2024-2025學年高中數(shù)學第二章推理與證明2.1.1合情推理學案含解析新人教A版選修2-2

PAGE2．1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理內容標準學科素養(yǎng)1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進行簡潔的推理；2.了解合情推理在數(shù)學發(fā)覺中的作用.加強直觀想象提升數(shù)學運算嚴密邏輯推理授課提示：對應學生用書第34頁[基礎相識]學問點一歸納推理eq\a\vs4\al(預習教材P70－72，思索并完成以下問題)(1)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導電，猜想：一切金屬都能導電．(2)統(tǒng)計學中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體．以上屬于什么推理？提示：屬于歸納推理．學問梳理歸納推理(1)定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)．(2)特征：由部分到整體，由個別到一般的推理．學問點二類比推理eq\a\vs4\al(預習教材P72－74，思索并完成以下問題)科學家對火星進行探討，發(fā)覺火星與地球有很多類似的特征：(1)火星也是繞太陽公轉、繞軸自轉的行星；(2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)更替；(3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科學家猜想：火星上也可能有生命存在．他們運用了什么樣的推理？提示：類比推理．學問梳理類比推理(1)定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理．(2)特征：由特殊到特殊的推理．學問點三合情推理eq\a\vs4\al(預習教材P74－77，思索并完成以下問題)歸納推理和類比推理有何區(qū)分與聯(lián)系？提示：區(qū)分：歸納推理是由特殊到一般的推理；而類比推理是由個別到個別的推理或是由特殊到特殊的推理．聯(lián)系：在前提為真時，歸納推理與類比推理的結論都可真可假．學問梳理合情推理(1)定義：歸納推理和類比推理都是依據(jù)已有的事實，經過視察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理，通俗地說，合情推理就是合乎情理的推理．(2)推理的過程eq\x(從詳細問題動身)→eq\x(視察、分析、比較、聯(lián)想)→eq\x(歸納、類比)→eq\x(提出猜想)思索：1.歸納推理有哪些特點？提示：(1)歸納推理是由幾個已知的特殊對象，歸納出一般性的結論，該結論超越了前提所包含的范圍．如聞名的哥德巴赫猜想、費馬猜想等．(2)由歸納推理得到的結論帶有揣測的性質，所以“前提真而結論假”的狀況是有可能發(fā)生的，結論是否正確，須要經過邏輯證明和實踐檢驗，因此，歸納推理不能作為數(shù)學證明的工具．(3)一般地，假如歸納的個別對象越多，越具有代表性，那么得到的一般性結論也就越牢靠．(4)歸納推理能夠發(fā)覺新事實，獲得新結論，是科學發(fā)覺的重要手段．通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步探討的起點，幫助人們發(fā)覺問題和提出問題．2．類比推理有哪些特點？提示：(1)類比推理是從人們已經駕馭了的事物的屬性，推想正在探討的事物的屬性，即以原有相識作基礎，類比出新的結果．(2)由類比推理得到的結論也具有揣測的性質，結論是否正確，還需經過邏輯證明和實踐檢驗，因此，類比推理同歸納推理一樣也不能作為數(shù)學證明的工具．(3)假如類比的兩類對象的相像性越多，相像的性質與推想的性質之間越相關，那么類比得出的結論就越牢靠．3．合情推理有哪些特點？提示：(1)合情推理的依據(jù)是已有的事實和正確的結論(包括定義、定理、公理等)、試驗和實踐的結果，以及個人的閱歷等．(2)合情推理的結論往往超越了前提所界定的范圍，僅僅是一種猜想，既可能為真，也可能為假．(3)在數(shù)學探討中，得到一個新結論之前，合情推理經常能幫助我們揣測和發(fā)覺結論；合情推理不能作為數(shù)學證明的工具，但經常能為我們供應證明的思路和方向．[自我檢測]1．如圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子的顏色為()A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大解析：三個白色、兩個黑色，依次類推，出現(xiàn)以5為周期的重復現(xiàn)象，所以第36顆珠子相當于新一輪的第一顆，故為白色．答案：A2．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B．eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．不行類比解析：類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，則扇形的面積公式為S＝eq\f(弧長×半徑,2)＝eq\f(lr,2).答案：C3．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間上，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．