四川省成都市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024—2025學(xué)年度高二上期10月月考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．本試卷分第I卷和第II卷兩部分；2．本堂考試120分鐘，滿分150分；3．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)號(hào)正確填寫在答題卡上，并使用2B鉛筆填涂；4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第I卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.現(xiàn)須完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查：①?gòu)?2瓶飲料中抽取4瓶進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②某生活小區(qū)共有540名居民，其中年齡不超過(guò)30歲的有180人，年齡在超過(guò)30歲不超過(guò)60歲的有270人，60歲以上的有90人，為了解居民對(duì)社區(qū)環(huán)境綠化方面的意見(jiàn)，擬抽取一個(gè)容量為30的樣本.較為合理的抽樣方法分別為（）A.①抽簽法，②分層隨機(jī)抽樣 B.①隨機(jī)數(shù)法，②分層隨機(jī)抽樣C.①隨機(jī)數(shù)法，②抽簽法 D.①抽簽法，②隨機(jī)數(shù)法【答案】A【解析】【分析】根據(jù)抽簽法以及分層抽樣的使用條件，可得答案.【詳解】對(duì)于①，由于抽取的總體個(gè)數(shù)與樣本個(gè)數(shù)都不大，則應(yīng)用抽簽法；對(duì)于②，抽取的總體個(gè)數(shù)較多，且總體有明確的分層，抽取的樣本個(gè)數(shù)較大，則采用分層隨機(jī)抽樣.故選：A2.已知向量，，且，那么實(shí)數(shù)等于（）A.3 B.3 C.9 D.9【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用空間向量共線列式計(jì)算即可.【詳解】∵，，且，∴，解得，，∴．故選：D．3.若是兩條不相同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中為真命題的是A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面關(guān)系，對(duì)A、B、D,都可能推出l，而C，由面面平行的性質(zhì)定理直接判斷即可.【詳解】對(duì)A、B、D,都可能推出l,所以不正確；對(duì)C，根據(jù)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行，所以正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了線面、面面平行的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查了空間線面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4.如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圖形中線段關(guān)系，應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義用表示出.【詳解】.故選：C5.為了養(yǎng)成良好的運(yùn)動(dòng)習(xí)慣，某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），分別為53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則（）A.58或64 B.59或64 C.58 D.59【答案】A【解析】【分析】先對(duì)數(shù)據(jù)從小到大排序，分，，三種情況，舍去不合要求的情況，列出方程，求出答案,【詳解】將已知的6個(gè)數(shù)從小到大排序?yàn)?5，49，53，57，61，79．若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為61和57，他們的差為4，不符合條件；若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為79和61，它們的差為18，不符合條件；若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為x和61（或61和x），則，解得或故選：A6.已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，正數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量共面定理的推論可得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】由題意知，四點(diǎn)共面，又，則，所以，即，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.7.現(xiàn)有一段底面周長(zhǎng)為厘米和高為12厘米的圓柱形水管，是圓柱的母線，兩只蝸牛分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從點(diǎn)沿上底部圓弧順時(shí)針?lè)较蚺佬欣迕缀笤傧蛳屡佬?厘米到達(dá)點(diǎn)，另一只從沿下底部圓弧逆時(shí)針?lè)较蚺佬欣迕缀笤傧蛏吓佬?厘米爬行到達(dá)點(diǎn)，則此時(shí)線段長(zhǎng)（單位：厘米）為（）A. B. C.6 D.12【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件建系結(jié)合弧長(zhǎng)得出角及點(diǎn)的坐標(biāo)，最后應(yīng)用空間向量?jī)牲c(diǎn)間距離計(jì)算.【詳解】應(yīng)用圓柱的特征取上下底面的圓心為軸，再過(guò)作的垂線為軸，如圖建系，過(guò)向圓作垂線垂足為，，設(shè)圓半徑為，所以，所以圓弧的長(zhǎng)度為：，，則，同理，過(guò)向圓O作垂線垂足為，則，所以.故選：A.8.如圖，四邊形，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角的大小在時(shí)，直線和所成角為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，過(guò)點(diǎn)O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AB與CD所成角的余弦值的最大值．【詳解】取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，，則，且，于是是二面角的平面角，顯然平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，則，直線兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)二面角的大小為，，因此，，，于是，顯然，則當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量建立函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題中，正確的是（）A.