2024年1月上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷試題真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024上海春考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．的定義域為.2．直線的傾斜角.3．已知，則.4．展開式中的系數(shù)為.5．三角形中，，則6．已知，的最小值為．7．?dāng)?shù)列，，c的取值范圍為．8．三角形三邊長為，則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離心率為.9．已知，求的的取值范圍.10．已知四棱柱底面ABCD為平行四邊形，且，則異面直線與BD的夾角余弦值為.11．正方形草地邊長到距離為到距離為，有個圓形通道經(jīng)過，且經(jīng)過上一點，求圓形通道的周長.（精確到）

12．，任意，滿足，求有序數(shù)列有對.二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13．，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．14．空間中有兩個不同的平面和兩條不同的直線，則下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則15．有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結(jié)、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個盒子，設(shè)事件：所選盒中有中國結(jié)，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（

）A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨立C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨立16．現(xiàn)定義如下:當(dāng)時，若，則稱為延展函數(shù).已知當(dāng)時，且，且均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論（

）（1）存在與有無窮個交點（2）存在與有無窮個交點A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立.三、解答題（本大題共5題，共分）17．已知，(1)設(shè)，求解:的值域;(2)的最小正周期為，若在上恰有3個零點，求的取值范圍.18．如圖，、、為圓錐三條母線，.(1)證明:；(2)若圓錐側(cè)面積為為底面直徑，，求二面角的大小19．水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱．(1)隨機挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；(2)進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；(3)抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點為橢圓上一點，、分別為橢圓的左、右焦點.(1)若點的橫坐標(biāo)為2，求的長;(2)設(shè)的上、下頂點分別為、，記的面積為的面積為，若，求的取值范圍(3)若點在軸上方，設(shè)直線與交于點，與軸交于點延長線與交于點，是否存在軸上方的點，使得成立?若存在，請求出點的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.21．記(1)若，求和;(2)若，求證:對于任意，都有，且存在，使得.(3)已知定義在上有最小值，求證"是偶函數(shù)"的充要條件是“對于任意正實數(shù)，均有”.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得.【詳解】由題意可得，即的定義域為.故答案為：.2．【分析】求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角之間的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，易知直線的斜率為，所以，解得.故答案為：3．##【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運算與共軛復(fù)數(shù)定義計算即可得.【詳解】由題意可得，故.故答案為：.4．15【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理直接求出結(jié)果.【詳解】展開式中令的項為，所以展開式中的系數(shù)為15.故答案為：155．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解．【詳解】三角形中，，，由正弦定理，，，得．故答案為：．6．12【分析】利用不等式即可求解.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng),即或時,等號成立,故的最小值為12.故答案為：12.7．【分析】先利用等差數(shù)列的定義判定為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，則，可知數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，所以c的取值范圍為.故答案為：.8．3【分析】利用雙曲線的定義求解即可.【詳解】由雙曲線的定義，則.故答案為：39．【分析】分與兩段求解二次不等式可得.【詳解】根據(jù)題意知.當(dāng)時，,即，解得，則有；當(dāng)時，,即，，即時，不等式都成立.綜上所述，的的取值范圍為.故答案為：.10．【分析】將用不共面的向量表示出來，從而得到，然后由公式計算夾角余弦值即可.【詳解】，，，底面ABCD為平行四邊形，所以，所以，.所以，故異面直線與BD的夾角的余弦值為:，故答案為：11．【分析】利用給定條件求解圓的半徑，再求周長即可.【詳解】如圖，以為原點建系，易知，連接，

