)間。

調(diào)節(jié)時(shí)間ts：指響應(yīng)到達(dá)并停留在終值±5%（有時(shí)為±2%）誤差范圍內(nèi)所需的最短時(shí)間。超調(diào)量σ%：指響應(yīng)的最大偏離量h(tp)與終值h(∞)的差與終值h(∞)比的百分?jǐn)?shù)，即若σ%=0，則響應(yīng)無超調(diào)。超調(diào)量也稱為最大超調(diào)量，或百分比超調(diào)量。圖3-23單位階躍響應(yīng)示例上述五個(gè)動態(tài)性能指標(biāo)，基本上可以體現(xiàn)系統(tǒng)動態(tài)過程的特征。在實(shí)際應(yīng)用中，常用的動態(tài)性能指標(biāo)多為上升時(shí)

間、調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量。通常用tr或tp評價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；用σ%評價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度；而ts是同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻

尼程度的綜合性指標(biāo)。應(yīng)當(dāng)指出，除簡單的一、二階系統(tǒng)外,要精確地確定這些動態(tài)性能指標(biāo)的解析表達(dá)式是很困難的。

2）穩(wěn)態(tài)性能（靜態(tài)性能）

穩(wěn)態(tài)誤差是穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、加速度函數(shù)的作用下進(jìn)行測定或計(jì)算。若時(shí)間趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。例3-5設(shè)某二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-24所示，試確定系統(tǒng)中的ξ和ωn。由響應(yīng)的σ%、tp及相應(yīng)公式，即可換算出ξ、ωn。3.2.2頻率特性的基本概念

首先我們用一個(gè)簡單的電路說明頻率特性的基本概念。

圖3-25為一個(gè)RC濾波網(wǎng)絡(luò)電路，其微分方程為

式中，T=RC為時(shí)間常數(shù)。(3-1)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為(3-1)若電路的輸入為正弦電壓，即

u1=Asinωt

由式（3-2）可得對上式進(jìn)行拉普拉斯反變換，可得電容兩端的輸出電

壓為上式中第一項(xiàng)是輸出電壓的瞬態(tài)分量，第二項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)分量。當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，第一項(xiàng)趨于零，所以上述網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以表示為(3-3)由式（3-3）可知，網(wǎng)絡(luò)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍是一個(gè)同頻率的正弦信號，但幅值和相角發(fā)生了變化，其變化取決于頻率ω。

若將輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號用復(fù)數(shù)表示，并求它們的復(fù)數(shù)比，可以得到式中，(3-4)

G(jω)完整地描述了網(wǎng)絡(luò)在正弦輸入電壓作用下，穩(wěn)態(tài)輸出時(shí)電壓幅值和相角隨正弦輸入電壓頻率ω變化的規(guī)律，稱為網(wǎng)絡(luò)的頻率特性。

將頻率特性表達(dá)式（3-4）和傳遞函數(shù)表達(dá)式（3-2）比

較可知，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的頻率特性和傳遞函數(shù)的表達(dá)式形式是相同的。只要用jω代替?zhèn)鬟f函數(shù)中的s，便可得到其頻率特性，即下面討論這個(gè)結(jié)論的一般性。對于輸入為r(t)，輸出為c(t)的線性定常系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)的一般形式為式中，p1，p2，…，pn為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。設(shè)輸入正弦信號r(t)=Arsinωt，其拉氏變換為系統(tǒng)輸出的拉氏變換為(3-5)式中，ai（i=1，2，…，n）和b1、b2均為待定系數(shù)。對式（3-5）進(jìn)行拉氏反變換，得到系統(tǒng)的輸出量為(3-6)對于穩(wěn)定系統(tǒng)，極點(diǎn)pi（i=1，2，…，n）都具有負(fù)實(shí)部。因此，當(dāng)t→∞時(shí)，c(t)的第一部分瞬態(tài)分量將衰減至零，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為(3-7)式中,(3-8)(3-9)式中,G(jω)是一個(gè)復(fù)數(shù)，將其用模|G(jω)|=A(ω)和相角∠G(jω)=φ(ω)來表示，即(3-10)其中，（3-11）同樣G(－jω)可表示為（3-12）將式（3-8）、（3-9）、（3-10）、（3-12）代入式(3-7），可得（3-13）式中,Ac=ArA(ω)為輸出信號穩(wěn)態(tài)分量的振幅。根據(jù)式（3-13），頻率特性可定義為：對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量為輸入同頻率的正弦信號，其振幅與輸入正弦信號的振幅之比A(ω)稱為幅頻特性；其相位與輸入正弦信號的相位之差