兩條不重合直線的方向向量分別是，，則B.直線l的方向向量，平面的法向是，則C.兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則D.直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為【答案】AC【解析】【分析】由可判斷A；由可判斷B；由可判斷C；根據(jù)線面角的向量公式直接計(jì)算可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?，且不重合，所以，A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以所以或，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：因?yàn)椋?，C正確；D選項(xiàng)：記直線l與平面所成角為，則，因?yàn)椋?，D錯(cuò)誤.故選：AC10.小劉一周的總開支分布如圖①所示，該周的食品開支如圖②所示，則以下說(shuō)法正確的是（）A.娛樂(lè)開支比通信開支多5元B.日常開支比食品中的肉類開支多100元C.娛樂(lè)開支金額為100元D.肉類開支占儲(chǔ)蓄開支的【答案】BCD【解析】【分析】先由圖2計(jì)算出食品的開支，再由圖1計(jì)算出總開支，從而對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可得解.【詳解】對(duì)于C，由圖2可知食品的開支為元，由圖1可知食品開支為，所以總開支為元，則娛樂(lè)開支為元，故C正確；對(duì)于A，通信開支為元，娛樂(lè)開支比通信開支多元，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，日常開支為元，肉類為元，日常開支比肉類開支多元，故B正確；對(duì)于D，儲(chǔ)蓄開支為元，肉類開支占儲(chǔ)蓄開支的，故D正確.故選：BCD.11.已知四面體的所有棱長(zhǎng)都為分別是的中點(diǎn)，是該四面體內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，是該四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.的長(zhǎng)為B.到平面的距離為C.當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，的最大值為D.直線與直線所成角的余弦值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，將四面體補(bǔ)形并建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間中兩點(diǎn)距離公式判斷A，利用空間向量法的點(diǎn)面距離公式判斷B，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合內(nèi)切球半徑的求法判斷C，利用空間向量法求異面直線所成角判斷D，從而得解.【詳解】依題意，將四面體補(bǔ)形為正方體，并建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)樗拿骟w的所有棱長(zhǎng)都為，則正方體的棱長(zhǎng)為，則，又分別是的中點(diǎn)，則，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，設(shè)平面法向量為，則，令，則，故，所以到平面的距離為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)是四面體內(nèi)切球的球心，其半徑為，則，當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，為內(nèi)切球的直徑，是的中點(diǎn)，則，所以，因?yàn)樵撍拿骟w的體積為，表面積為，所以，解得，則，因?yàn)槭窃撍拿骟w表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為正四體的頂點(diǎn)時(shí)，最大，其最大值為，所以的最大值為，故C正確；對(duì)于D，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，將四面體補(bǔ)形為正方體，并建立空間直角坐標(biāo)系，從而得解.第II卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某校高一年級(jí)共有學(xué)生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．該校要了解高一學(xué)生對(duì)食堂菜品的看法，準(zhǔn)備從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40人進(jìn)行訪談，若采取按比例分配的分層抽樣，則應(yīng)從高一2班抽取的人數(shù)是______．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣原則直接計(jì)算即可【詳解】由題意，從高一年級(jí)200人中抽取40人訪談，按照年級(jí)分層，則高一2班應(yīng)該抽人.故答案為：10.13.已知，，若三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則實(shí)數(shù)的值為___________.【答案】5【解析】【分析】由空間向量基本定理求解，【詳解】若三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則，得，解得故答案為：514.在正方體中，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，是平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則平面與平面所成角余弦值的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理證得平面，可知點(diǎn)的軌跡為線段，由二面角的定義得到平面與平面所成角為，進(jìn)面求出的最小值和最大值，從而得解.【詳解】連接、、、，設(shè)，連接、，如下圖所示：因?yàn)榍?，則四邊形為平行四邊形，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)椋?、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的一點(diǎn)，且滿足，所以點(diǎn)的軌跡為線段，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，，則為的中點(diǎn)，且，由勾股定理可得，則，所以為平面與平面所成角（或補(bǔ)角），由圖可知，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，，，因?yàn)槠矫?