全國統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)案例探究一三類不等式的解法學(xué)案理含解析北師大版

三類不等式的解法中學(xué)階段解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化與化歸思想,對于含有參數(shù)的不等式,還要用到分類探討思想、函數(shù)與方程思想以及數(shù)形結(jié)合的思想.依據(jù)以上基本思想,同學(xué)們有必要探究以下幾種不等式的解法,以提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).一含有肯定值的不等式1.肯定值的屬性:非負性2.式子中含有肯定值,通常的處理方法有兩種:一是通過對肯定值內(nèi)部符號進行分類探討(常用);二是通過平方去掉肯定值.3.若不等式滿意以下特點,可干脆利用公式進行變形求解:(1)|f(x)|>g(x)的解集與f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)的解集相同;(2)|f(x)|<g(x)的解集與-g(x)<f(x)<g(x)的解集相同.4.對于其他含肯定值的問題,則要詳細問題詳細分析,通常可用的手段就是先利用分類探討去掉肯定值,將其轉(zhuǎn)化為整式不等式,再做處理.【例1】解下列不等式:(1)|x2+x|≤3x;(2)|x-1|+|x+2|<5;(3)|2x-1|-|x-2|<0.解(1)(方法1)原不等式可轉(zhuǎn)化為-3x≤x2+x≤3x,即x2+∴0≤x≤2.(方法2)視察到若要使得不等式|x2+x|≤3x成立,則3x≥0,即x≥0,進而|x2+x|內(nèi)部恒為正數(shù),肯定值干脆去掉,即只需解x2+x≤3x即可,解得0≤x≤2,∴不等式的解集為[0,2].(2)含多個肯定值的問題,可通過“零點分段法”來進行分類探討.令兩個肯定值分別為零,解得x=-2,x=1,作出數(shù)軸,將數(shù)軸分為三部分,分類探討:①當(dāng)x>1時,不等式變?yōu)閤-1+x+2<5,解得x<2,∴1<x<2.②當(dāng)-2<x≤1時,不等式變?yōu)?-x+x+2<5,解得3<5,∴-2<x≤1時不等式均成立.③當(dāng)x≤-2時,不等式變?yōu)?-x-x-2<5,解得x>-3,∴-3<x≤-2.綜上所述,不等式的解集為(-3,2).(3)思路:本題依舊可以仿照(2)的方式進行零點分段,再解不等式,但從另一個角度視察,所解不等式為|2x-1|<|x-2|,兩邊均是肯定值(非負數(shù)),所以還可以考慮兩邊平方(所用不等式性質(zhì):a>b≥0?a2>b2)一次將兩個肯定值去掉,再進行求解.∵|2x-1|<|x-2|,∴(2x-1)2<(x-2)2,4x2-4x+1<x2-4x+4,∴3x2<3,解得-1<x<1,∴不等式的解集為(-1,1).歸納小結(jié)1.含肯定值的不等式要留意視察式子特點,選擇更簡便的方法.2.零點分段法的好處在于,一段范圍可將全部的肯定值一次性去掉,缺點在于須要進行分類探討,對學(xué)生書寫的規(guī)范和分類探討習(xí)慣提出了要求,以及如何整理結(jié)果,這些細微環(huán)節(jié)部分均要做好,才能保證答案的正確性.二簡潔的高次不等式的解法【例2】解不等式:(x-1)(x+2)(x-3)>0.解法一(列表法):求得相應(yīng)方程的根為-2,1,3.列表如下:x<-2-2<x<11<x<3x>3x+2-+++x-1--++x-3---+各因式積-+-+由上表可知,原不等式的解集為{x|-2<x<1或x>3}.小結(jié):此法叫列表法,解題步驟是:①將不等式化為(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式(各項x的系數(shù)化為正數(shù)),令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0,求出各根,不妨稱之為分界點,一個分界點把(實數(shù))數(shù)軸分成兩部分,n個分界點把數(shù)軸分成n+1部分……;②按各根把實數(shù)分成的n+1部分,由小到大橫向排列,相應(yīng)各因式縱向排列(由對應(yīng)較小根的因式起先依次自上而下排列);③計算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號,下面是乘積的符號;④看下面各因式積的符號寫出不等式的解集.解法二(穿根法):①(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是-2,1,3,在數(shù)軸上表示這三個數(shù).②由右上方穿線,經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點.③若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間;若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.由圖可知,原不等式的解集為{x|-2<x<1或x>3}.小結(jié):此法叫穿根法,解題步驟是:①將不等式化為(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式,并將各因式x的系數(shù)化“+”;②求根,并在數(shù)軸上表示出來;③由右上方穿線,經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點;④若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間;若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.【例3】解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解①檢查各因式中x的符號均正.②求得相應(yīng)方程的根為:-1,2,3(留意:2是二重根,3是三重根).③在數(shù)軸上表示各根并穿線,每個根穿一次(自右上方起先),如下圖.④∴原不等式的解集為{x|-1<x<2或2<x<3}.說明:∵3是三重根,∴在C處穿三次,2是二重根,∴在B處穿兩次,結(jié)果相當(dāng)于沒穿.由此看出,當(dāng)左側(cè)f(x)有相同因式(x-x1)n時,n為奇數(shù)時,曲線在x1點處穿過數(shù)軸;n為偶數(shù)時,曲線在x1點處不穿過數(shù)軸,不妨歸納為“奇穿偶不穿”.對點訓(xùn)練解不等式:(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.三無理不等式常見題型及等價轉(zhuǎn)化:(1)f(2)f(x)>g(x(3)f(x)<g(x【例4】解不等式:2x-1≤解法一2x-1≤x-即x≥12所以原不等式的解集為[5,+∞).解法二設(shè)2x-1=t(t≥0),則所以原不等式化為t≤t2+1所以t2-2t-3≥0,即t≤-1或t≥3.因為t≥0,所以t≥3,所以x≥5.【例5】解不等式:2ax-a2>a-x解2ax-a2>a-x?①而①?a-x≥0,2ax-a2>(a②?x≥a2,x>所以原不等式的解集是((2-2)a,a]∪(a,+∞),即((2-2)a,+∞).【例6】解不等式:(x-1)x+2≥0解(x-1)x+2≥0?(x-1)x+2>0,或(x-1)x?x-1>0,x?x>1或x=1或x=-2.所以原不等式的解集是[1,+∞)∪{-2}.歸納小結(jié)無理不等式的等價轉(zhuǎn)化即由無理不等式轉(zhuǎn)化為等價的有理不等式來求解,要求必需嫻熟駕馭;其他解法要依據(jù)不等式的詳細狀況而定.案例探究(一)三類不等式的解法對點訓(xùn)練解①將原不等式化為(x-3)