φ(ω)稱為相頻特性。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與輸入正弦信號的復(fù)

數(shù)比稱為系統(tǒng)的頻率特性，以下式表示（3-14）幅頻特性A(ω)描述系統(tǒng)對于不同頻率的輸入信號在穩(wěn)態(tài)情況下的衰減（或放大）特性；相頻特性φ(ω)描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出對于不同頻率的正弦輸入信號的相位滯后（或超前）

特性。

從上述定義可以看出，頻率特性與傳遞函數(shù)之間的關(guān)

系為(3-15)根據(jù)式（3-15），理論上可將頻率特性的概念推廣到不穩(wěn)定系統(tǒng)，但是不穩(wěn)定系統(tǒng)的瞬態(tài)分量不會消失，瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量始終同時(shí)存在，所以不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性是觀察不到的。頻率特性和微分方程、傳遞函數(shù)一樣也是描述系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型，它可以表征系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性，這就是頻率響應(yīng)分析法能夠從頻率特性出發(fā)研究系統(tǒng)的理論根據(jù)。

線性系統(tǒng)的三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系如圖3-26所示。圖3-26線性系統(tǒng)三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系3.2.3頻率特性的幾何表示

1.幅相頻率特性曲線

幅相頻率特性曲線，簡稱幅相曲線，以頻率ω為參變量，將頻率特性的幅頻特性和相頻特性同時(shí)表示在復(fù)數(shù)平面上。當(dāng)ω從0→∞變化時(shí)，向量G(jω)的端點(diǎn)在復(fù)數(shù)平面上

的運(yùn)動軌跡即為G(jω)的幅相頻率特性曲線。繪有幅相頻率特性曲線的圖稱為極坐標(biāo)圖。頻率特性除了式（3-14）所示的指數(shù)形式外，還可寫成復(fù)數(shù)形式，即(3-16)這里，U(ω)=Re［G(jω)］和V(ω)=lm［G(jω)］分別稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性和虛頻特性。幅頻特性、相頻特性和實(shí)頻特性、虛頻特性之間具有下列關(guān)系:(3-17)(3-18)(3-19)(3-20)繪制幅相頻率特性曲線有兩種方法：第一種是對每一個(gè)ω值計(jì)算幅值A(chǔ)(ω)和相角φ(ω)，然后將這些點(diǎn)連成光滑的曲線；第二種是對每一個(gè)ω值計(jì)算U(ω)和V(ω)，然后逐點(diǎn)連接描繪成光滑的曲線。

圖3-27為慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖，不難證明，慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖是一個(gè)半圓。圖中實(shí)軸的正方向?yàn)橄嘟橇愣染€，逆時(shí)針方向的角度為正角度，順時(shí)針方向的角度為負(fù)角度。在幅相頻率特性曲線上應(yīng)標(biāo)注出ω增大的方向。圖3-27慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性

2．對數(shù)頻率特性曲線

對數(shù)頻率特性曲線包括對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線，這兩條曲線連同它們的坐標(biāo)共同組成了對數(shù)坐標(biāo)圖，或稱伯德圖。

