專題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)1定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用初步（學(xué)生版）

專題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)1定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用初步專題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)1定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用初步【微點(diǎn)綜述】在處理解析幾何“中點(diǎn)弦”問題時(shí)，我們常用的方法是“點(diǎn)差法”，該法模式化強(qiáng)，計(jì)算量小，學(xué)生易于掌握，其實(shí)在面臨“非中點(diǎn)弦”問題時(shí)，我們依然可以使用“點(diǎn)差法”，只是在處理非中點(diǎn)問題時(shí)，需要根據(jù)線段所分得的比值做代數(shù)處理，一般把這種方法叫做“定比點(diǎn)差法”．相比于傳統(tǒng)的點(diǎn)差法，定比點(diǎn)差在處理三點(diǎn)共線、相交弦、定點(diǎn)定值、比例問題、調(diào)和點(diǎn)列等問題均具有優(yōu)勢．本文在定比分點(diǎn)的基礎(chǔ)上，分別以橢圓、雙曲線、拋物線為例介紹該法的由來，并例舉該法在幾類解析幾何問題中的初步應(yīng)用，全面系統(tǒng)地介紹了“定比點(diǎn)差法”．在講定比點(diǎn)差法前，我們先引出定比分點(diǎn)的概念．一、定比分點(diǎn)若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的定比分點(diǎn)．若，點(diǎn)在線段上，此時(shí)稱點(diǎn)為內(nèi)分點(diǎn)；若，點(diǎn)在線段的延長線上，此時(shí)稱點(diǎn)為外分點(diǎn)．①點(diǎn)在線段上（）②點(diǎn)在線段的延長線上（）③點(diǎn)在線段的反向延長線上（）補(bǔ)充定義：當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的定比分點(diǎn)可以認(rèn)為是無窮遠(yuǎn)點(diǎn).二、定比點(diǎn)差法原理1．線段定比分點(diǎn)向量公式及坐標(biāo)公式已知，設(shè)，則．證明：證法一：設(shè)，.證法二：設(shè)，則，利用對應(yīng)坐標(biāo)相等即可推出．2．“定比點(diǎn)差法”的由來（1）若點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)滿足，則于是有，整理得，即①（和定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式形式保持一致）．（2）若點(diǎn)在雙曲線上，且點(diǎn)滿足，則于是有，整理得，即②．（3）若點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)滿足，則于是有，變形得，即③．說明：1.上述表達(dá)式①、②、③的推導(dǎo)方法就叫“定比點(diǎn)差法”，由推導(dǎo)過程可以看出，該法是“點(diǎn)差法”的更一般的推廣而已，當(dāng)時(shí)，“定比點(diǎn)差法”即為“點(diǎn)差法”．2.上述表達(dá)式①、②、③的形式與的形式是一致的，因此和極點(diǎn)極線有關(guān)的題目都可以嘗試?yán)枚ū赛c(diǎn)差法進(jìn)行處理.三、定比點(diǎn)差對稱軸軸上點(diǎn)公式對于過軸上的定點(diǎn)或直線和圓錐曲線相交，一般可以都可以嘗試?yán)枚ū赛c(diǎn)差法進(jìn)行求解，而且會比常規(guī)的韋達(dá)定理法要簡潔很多！下面給出常用的幾個公式.過定點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)，，則有①截距對偶公式：；②坐標(biāo)公式：；③拓展公式之：四、定比點(diǎn)差法的應(yīng)用（一）應(yīng)用定比點(diǎn)差法求點(diǎn)的坐標(biāo)例1．已知分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【解析】如圖，延長交橢圓于點(diǎn)，由對稱性得，則．設(shè)，則，又，由點(diǎn)在橢圓上，則于是有，即，聯(lián)立，解得，則．【評注】由向量數(shù)乘的幾何意義知//且，考慮到橢圓的中心對稱性，可以延長交橢圓于點(diǎn)，得到，從而得到三點(diǎn)共線，且，于是定點(diǎn)為焦點(diǎn)弦的定比分點(diǎn)，自然想到使用定比點(diǎn)差法．（二）應(yīng)用定比點(diǎn)差法求離心率例2．已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，過的兩條直線、分別與橢圓交于和兩點(diǎn)，且滿足，（其中且），若變化時(shí)直線的斜率總為，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，由可得：，據(jù)此可得：，同理可得：，則：，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程做差可得：，即：，同理可得：，兩式相加可得，故：，據(jù)此可得：．【評注】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）．例3．已知橢圓，過其左焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求橢圓的離心率．【解析】設(shè)，由得，由得由點(diǎn)在橢圓上，則兩式作差得，，聯(lián)立，得，又，于是有，整理得，兩邊都除以，得，解得或，又．【評注】處理焦點(diǎn)弦問題時(shí)，相較于聯(lián)立直線與曲線方程法，定比點(diǎn)差法運(yùn)算量小，過程簡潔．（三）應(yīng)用定比點(diǎn)差法求直線方程例4．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為，過點(diǎn)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且△的周長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求直線的方程．【解析】（1）由已知可得，又，解得所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由，得．設(shè)，得，又，由點(diǎn)在橢圓上，得兩式作差得，聯(lián)立，解得，又，解得直線的方程為或．