第8講復(fù)數(shù)及其四則遠(yuǎn)算（知識(shí)點(diǎn)串講）原卷版

第8講復(fù)數(shù)及其四則遠(yuǎn)算(（滬教版2020必修二）【知識(shí)講練】知識(shí)點(diǎn)一、理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（1）虛數(shù)單位:它的平方等于1，即.（2）復(fù)數(shù)的定義與表示：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，記作；叫復(fù)數(shù)的虛部，記作；全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.（3）復(fù)數(shù)的分類以及復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí)，叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)0.（4）兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.這就是說，如果、、、，那么【注意】【注意】一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小，只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小.（5）復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：.（6）共軛復(fù)數(shù)：實(shí)部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)，叫做共軛復(fù)數(shù)，也稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互相共軛.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，也就是當(dāng)時(shí)，.虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).【注意】【注意】共軛復(fù)數(shù)的幾何與代數(shù)特征:（1）幾何特征：非零復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（或?qū)?yīng)向量，）關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.（2）代數(shù)特征：①為純虛數(shù)或零；②.（7）復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離叫做復(fù)數(shù)的模，記作.由模的定義，可知.例1.【2020河南南陽一中期末】己知，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B．1 C．3 D．【變式訓(xùn)練11】【2020·上海奉賢一中期中】已知z＝（a﹣i）（1+i）（a∈R，i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則a＝_____.【變式訓(xùn)練12】【2020·安徽亳州期末】已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）A．1 B． C． D．2【變式訓(xùn)練13】【2020·山西晉城一中期末】復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C．1 D．1【變式訓(xùn)練14】【2020·內(nèi)蒙古包頭期末】設(shè)復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）．A． B．的虛部是C．在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 D．【變式訓(xùn)練15】【2020·湖南郴州期末】若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)等于（）A． B． C．1 D．3例2.（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）關(guān)于的方程有純虛數(shù)根，則為（）．A．0 B．1 C．2 D．0或2【變式訓(xùn)練16】（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）已知為復(fù)數(shù)，滿足，求的值．例3.【2020山西五臺(tái)一中期中】（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練17】【2020·江蘇專題練習(xí)】已知復(fù)數(shù)若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_______．【變式訓(xùn)練18】（2018·上海市七寶中學(xué)高三期末）已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是虛數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值是______知識(shí)點(diǎn)二、理解復(fù)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算及性質(zhì)（1）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算：設(shè)，則①加減：；②乘法：；③除法：.（2）共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若z為純虛數(shù)；⑧.例1．（2021·江蘇蘇州市·高一期中）(1)已知復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求的值；(2)已知復(fù)數(shù)，，，求．【變式訓(xùn)練21】（2021·上海高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)．【變式訓(xùn)練22】（2021·上海高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，試判斷復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡圖形，并求使最大時(shí)的復(fù)數(shù)．【變式訓(xùn)練23】（2021·上海高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，．（1）求證：是純虛數(shù)；（2）求的取值范圍．【變式訓(xùn)練24】（2021·上海高一課時(shí)練習(xí)