設(shè)系統(tǒng)的頻率特性為G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)，則可定義L(ω)=20lg|G(jω)|為對數(shù)幅頻特性；φ(ω)=∠G(jω)為對數(shù)相頻特性。對數(shù)頻率特性曲線的橫坐標(biāo)是頻率ω，采用對數(shù)分度，單位是rad/s。對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，采用均勻分度，單位是dB。對數(shù)相頻特性曲線的縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值，也采用均勻分度，單位是°。因此，繪制伯德圖時(shí)需要用半對數(shù)坐標(biāo)紙。圖3-28給出了伯德圖的橫坐標(biāo)ω和lgω的對應(yīng)關(guān)系。頻率ω每變化十倍，稱為一個(gè)十倍頻程；頻率ω每變化一倍，稱為一個(gè)倍頻程。由圖3-28可知，十倍頻程在ω軸的間隔距離為一個(gè)單位長度，一個(gè)倍頻程的間隔距離是0.301個(gè)單位長度。圖3-28ω軸的對數(shù)分度采用伯德圖的主要優(yōu)點(diǎn)在于，利用對數(shù)運(yùn)算可以將幅值的乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算，并且可以用簡便的方法繪制近似的對數(shù)幅頻特性曲線，從而使頻率特性的繪制過程大為簡化。因此，工程上常常使用伯德圖來分析系統(tǒng)的性能。

3.對數(shù)幅相特性曲線

對數(shù)幅相特性曲線又稱為尼柯爾斯曲線或尼柯爾斯圖，它是將對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性合起來繪制成的一條曲線，其橫坐標(biāo)為∠G(jω)，縱坐標(biāo)為20lg|G(jω)|，頻率ω

為參變量。在尼克爾斯曲線對應(yīng)的坐標(biāo)系中，可以根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)的關(guān)系，繪制關(guān)于閉環(huán)幅頻特性的等M簇線和閉環(huán)相頻特性的等α簇線，因而可以根據(jù)頻域指標(biāo)要求確定校正網(wǎng)絡(luò)，簡化系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程。3.2.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)及其應(yīng)用

奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)（簡稱奈氏判據(jù)）是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的又一重要方法，它是將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)與復(fù)變函數(shù)F(s)=1+G(s)H(s)位于s平面右半部的零、極點(diǎn)數(shù)目聯(lián)系起來的一種判據(jù)。奈氏判據(jù)是一種圖解法，它依據(jù)的是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。

1.奈氏判據(jù)的基本原理

圖3-29所示為一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，它的開環(huán)傳遞函數(shù)為WK=W(s)H(s)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為1+WK(s)=0。圖3-29某閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖由于系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均在s左半平面。為了找出開環(huán)頻率特性與閉環(huán)極點(diǎn)之間的關(guān)系，引入輔助函數(shù)F(s)，并令F(s)=1+WK(s)。設(shè)WK(s)=N(s)／D(s),則有通常情況下，一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)總有D(s)的階數(shù)高于N(s)的

階數(shù)，所以從上式可得：F(s)的極點(diǎn)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，這些極點(diǎn)數(shù)用P表示；F(s)的零點(diǎn)就是閉環(huán)函數(shù)的極點(diǎn)，其個(gè)數(shù)通常用Z表示。

通過上述的推導(dǎo)，可以得出結(jié)論：系統(tǒng)的穩(wěn)定條件已轉(zhuǎn)化為F(s)的在s右半平面零點(diǎn)個(gè)數(shù)Z為零。

2.映射定理

在s平面上如果閉合路徑包圍F(s)的P個(gè)極點(diǎn)、Z個(gè)零點(diǎn)，則在F(s)平面上對應(yīng)有一條閉合路徑繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)為N，且有

N=P－Z

式中，P為在s平面上順時(shí)針閉合路徑包圍F(s)的極點(diǎn)數(shù)；Z為在s平面上順時(shí)針包圍F(s)的零點(diǎn)數(shù)。

通過映射定理可以找出s平面和F(s)平面之間的關(guān)系。

3.奈氏路徑及其映射

為了判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即檢驗(yàn)F(s)是否有零點(diǎn)在s平面的右半平面上，在s平面上所取的閉合曲線應(yīng)包含s平面的整個(gè)右半平面。這樣，如果F(s)有零、極點(diǎn)在s平面的右半平面上，則它們必被此曲線所包圍，這一閉合曲線稱為奈氏路徑，如圖3-30所示。圖3-30奈氏路徑應(yīng)該指出的是，當(dāng)ω從0到∞變化時(shí)，WK(jω)就會在F(jω)平面上畫出相應(yīng)的軌跡，因?yàn)閃K(jω)中分母的階數(shù)高于分子的階數(shù)，因此有，所以當(dāng)jω沿半徑為∞的半圓運(yùn)動時(shí)，F(xiàn)(jω)保持常量。這樣1+WK(jω)的軌跡包圍F(jω)平面上原點(diǎn)的情況取決于奈氏路徑的±jω軸這一部分，且只要畫出ω從0到∞的奈氏路徑即