【評注】由平面向量共線定理及向量數(shù)乘的幾何意義，得，自然考慮定比點(diǎn)差法（四）應(yīng)用定比點(diǎn)差法求弦長例5．已知斜率為的直線與拋物線的交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，求．【解析】設(shè)，由，得，則由點(diǎn)在拋物線上，則于是有，則，聯(lián)立，得，又，則，由．【評注】由已知條件可知該題可使用定比點(diǎn)差法，得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用，得到，利用拋物線方程得到，求出，最后由得出答案．例6．（2022·上海徐匯·三模）已知橢圓：焦距為，過點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)?．（1）求橢圓的方程；（2）若，的最大值；（3）設(shè)，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為．若?和點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）待定系數(shù)法求解橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，利用弦長公式得到，結(jié)合的取值范圍，求出最大值；（3）設(shè)出直線方程，表達(dá)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由??三點(diǎn)共線得到方程，化簡后得到．【解析】（1）由題意得：焦距為，得，點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得：，，解得：，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線的方程為，由消去可得，則，即，設(shè)，，則，，則，易得當(dāng)時(shí)，，故的最大值為．（3）設(shè)，，，，則①，②，又，所以可設(shè)，直線的方程為，由消去可得，則，即，由，及①，代入可得，又，所以，所以，同理可得．故，，因?yàn)??三點(diǎn)共線，所以．將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入，通分化簡得，即．【評注】處理圓錐曲線問題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再利用弦長公式或題干中條件，求出取值范圍或得到方程，求出參數(shù)．例7.（2022·山西太原·三模）已知橢圓過點(diǎn)離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）當(dāng)過點(diǎn)M（4，1）的動直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)N，滿足求線段PN長的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由橢圓的幾何性質(zhì)列方程組求解；（2）由定比分點(diǎn)公式化簡得點(diǎn)軌跡方程，由點(diǎn)到直線距離公式求解.【解析】（1）根據(jù)題意，解得，橢圓C的方程為.（2）設(shè)A（，），B（，），N（x，y），由，得，∴，又，∴，∴點(diǎn)N在直線上，∴．【總結(jié)】定比點(diǎn)差法，實(shí)際上是直線參數(shù)方程的變異形式，核心思想是“設(shè)而不求”．它是利用圓錐曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系與差異，代點(diǎn)、擴(kuò)乘、作差，解決相應(yīng)的圓錐曲線問題，尤其是遇到定點(diǎn)、成比例等條件時(shí)，定比點(diǎn)差法有獨(dú)特的優(yōu)勢．【針對訓(xùn)練】（2018年高考浙江卷）1．已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足=2，則當(dāng)m=___________時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對值最大．2．已知橢圓，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，此橢圓的離心率為______．3．已知橢圓，過橢圓的左焦點(diǎn)F且斜率為的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的上方），若有，求橢圓的離心率．（2022·吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測）4．已知拋物線的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為4，橢圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F．(1)求拋物線的方程及a；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，點(diǎn)N滿足，且最小值為，求橢圓的離心率．（2022·山東濟(jì)南·二模）5．已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若，橢圓C上四點(diǎn)M，N，P，Q滿足，，求直線MN的斜率.（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）6．已知，直線過橢圓的右焦點(diǎn)F且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，l與雙曲線的兩條漸近線、分別交于M、N兩點(diǎn)．(1)若，且當(dāng)軸時(shí)，△MON的面積為，求雙曲線的方程；(2)如圖所示，若橢圓的離心率，且，求實(shí)數(shù)的值．（2022云南紅河·模擬預(yù)測）7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上的一個動點(diǎn).以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與線段交于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，作于點(diǎn).(1)令，若，，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)的軌跡為曲線，求曲線的方程；(3)設(shè)（2）中的曲線與軸的正半軸交于點(diǎn)，與軸的正負(fù)半軸分別交于點(diǎn)，，若點(diǎn)?分別滿足，，證明直線和的交點(diǎn)在曲線上.（2022重慶·模擬預(yù)測）8．已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對