解析：面積涉及兩個變量，故面積比為邊長比的平方；體積涉及到三個變量，故體積比是邊長比的立方．答案：1∶8授課提示：對應學生用書第35頁探究一歸納推理[例1](1)視察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此規(guī)律，第n個等式可為________．(2)已知f(x)＝eq\f(x,1－x)，設f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N*)，則f3(x)的表達式為________，猜想fn(x)(n∈N*)的表達式為________．[解析](1)本題主要考查數(shù)字的推理，由(1＋1)，(2＋1)(2＋2)；(3＋1)(3＋2)(3＋3)，可以推理出第n個等式的等號左邊式子為(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)，由2×1,22×1×3,23×1×3×5，可以推理出第n個式子的等號右邊式子為2n×1×3×5×…×(2n－1)．(2)f1(x)＝eq\f(x,1－x)，f2(x)＝f1[f1(x)]＝eq\f(f1x,1－f1x)＝eq\f(\f(x,1－x),1－\f(x,1－x))＝eq\f(x,1－2x)；f3(x)＝f2[f2(x)]＝eq\f(f2x,1－2f2x)＝eq\f(\f(x,1－2x),1－2·\f(x,1－2x))＝eq\f(x,1－22x)；…猜想fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x).[答案](1)(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(2)eq\f(x,1－4x)fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x)延長探究在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改為“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他條件不變，試猜想fn(x)(x∈N*)的表達式．[解析]∵f(x)＝eq\f(x,1－x)，∴f1(x)＝eq\f(x,1－x).又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，∴f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(\f(x,1－x),1－\f(x,1－x))＝eq\f(x,1－2x)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(\f(x,1－2x),1－\f(x,1－2x))＝eq\f(x,1－3x)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(\f(x,1－3x),1－\f(x,1－3x))＝eq\f(x,1－4x).因此，可以猜想fn(x)＝eq\f(x,1－nx).方法技巧(1)已知等式或不等式進行歸納推理的方法①要特殊留意所給幾個等式(或不等式)中項數(shù)和次數(shù)等方面的改變規(guī)律；②要特殊留意所給幾個等式(或不等式)中結構形成的特征；③提煉出等式(或不等式)的綜合特點；④運用歸納推理得出一般結論．(2)數(shù)列中的歸納推理：在數(shù)列問題中，經常用到歸納推理揣測數(shù)列的通項公式或前n項和．①通過已知條件求出數(shù)列的前幾項或前n項和；②依據(jù)數(shù)列中的前幾項或前n項和與對應序號之間的關系求解；③運用歸納推理寫出數(shù)列的通項公式或前n項和公式．跟蹤探究1.已知正項數(shù)列{an}滿意Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an)))，求出a1，a2，a3，a4，并推想正項數(shù)列{an}的通項公式．解析：令n＝1，有S1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(1,a1)))，即a1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(1,a1)))，化簡可得aeq\o\al(2,1)－1＝0，因為a1＞0，所以a1＝1；令n＝2，有S2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))，即a1＋a2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))，化簡可得aeq\o\al(2,2)＋2a2－1＝0，因為a2＞0，所以a2＝eq\r(2)－1；令n＝3，有S3＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3＋\f(1,a3)))，即a1＋a2＋a3＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3＋\f(1,a3)))，化簡可得aeq\o\al(2,3)＋2eq\r(2)a3－1＝0，因為a3＞0，所以a3＝eq\r(3)－eq\r(2)；令n＝4，有S4＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋\f(1,a4)))，即a1＋a2＋a3＋a4＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋\f(1,a4)))，化簡可得aeq\o\al(2,4)＋2eq\r(3)a4－1＝0，因為a4＞0，所以a4＝2－eq\r(3).