可，而ω=－∞~0與ω=0~∞的奈氏路徑是對稱的?！@里的映射是指F(jω)平面與WK(jω)平面之間的關(guān)系。因?yàn)镕(jω)=1+WK(jω)，所以F(jω)=0，WK(jω)=－1；F(jω)=1，WK(jω)=0。這樣，繞F(jω)平面原點(diǎn)的奈氏路徑正好繞WK(jω)平面的(－1，j0)點(diǎn)，即N在F(jω)平面上是繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的，而在WK(jω)平面上則是繞(－1，j0)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的。F(jω)平面和WK(jω)平面的關(guān)系如圖3-31所示，圖中所繪的曲線不包圍(－1，j0)點(diǎn)。圖3-31WK(jω)曲線

4.奈氏穩(wěn)定判據(jù)

奈氏穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)ω從－∞到∞變化時(shí)，在WK(jω)平面上奈氏路徑繞(－1，j0)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的周數(shù)為N，則有

Z=P－N

如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P=0，則其閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是WK(jω)曲線不包圍(－1，j0)點(diǎn)；如果開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知有P個(gè)開環(huán)極點(diǎn)在s右半平面，則其閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是WK(jω)曲線按逆時(shí)針方向圍繞(－1，j0)

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P周。例3-6設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判定其對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

【解】開環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程為（s+p）=（Ts－1）=0，－p=1/T。這是一個(gè)開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，開環(huán)特征方程式在s右半平面有個(gè)一根，即P=1。閉環(huán)函數(shù)為由于K>1，閉環(huán)特征方程的根在s左半平面，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的?，F(xiàn)在研究開環(huán)頻率特性的軌跡。由圖3-32可以看出，當(dāng)ω從－∞到∞變化時(shí)，WK(jω)曲線逆時(shí)針圍繞(－1，j0)點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈，即N=1。由奈氏穩(wěn)定判據(jù)，Z=P－N=0，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖3-32系統(tǒng)的WK(jω)曲線

5.應(yīng)用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性舉例

下面舉例說明應(yīng)用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的

方法。為使用奈氏穩(wěn)定判據(jù)，先要繪出系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性。這個(gè)特性可以用計(jì)算幾個(gè)關(guān)鍵頻率下的值近似繪出，或用計(jì)算機(jī)繪出。例3-7系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

【解】系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于s左半平面，P=0。

根據(jù)幾個(gè)關(guān)鍵的ω值，可近似繪出其開環(huán)幅相頻率特性，如圖3-33所示。由于WK(jω)不包圍(－1，j0)這一點(diǎn)，

即N=0，Z=P－N=0，所以不論K值多大，閉環(huán)系統(tǒng)均是穩(wěn)

定的。圖3-33系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性例3-8系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試判斷其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

【解】系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有極點(diǎn)位于s右半平面，

P=0。開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為

WK（jω）=P（ω）+jQ（ω）

式中，在K值較大時(shí)，開環(huán)幅相頻率特性繪于圖3-34。由圖看出，當(dāng)ω從－∞到∞時(shí)，WK(jω)順時(shí)針包圍(－1，j0)兩圈，N=－2。故得Z=P－N=2，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在s平面的右側(cè)有兩個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。圖3-34例3-8的穩(wěn)定性判定如果減小K值，則當(dāng)P(ω)=－1時(shí)，達(dá)到穩(wěn)定邊界，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例3-9系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為沒有極點(diǎn)位于s右半平面，P=0。試分析T1>T2、T1<T2和T1=T2三種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

