61分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第3課時(shí)）（教學(xué)課件）高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第3課時(shí)）第6章計(jì)數(shù)原理人教A版2019必修第三冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．進(jìn)一步理解和掌握分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理；2．能應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題時(shí)，要明確是需要分類還是需要分步，有時(shí)，可能既要分類又要分步

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種類不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整例7計(jì)算機(jī)編程人員在編寫(xiě)好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試.程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開(kāi)始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù).一般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成，如圖，這是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。(1)這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？(2)為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方式，以減少測(cè)試次數(shù)嗎？開(kāi)始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A例題講解開(kāi)始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A分析：整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開(kāi)始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個(gè)來(lái)完成；第2步可由子模塊4、子模塊5中任何一個(gè)來(lái)完成.因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.例題講解開(kāi)始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A解：(1)由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28=91條；子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81條；由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91x81=7371條例題講解(2)在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過(guò)只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來(lái)測(cè)試整個(gè)模塊.這樣，他可以先分別單獨(dú)測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常.總共需要的測(cè)試次數(shù)為18+45+28+38+43=172.再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，需要測(cè)試的次數(shù)為：3x2=6.如果每個(gè)子模塊都正常工作，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就工作正常.這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178（次）例題講解例8通常，我國(guó)民用汽車號(hào)牌的編碼由兩部分組成：第一部分為由漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代碼，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào).其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為：（1）由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除O、I之外的24個(gè)英文字母組成；（2）最多只能有2個(gè)英文字母.如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少?gòu)埰囂?hào)牌？例題講解解：由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)就是序號(hào)的個(gè)數(shù).根據(jù)序號(hào)編碼規(guī)則，5位序號(hào)可以分為三類：沒(méi)有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母.（1）當(dāng)沒(méi)有字母時(shí)，序號(hào)的每一位都是數(shù)字.確定一個(gè)序號(hào)可以分5個(gè)步驟，每一步都可以從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)為：10x10x10x10x10=10000.例題講解（2）當(dāng)有1個(gè)字母時(shí)，這個(gè)字母可以分別在序號(hào)的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號(hào)可以分為五個(gè)子類.

當(dāng)?shù)?位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1步，從24個(gè)字母中選1個(gè)放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為24x10x10x10x10=240000.同樣，其余四個(gè)子類號(hào)牌也各有240000張.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)一共為240000+240000+240000+240000+240000=1200000.例題講解（3）當(dāng)有2個(gè)字母時(shí)，根據(jù)這2個(gè)字母在序號(hào)中的位置，可以將這類序號(hào)分為十個(gè)子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位；第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位；第3位和第4位，第3位和第5位；第4位和第5位。當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1~2步都是從24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為24x24x10x10x10=576000.同樣，其余九個(gè)子類號(hào)牌也各有576000張.則這類號(hào)牌張數(shù)一共為576000x10=5760000張.例題講解綜合（1）（2）（3），根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌張數(shù)為100000+1200000+5760000=7060000歸納：用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，最重要的是在開(kāi)始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn):(1)要完成的“一件事”是什么;

(2)需要分類還是需要分步.

分類要做到“不重不漏”.分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù).分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù).分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).課堂練習(xí)解：展開(kāi)后共有3×3×5＝45項(xiàng).1.乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展開(kāi)后共有多少項(xiàng)?解：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45(個(gè)).2.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個(gè)?3.某商場(chǎng)有6個(gè)門(mén)，如果某人從其中的任意一個(gè)門(mén)進(jìn)人商場(chǎng)，并且要求從其他的門(mén)出去，那么共有多少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式?解：進(jìn)出商場(chǎng)的不同方式有6×5＝30(種).4.任意畫(huà)一條直線，在直線上任取n個(gè)分點(diǎn).(1)從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段，可得到多少條線段?(2)從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)向量，可得到多少個(gè)向量?解：隨堂檢測(cè)1．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，則不同的二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為(

) A．125 B．15 C．100 D．10

解析若y＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，則a≠0，要完成該事件，需分步進(jìn)行：

第一步，對(duì)于系數(shù)a有4種不同的選法；

第二步，對(duì)于系數(shù)b有5種不同的選法；

第三步，對(duì)于系數(shù)c有5種不同的選法．

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有4×5×5＝100(個(gè))．

答案C2．6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(

) A．144 B．120 C．72 D．24

解析剩余的3個(gè)座位共有4個(gè)空隙供3人(不妨記為甲、乙、丙)選擇就座，因此，可分三步：甲從4個(gè)空隙中任選一個(gè)空隙，有4種不同的選擇；乙從余下的3個(gè)空隙中任選一個(gè)空隙，有3種不同的選擇；丙從余下的2個(gè)空隙中任選一個(gè)空隙，有2種不同的選擇．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為4×3×2＝24.故選D.

答案D3．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展開(kāi)式中有__________項(xiàng)．解析要得到項(xiàng)數(shù)分三步：第一步，從第一個(gè)因式中取一個(gè)因子，有2種取法；第二步，從第二個(gè)因式中取一個(gè)因子，有3種取法；第三步，從第三個(gè)因式中取一個(gè)因子，有4種取法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有2×3×4＝24(項(xiàng))．答案244．將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有__________種．

解析分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)放入a，再安排第二塊田，有2種方法b或c，不妨設(shè)放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法．(2)若第三塊田放a：aba第四塊有b或c2種方法：①若第四塊放c：abac第五塊有2種方法；②若第四塊放b：abab第五塊只能種作物c，共1種方法．綜上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法．答案42課堂小結(jié)：1.分類加法計(jì)數(shù)原理：一般地，如果完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有m＋n種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：一般地，完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有m×n種不同的方法.特別地，如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有