因為a1＝1＝eq\r(1)－eq\r(0)，a2＝eq\r(2)－1＝eq\r(2)－eq\r(1)，a3＝eq\r(3)－eq\r(2)，a4＝2－eq\r(3)＝eq\r(4)－eq\r(3)，歸納揣測正項數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\r(n)－eq\r(n－1).[例2]用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：依據(jù)上面的規(guī)律，第n(n∈N*)個“金魚”圖須要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[解析]視察易知第1個“金魚”圖須要火柴棒8根，而第2個“金魚”圖比第1個“金魚”圖多的部分須要火柴棒6根，第3個“金魚”圖比第2個“金魚”圖多的部分須要火柴棒6根……由此可揣測第n個“金魚”圖須要火柴棒的根數(shù)比第(n－1)個“金魚”圖須要火柴棒的根數(shù)多6，即各個“金魚”圖須要火柴棒的根數(shù)組成以8為首項，6為公差的等差數(shù)列{an}，易求得通項公式為an＝6n＋2(n∈N*)．[答案]C方法技巧歸納推理在圖形中的應用策略通過一組平面圖形或空間圖形的改變規(guī)律，探討其一般性結論，通常需將圖形問題數(shù)字化，呈現(xiàn)數(shù)學之間的規(guī)律、特征，然后進行歸納推理．解答該類問題的一般策略是：跟蹤探究2.圖(1)是棱長為1的小正方體，圖(2)，(3)是由這樣的小正方體擺放而成的．依據(jù)這樣的方法接著擺放，自上而下分別叫第1層、第2層、第3層……將第n層的小正方體的個數(shù)記為Sn.解答下列問題：(1)依據(jù)要求填表：n1234…Sn136…(2)S10＝________；(3)Sn＝________(n∈N*)．解析：第1層：1個；第2層：3個，即(1＋2)個；第3層：6個，即(1＋2＋3)個；第4層：10個，即(1＋2＋3＋4)個……由此猜想，第n層的小正方體的個數(shù)為上一層的小正方體的個數(shù)加上n，所以Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)(n∈N*)，S10＝55.答案：(1)10(2)55(3)eq\f(nn＋1,2)探究二類比推理[例3]設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結論：設等比數(shù)列{bn}的前n項積Tn，則T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．[解析]設等比數(shù)列{bn}的公比為q(q≠0)．在等比數(shù)列{bn}中，通過類比，有T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．證明如下：易知T4＝b1b2b3b4，T8＝b1b2…b8，T12＝b1b2…b12，T16＝b1b2…b16，所以eq\f(T8,T4)＝b5b6b7b8，eq\f(T12,T8)＝b9b10b11b12，eq\f(T16,T12)＝b13b14b15b16，所以eq\f(\f(T8,T4),T4)＝eq\f(\f(T12,T8),\f(T8,T4))＝eq\f(\f(T16,T12),\f(T12,T8))＝q16，因此T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．[答案]eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)方法技巧(1)類比推理的一般步驟(2)中學階段常見的類比學問點：等差數(shù)列與等比數(shù)列，向量與實數(shù)，空間與平面，圓與球等等，比如平面幾何的相關結論類比到立體幾何的相關類比點如下平面圖形空間圖形點直線直線平面邊長面積面積體積三角形四面體線線角面面角跟蹤探究3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.設a，b，c分別表示三條邊的長度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.類比平面內直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想．解析：如題圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.設a，b，c分別表示3條邊的長度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.類似地，如圖所示，在四面體P-DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.設S1，S2，S3和S分別表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面積，相對于直角三角形的兩條直角邊a，b和1條斜邊c，圖中的四面體有3個“直角面”S1，S2，S3和1個“斜面”S.于是類比勾股定理的結構，我們猜想S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(