【解】開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為

WK（jω）=P（ω）+jQ（ω）

其中，而相頻特性為

φ（ω）=－180°－arctanT1ω+arctanT2ω（1）T1>T2的情況。這時(shí)，由于arctanT1ω>arctanT2ω,

故當(dāng)ω由0+增加時(shí)，φ（ω）總小于－180°，處于第二象限;當(dāng)ω→+∞時(shí)，相角位移為－180°，幅相特性以－180°趨于坐標(biāo)原點(diǎn)，得到幅相頻率特性如圖3-35（a）所示。由圖可以看出，ω由－∞變到+∞時(shí)，特性順時(shí)針包圍(－1，j0)兩圈，N=－2。故得Z=P－N=2，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在s平面右側(cè)有兩個(gè)極點(diǎn)，是不穩(wěn)定的。（2）

T1<T2的情況。這時(shí),由于arctanT1ω<arctanT2ω,

故當(dāng)ω由0+增加時(shí)，φ（ω）總大于－180°，處于第三象限，如圖3-35（b）所示。由圖可以看出，特性不包圍(－1,j0)，N=0。故得Z=P－N=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

（3）T1=T2的情況。這時(shí)，φ（ω）=180°，故當(dāng)ω由0+增加到+∞時(shí)，WK(jω)沿負(fù)實(shí)軸變化，如圖3-35（c）所示。特性正好通過(－1，j0)這一點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。圖3-35例3-9的幅相特性（a）T1>T2;(b)T1<T2;(c)T1=T2例3-10系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)判斷其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

【解】系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面有一個(gè)極點(diǎn)，P=1。

其開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為

WK（jω）=P（ω）+jQ（ω）

式中，而相頻特性為對于某一特定的K，其幅相特性繪于圖3-36。由圖3-36可看出，當(dāng)KT2>1時(shí)，軌跡逆時(shí)針包圍(－1，j0)一圈,N=1，這時(shí)Z=P－N=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)KT2<1時(shí)，軌跡順時(shí)針包圍(－1，j0)一圈，N=－1，這時(shí)Z=P－N=2，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。圖3-36例3-10的幅相特性3.3PID控制方法

3.3.1PID控制的基本概念

在工程實(shí)際中，應(yīng)用最為廣泛的調(diào)節(jié)器控制規(guī)律為比例、積分、微分控制，簡稱PID控制，又稱PID調(diào)節(jié)。PID控制器問世至今已有近70年的歷史，它以結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便而成為工業(yè)控制的主要技術(shù)之一。當(dāng)被控對象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型，而控制理論的其他技術(shù)難以采用，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)場調(diào)試來確定時(shí)，應(yīng)用PID控制技術(shù)最為方便。即當(dāng)我們不完全了解一個(gè)系統(tǒng)和被控對象，或不能通過有效的測量手段來獲得系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，最適合用PID控制技術(shù)。除PID控制外，實(shí)際中也有PI和PD控制。PID控制器就是根據(jù)系統(tǒng)的誤差，利用比例、積分、微分計(jì)算出控制量來控制系統(tǒng)的設(shè)備。

PID控制器由比例單元（P）、積分單元（I）和微分單

元（D）組成，其輸入e(t)與輸出u(t)的關(guān)系為u(t)=f［e(t)］。例控制是一種最簡單的控制方式，其控制器的輸出與輸入誤差信號成比例關(guān)系。當(dāng)僅有比例控制時(shí)，系統(tǒng)的輸出存在穩(wěn)態(tài)誤差（SteadyStateError）。在積分控制中，控制器的輸出與輸入誤差信號的積分成正比關(guān)系。對一個(gè)自動控制系統(tǒng)，如果在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后存在穩(wěn)態(tài)誤差，則稱這個(gè)控制系統(tǒng)是有穩(wěn)態(tài)誤差的或簡稱有差系統(tǒng)（SystemwithSteadyStateError）。為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，在控制器中必須引入“積分項(xiàng)”。積分項(xiàng)使誤差取決于時(shí)間的積分，隨著時(shí)間的增加積分項(xiàng)會不斷增大。在微分控制中，控制器的輸出與輸入誤差信號的微分（即誤差的變化率）成正比關(guān)系。自動控制系統(tǒng)在克服誤差的調(diào)節(jié)過程中可能會出現(xiàn)振蕩甚至失穩(wěn)現(xiàn)象，其原因是由于系統(tǒng)中存在有較大慣性組件（環(huán)節(jié)）或有滯后（Delay）組件，具有抑制誤差的作用，其變化總是落后于誤差的變化。