不妨設(shè)中點為，直線中垂線所在直線方程為，化簡得，所以圓心為，半徑為，且經(jīng)過點即，化簡得，解得，結(jié)合題意可得，故圓的周長為.故答案為：12．48【分析】先確定，再結(jié)合，設(shè)，可得到，進而求出這四個數(shù)，從而求得答案.【詳解】由題意知，滿足，不妨設(shè)，則必有，若，解得；若，解得，由此可知此時有2種情況，結(jié)合任意，共有對，故答案為：48【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合推出時，這四個數(shù)的值，進而結(jié)合題意求得答案.13．B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)特例可判斷CD的正誤.【詳解】對于A，若，則，選項不成立，故A錯誤；對于B，因為，故，故B成立，對于C、D，若，則選項不成立，故C、D錯誤；故選：B.14．A【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷AB；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷CD；【詳解】對于A，若，則或，又，當(dāng)時，在內(nèi)必存在直線l和m平行，則；當(dāng)時，顯然有，所以，故A正確；對于B，若，則或，由，則與斜交、垂直、平行均有可能，故B錯誤；對于C，若，則或，由，則與相交、平行、異面均有可能，故C錯誤；對于D，若，則或，又，則或，故D錯誤.故選：A.15．B【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，逐一判斷選項即可．【詳解】選項A，事件和事件可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中可以既有中國結(jié)，又有記事本，事件與事件不互斥，A錯誤；選項B，，，，，B正確；選項C，事件與事件可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中可以既有中國結(jié)，又有記事本或筆袋，C錯誤；選項D，，，，，與不獨立，故D錯誤．故選：B．16．D【分析】由延展函數(shù)的定義分段求出解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得.【詳解】當(dāng)時，，則，又，則由延展函數(shù)定義可得；同理可得，當(dāng)，；；任意，當(dāng)時，.當(dāng)時，，則，則；同理可得，當(dāng)時，；；當(dāng)時，；當(dāng)，；當(dāng)，；；則任意時，當(dāng).如圖，作出與hx大致圖像，因為，如圖可知，不存在直線與圖象有無窮個交點，故（1）不成立；又因為當(dāng)，，故當(dāng)時，直線與hx的圖象在區(qū)間的函數(shù)部分重合，即有無窮個交點，故（2）成立；故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題目的關(guān)鍵在于理解新定義“延展函數(shù)”，能夠依次求解出函數(shù)在各段的解析式及作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)圖象與直線的交點個數(shù)問題.17．(1);(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合換元法求出單調(diào)性，再求解值域即可.（2）利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)即可.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以令，由正弦函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，（2）由題意得，所以，可得，當(dāng)時，，，即，，當(dāng)時，，不符合題意，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，，符合題意，所以，即，故.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接、，則，故可得面，從而得到.（2）利用向量法可求面、面的法向量，計算出它們的夾角的余弦值后可得二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點，連接、，因為，所以，又因為面面，所以面，因為面，所以.（2）因為為直徑，故為底面圓的圓心，故平面，而故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為圓錐側(cè)面積為為底面直徑，，所以底面半徑為1，母線長為3，所以，則可得，故，設(shè)為平面的法向量，則，令，則，所以.設(shè)為平面的法向量，則，令，則，所以.則，設(shè)二面角為，則為鈍角，所以二面角的大小為.19．(1)(2)一級果抽取6箱，二級果抽取2箱(3)方差克，平均數(shù)克，預(yù)估平均質(zhì)量為克【分析】（1）利用組合知識和超幾何分布求概率公式求出答案；（2）利用分層抽樣的定義進行求解；（3）根據(jù)公式計算出總體樣本平均質(zhì)量和方差，并預(yù)估平均質(zhì)量.【詳解】（1）設(shè)A事件為恰好選到一級果和二級果各一箱，樣本空間的樣本點的個數(shù)，A事件的樣本點的公式，所以；（2）因為一級果箱數(shù)：二級果箱數(shù)，所以8箱水果中有一級果抽取箱，二級果抽取箱；（3）設(shè)一級果平均質(zhì)量為，方差為，二級果質(zhì)量為，方差為，總體樣本平均質(zhì)量為，方差為，因為，，，，所以克，克．預(yù)估平均質(zhì)量為克．20．(1)；(2)；(3)存在，【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點的縱坐標(biāo)，再利用兩點間距離公式計算即得.（2）設(shè)，求出，再利用給定關(guān)系求出的范圍，進而求出的范圍.（3）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運算及共線向量的坐標(biāo)表示可得，再聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理求解即得.【詳解】（1）設(shè)，由點為橢圓上一點，得，即，又，所以.（2）設(shè)，而，則，由，得，即，又，則，解得，，所以的范圍是.（3）設(shè)，由圖象對稱性，得、關(guān)于軸對稱，則，又，于是，則，同理，由，得，因此，即，則，設(shè)直線，由消去得，則，即，而，解得，，由，得，所以.【點睛】思路點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．21．(1)；(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）將代入求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，對進行分類討論，然后求出即可證明;（3）利用偶函數(shù)的定義，即可證明必要性，利用，得出兩個集合中最小的元素相同，從而，即可證明充分性.【詳解】（1）由題意得:；（2）由題意知，記，有或2，02正0負(fù)0正極大值極小值現(xiàn)對分類討論:當(dāng)，有為嚴(yán)格增函數(shù)，因為，此時，符合條件;當(dāng)時，，先增后減，，因為取等號)，所以，此時，符合條件，且時，；當(dāng)時，，在嚴(yán)格增，在嚴(yán)格減，在嚴(yán)格增，，因為，此時，，則，