，平面，則，同理，此時(shí)；當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，易得，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，則，而平面與平面所成角為銳角，不妨設(shè)為，則，所以平面與平面所成角的余弦值的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二面角常用的方法：（1）幾何法：二面角的大小常用它的平面角來(lái)度量，平面角的作法常見(jiàn)的有：①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質(zhì)；（2）空間向量法：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知向量，，（1）求的值；（2）求；（3）求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的減法運(yùn)算法則和數(shù)量積運(yùn)算公式直接計(jì)算；（2）根據(jù)空間向量夾角公式直接計(jì)算即可；（3）根據(jù)條件寫出模的表達(dá)式，再直接求最小值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所?【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值，則最小值為.16.宿州市政府委托市電視臺(tái)進(jìn)行“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，市電視臺(tái)隨機(jī)對(duì)該市歲的人群抽取了n人，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，回答問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示．組號(hào)分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第一組[15，25)500.5第二組[25，35)180a第三組[35，45)0.9第四組[45，55)90b第五組[55，65)y0.6（1）分別求出的值；（2）從第二、三、四、五組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取7人，則從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應(yīng)各抽取多少人【答案】（1），，，；（2）從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應(yīng)分別抽?。?人，3人，1人，1人．【解析】【分析】（1）先根據(jù)直方圖和第一組的頻率計(jì)算出總?cè)藬?shù)為1000人，再根據(jù)公式依次計(jì)算的值．（2）根據(jù)分層抽樣規(guī)律可求從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應(yīng)分別抽取的人數(shù)．【詳解】解：（1）依題和圖表：由得：，由得：，由得：，由得：，由得：，故，，，．（2）由以上知：第二、三、四、五組回答正確的人數(shù)分別為：180人，270人，90人，90人用分層抽樣抽取7人，則：從第二組回答正確的人中應(yīng)該抽取：人，從第三組回答正確的人中應(yīng)該抽?。喝?，從第四組回答正確的人中應(yīng)該抽?。喝?，從第五組回答正確的人中應(yīng)該抽?。喝耍蕪牡诙?、三、四、五組每組回答正確的人中應(yīng)分別抽?。?人，3人，1人，1人．17.如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，直線與平面所成的角為，.（1）若，分別為，的中點(diǎn)，求證：直線平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面平面得到平面，從而，根據(jù)，得到平面，得到，結(jié)合，得到平面；（2）為原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，得到法向量之間的夾角余弦，從而得到二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，則為直線與平面所成的角，為，∴，而平面，∴又，為的中點(diǎn)，∴，平面，則平面，而平面∴，又，分別為，的中點(diǎn)，則，正方形中，，∴，又平面，，∴直線平面；（2）解：以坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸，過(guò)作的平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得；設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得.∴.∴二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)和判定，利用空間向量求二面角的正弦值，屬于中檔題.18.隨著時(shí)代不斷地進(jìn)步，人們的生活條件也越來(lái)越好，越來(lái)越多的人注重自己的身材，其中體脂率是一個(gè)很重要的衡量標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)一般的成人體準(zhǔn)，女性體脂率的正常范圍是至，男性的正常范圍是至.這一范圍適用于大多數(shù)成年人，可以幫助判斷個(gè)體是否存在肥胖的風(fēng)險(xiǎn).某市有關(guān)部門對(duì)全市萬(wàn)名成年女性的體脂率進(jìn)行一次抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)，抽取了名成年女性的體脂率作為樣本繪制頻率分布直方圖如圖.（1）求a；（2）如果女性體脂率為至屬“偏胖”，體脂率超過(guò)屬“過(guò)胖”，那么全市女性“偏胖”，“過(guò)胖”各約有多少人？（3）小王說(shuō)：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”小張說(shuō)：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù).”那么誰(shuí)的體脂率更低？【答案】（1）；（2）全市女性“偏胖”的人數(shù)約為，“過(guò)胖”的人數(shù)約為；（3）小張的體脂率更低.【解析】【分析】（1）由所有矩形條的面積和為，列方程可求；（2）求出樣本中女性“偏胖”，“過(guò)胖”的頻率，由此估計(jì)全市女性“偏胖”，“過(guò)胖”的人數(shù)；（3）求樣本的中位數(shù)，平均數(shù)可得小王和小張的體脂率，由此可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由頻率直方圖可得，，所以.【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可得樣本中女性“偏胖”頻率為，樣本中女性“過(guò)胖”的頻率為，所以全市女性“偏胖”的人數(shù)約為，全市女性“過(guò)胖”的人數(shù)約為，【小問(wèn)3詳解】調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，設(shè)調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為，所以小王的體脂率約為，小張