解決上述問題的辦法是使抑制誤差的作用的變化“超前”，即在誤差接近零時(shí)，抑制誤差的作用就為零。這就是說，在控制器中僅引入“比例”項(xiàng)往往是不夠的，比例項(xiàng)的作用僅是放大誤差的幅值，而目前需要增加的是“微分項(xiàng)”，它能預(yù)測誤差變化的趨勢，這樣，具有比例+微分

（PD）的控制器，就能夠提前使抑制誤差的控制作用等于零，甚至為負(fù)值，從而避免了被控量的嚴(yán)重超調(diào)。所以對有較大慣性或滯后環(huán)節(jié)的被控對象，比例+微分控制器能夠改善系統(tǒng)在調(diào)節(jié)過程中的動態(tài)特性。3.3.2比例控制

1.比例控制原理

當(dāng)控制器的輸出變化量Δu與輸入偏差e成比例時(shí)，就構(gòu)成了比例控制規(guī)律（P），其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

Δu=KPe（3-21）

式中，Δu為控制器的輸出變化量；e為控制器的輸入，即偏差；KP為控制器的比例增益或比例系數(shù)。由式（3-21）可以看出，比例控制器的輸出變化量與輸入偏差成正比，在時(shí)間上是沒有延滯的?；蛘哒f，比例控制器的輸出是與輸入一一對應(yīng)的，如圖3-37所示。當(dāng)輸入為階躍信號時(shí)，比例控制器的輸入/輸出特性如圖3-38所示。比例放大系數(shù)KP是可調(diào)的，所以比例控制器實(shí)際上是一個(gè)放大系數(shù)可調(diào)的放大器。KP愈大，在同樣的偏差輸入時(shí)，控制器的輸出愈大，因此比例控制作用愈強(qiáng)；反之，KP值愈小，表示比例控制作用愈弱。圖3-37比例控制規(guī)律圖3-38比例控制器的階躍響應(yīng)

2.比例度

比例系數(shù)KP值的大小可以反映比例作用的強(qiáng)弱。但對于使用在不同情況下的比例控制器，由于控制器的輸入與輸出是不同的物理量，因而KP的量綱是不同的。這樣，就不能直接根據(jù)KP數(shù)值的大小來判斷控制器比例作用的強(qiáng)弱。工業(yè)生產(chǎn)上所用的控制器，一般都用比例度（或稱比例范圍）δ來表示比例作用的強(qiáng)弱。比例度是控制器輸入的相對變化量與相應(yīng)的輸出相對變化量之比的百分?jǐn)?shù)，用數(shù)學(xué)式可表示為（3-22）式中，zmax~zmin為控制器輸入的變化范圍，即測量儀表的量程；umax~umin為控制器輸出的變化范圍。由式（3-22）看出，控制器的比例度可理解為：要使

輸出信號發(fā)生全范圍的變化，輸入信號必須改變?nèi)砍痰陌俜謹(jǐn)?shù)?？刂破鞯谋壤圈牡拇笮∨c輸入、輸出關(guān)系示于圖

3-39，從圖中可以看出，比例度愈小，使輸出變化全范圍時(shí)所需的輸入變化區(qū)間也就愈小，反之亦然。圖3-39比例度與輸入輸出的關(guān)系比例度δ與比例放大系數(shù)KP的關(guān)系為(3-24)由于K為常數(shù)，因此控制器的比例度δ與比例放大系

數(shù)KP成反比關(guān)系。比例度δ越小，則放大系數(shù)KP越大，比例控制作用越強(qiáng)；反之，當(dāng)比例度δ越大時(shí)，表示比例控制作用越弱。

在單元組合儀表中，控制器的輸入信號是由變送器產(chǎn)生的，而控制器和變送器的輸出信號都是統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)信號，因此常數(shù)K=1。所以在單元組合儀表中，

δ與KP互為倒數(shù)關(guān)系，即(3-24)3.3.3積分控制

當(dāng)控制器的輸出變化量Δu與輸入偏差e的積分成比例時(shí)，就是積分控制規(guī)律（I），其數(shù)學(xué)表達(dá)式為（3-25）式中，KI為積分比例系數(shù)。積分控制作用的特性可以用階躍輸入下的輸出來說明。當(dāng)控制器的輸入偏差是一幅值為A的階躍信號時(shí)，式（3-25）就可寫為

（3-26）由式（3-26）可以畫出在階躍輸入作用下控制器的輸出變化曲線（見圖3-40）。圖3-40積分控制器的特性從圖3-40可以看出積分控制器輸出的變化速度與偏差成正比。這就說明了積分控制規(guī)律的特點(diǎn)是：只要偏差存在，控制器的輸出就會變化，執(zhí)行器就要動作，系統(tǒng)就不可能穩(wěn)定。只有當(dāng)偏差消除（即e=0）時(shí)，輸出信號才不會再變化，執(zhí)行器才會停止動作，系統(tǒng)才可能穩(wěn)定下來。積分控制作用達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，偏差等于零，這是它的一個(gè)顯著特點(diǎn)，也是它的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)。因此積分控制器構(gòu)成的積分控制系統(tǒng)是一個(gè)無差系統(tǒng)。式(3-25)也可以改寫為（3-27）式中，TI為積分時(shí)間常數(shù)。對上式求拉氏變換，可得積分控制器的傳遞函數(shù)GC(s)為（3-28）3.3.4比例積分控制

比例積分控制規(guī)律（PI）是比例與積分兩種控制規(guī)律的結(jié)合，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為（3-29）當(dāng)偏差是幅值為A的階躍函數(shù)時(shí)，比例積分控制器的輸出是比例和積分輸出兩部分之和，其特性如圖3-41所示。由圖3-41可以看出，Δu開始是一個(gè)階躍信號，其值為KPA（比例作用），然后隨時(shí)間的增加逐漸上升（積分作用）。比例作用是及時(shí)的、快速的，而積分作用是緩慢的、漸變的。

圖3-41比例積分控制器的特性由于比例積分控制規(guī)律是在比例控制的基礎(chǔ)上加上積分控制，所以既具有比例控制作用及時(shí)、快速的特點(diǎn)，又具有積分控制能消除穩(wěn)態(tài)誤差的性能，因此是生產(chǎn)上常用的控制規(guī)律。對式（3-29）取拉氏變換，可得比例積分控制器的傳遞函數(shù)為（3-30）3.3.5微分控制

具有微分控制規(guī)律（D）的控制器，其輸出變化量Δu與偏差e的關(guān)系可用下式表示（3-31）式中，TD為微分時(shí)間常數(shù)。由式（3-31）可以看出，微分控制作用的輸出大小與偏差變化的速度成正比。對于一個(gè)固定不變的偏差，不管這個(gè)偏差有多大，微分作用的輸出總是零，這是微分作用的特點(diǎn)。如果控制器的輸入是階躍信號，按式（3-31），微分控制器的輸出如圖3-42(b）所示，在輸入變化的瞬間，輸出趨于∞，在此以后，由于輸入不再變化，輸出立即降到零，這種控制作用稱為理想微分控制作用。

由于調(diào)節(jié)器的輸出與調(diào)節(jié)器的輸入信號的變化速度有關(guān)系，變化速度越快，調(diào)節(jié)器的輸出就越大；如果輸入信號恒定不變，則微分調(diào)節(jié)器就沒有輸出，因此微分調(diào)節(jié)器不能用來消除穩(wěn)態(tài)誤差。而且當(dāng)偏差的變化速度很慢時(shí)，輸入信號即使經(jīng)過時(shí)間的積累達(dá)到很大的值，微分調(diào)節(jié)器的作用也不明顯。所以這種理想微分控制作用一般不能單獨(dú)使用，也很難實(shí)現(xiàn)。

圖3-42(c)是實(shí)際的近似微分控制作用，在階躍輸入發(fā)生的時(shí)刻，輸出Δu突然上升到一個(gè)較大的有限數(shù)值（一般為輸入幅值的五倍或更大），然后呈指數(shù)曲線衰減至某個(gè)數(shù)值（一般等于輸入幅值）并保持不變。圖3-42微分控制器的特性(a)階躍信號；(b)理想微分控制作用；(c)近似微分控制作用對式（3-31）進(jìn)行拉氏變換，可得理想微分控制器規(guī)律的傳遞函數(shù)為（3-32）3.3.6比例積分微分控制

比例積分微分控制規(guī)律（PID）的輸入輸出關(guān)系可用下列公式表示（3-33）由上式可見，PID控制作用的輸出分別是比例、積分和微分三種控制作用輸出的疊加。當(dāng)輸入偏差e為一幅值為A的階躍信號時(shí)，實(shí)際PID控制器的輸出特性如圖3-43所示。實(shí)際PID控制器在階躍信號輸入的作用下，開始時(shí)，微分作用的輸出變化最大，使總的輸出大幅度的變化，產(chǎn)生強(qiáng)烈的“超前”控制作用，這種控制作用可看成為“預(yù)調(diào)”。然后微分作用逐漸消失，積分作用的輸出逐漸占主導(dǎo)地位，只要偏差存在，積分輸出就不斷增加，這種控制作用可看成為“細(xì)調(diào)”，一直到偏差完全消失，積分作用才有可能停止。而在PID控制器的輸出中，比例作用的輸出是自始至終與偏差相對應(yīng)的，它一直是一種最基本的控制作用。在實(shí)際PID控制器中，微分環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)都具有飽和特性。

PID控制器可以調(diào)整的參數(shù)是KP、TI、

TD。適當(dāng)選取這三個(gè)參數(shù)的數(shù)值，可以獲得較好的控制質(zhì)量。

對式（3-33）進(jìn)行拉氏變換，可得PID控制規(guī)律的傳遞函數(shù)為（3-34）圖3-43PID控制器的輸出特性3.4智能控制方法

3.4.1智能控制的基本概念

控制理論學(xué)科經(jīng)歷了從經(jīng)典控制理論到現(xiàn)代控制理論，再到目前的智能控制理論的發(fā)展過程，其主要研究對象也從單輸入單輸出的常系數(shù)線性系統(tǒng)發(fā)展為多輸入多輸出的復(fù)雜控制系統(tǒng)。對現(xiàn)代復(fù)雜系統(tǒng)的研究，涉及非線性、魯棒性、具有柔性結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)和離散事件動態(tài)系統(tǒng)等。人們在長期的生產(chǎn)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，對于許多復(fù)雜的生產(chǎn)過程，難以用自動控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，但在熟練的操作工、技術(shù)人員或?qū)＜业牟僮飨聟s控制自如，可以獲得滿意的控制效果。這就使研究人員受到啟發(fā)，若能把這些熟練的操作工、技術(shù)人員或?qū)＜业慕?jīng)驗(yàn)知識與控制理論相結(jié)合，把它作為控制理論解決復(fù)雜生產(chǎn)過程的一個(gè)補(bǔ)充手段，那將會使控制理論解決復(fù)雜生產(chǎn)過程的難題有一個(gè)突破性的進(jìn)展?，F(xiàn)代的計(jì)算機(jī)控制技術(shù)的發(fā)展也為這種設(shè)想提供了有效的工具。計(jì)算機(jī)在處理邏輯運(yùn)算、模糊信息、模式識別、知識與經(jīng)驗(yàn)的積累等方面，完全可以取代人的操作。當(dāng)把這種計(jì)算機(jī)控制技術(shù)應(yīng)用到上述復(fù)雜的生產(chǎn)過程中，使之達(dá)到或超過人的操作水平時(shí)，這種由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的控制系統(tǒng)就具有了某些人的智能，因此，把這樣的自動控制系統(tǒng)稱為智能控制系統(tǒng)。智能控制系統(tǒng)主要有兩層含義：

(1)智能控制系統(tǒng)是智能機(jī)自動地完成其目標(biāo)的控制系統(tǒng);

(2)由智能機(jī)參與生產(chǎn)過程自動控制的系統(tǒng)稱為智能控制系統(tǒng)。

智能控制的概念和原理主要是針對被控對象、環(huán)境、控制目標(biāo)或任務(wù)的復(fù)雜性而提出來的，而計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工智能、信息科學(xué)、思維科學(xué)