專項(xiàng)02 圓切線中輔助線的添加

專項(xiàng)02圓切線中輔助線的添加方法一遇切線——連半徑，得垂直1.(2023山東威海乳山一模)如圖，AB是☉O的直徑，過☉O上的點(diǎn)C作☉O的切線，交AB的延長線于點(diǎn)D，連接AC，若∠D=40°，則∠CAD=()A.20° B.25° C.30° D.40° 第1題圖 第2題圖2.(2023山東煙臺(tái)一模)如圖，GC，GB是☉O的切線，C是☉O上一點(diǎn)，AB是☉O的直徑，GC與BA的延長線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作弦CD∥AB，連接DO并延長與圓交于點(diǎn)F，連接CF，若AE=2，CE=4，則CD的長度為.

3.(2023四川廣元中考)如圖，AB為☉O的直徑，C為☉O上一點(diǎn)，連接AC，BC，過點(diǎn)C作☉O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，OF⊥BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F.(1)求證：∠BCD=∠BOE；(2)若sin∠CAB=35，AB=10，方法二證切線——連半徑，證垂直4.(2022廣西賀州中考)如圖，△ABC內(nèi)接于☉O，AB是直徑，延長AB到點(diǎn)E，使得BE=BC=6，連接EC，且∠ECB=∠CAB，點(diǎn)D是AB上的點(diǎn)，連接AD，CD，且CD交AB于點(diǎn)F.(1)求證：EC是☉O的切線；(2)若CB平分∠ECD，求AD的長.5.(2023湖北隨州中考)如圖，AB是☉O的直徑，點(diǎn)E，C在☉O上，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，AE垂直于過C點(diǎn)的直線DC，垂足為D，AB的延長線交直線DC于點(diǎn)F.(1)求證：DC是☉O的切線；(2)若AE=2，sin∠AFD=13①求☉O的半徑；②求線段DE的長.6.(2023四川遂寧中考節(jié)選)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，AB為☉O的直徑，AD=CD，過點(diǎn)D的直線交BA的延長線于點(diǎn)M，交BC的延長線于點(diǎn)N，且∠ADM=∠DAC.(1)求證：MN是☉O的切線；(2)求證：AD2=AB·CN.方法三證切線——作垂直，證半徑7.(2022廣西貴港中考)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)O在AC邊上，☉O經(jīng)過點(diǎn)C且與AB邊相切于點(diǎn)E，∠FAC=12(1)求證：AF是☉O的切線；(2)若BC=6，sinB=45，

專項(xiàng)02圓切線中輔助線的添加答案全解全析1.B如圖，連接OC.∵CD是☉O的切線，∴∠OCD=90°.∵∠D=40°，∴∠COD=50°.∴∠CAD=12∠COD=25°，2.答案18解析如圖，設(shè)CF交AB于點(diǎn)H，連接OC.∵GC是☉O的切線，∴OC⊥GE.∴∠OCE=90°.設(shè)☉O的半徑為r，則OC=r，OE=r+2.在Rt△OCE中，由勾股定理得，OC2+CE2=OE2，即r2+42=(r+2)2，解得r=3.∵DF為☉O的直徑，∴∠DCF=90°.∵CD∥AB，∴∠CHE=∠DCF=90°.∴CF⊥AB.∴CH=FH.∵12CH·OE=12OC·CE，∴CH=3×45∴CF=2CH=245在Rt△DCF中，由勾股定理得，CD=DF2-CF23.解析(1)證明：如圖，連接OC.∵CD是☉O的切線，∴∠OCD=90°.∴∠OCB+∠BCD=90°.∵OF⊥BC，∴∠BEO=90°.∴∠BOE+∠OBE=90°.∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC.∴∠BCD=∠BOE.(2)如圖，過B作BH⊥CD于H.∵AB為☉O的直徑，∴∠ACB=90°.∵sin∠CAB=BCAB=35，AB=10∵∠ACB=∠BEO=90°，∴AC∥OF.∴∠BOE=∠CAB.∵∠BCD=∠BOE，∴∠CAB=∠BCD.∴sin∠CAB=sin∠BCD=BHBC=35，∴BH=∵sinD=BHBD=OCOD，∴185BD=5故BD的長為9074.解析(1)證明：如圖，連接OC.∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO.∵∠ECB=∠CAB，∴∠ECB=∠ACO.∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°.∴∠ACO+∠OCB=90°.∴∠ECB+∠OCB=90°，即OC⊥EC，又∵OC是☉O的半徑，∴EC是☉O的切線.(2)∵CB平分∠ECD，∴∠BCD=∠ECB.∵∠BCD=∠BAD，∴∠ECB=∠BAD.∵∠ECB=∠CAB，∴∠BAD=∠CAB.∴BC=BD.∵AB是☉O的直徑，∴AB⊥CD.在Rt△FCE中，∠FCE+∠E=90°.∵BE=BC，∴∠E=∠ECB.∴∠E=∠ECB=∠BCF=30°，在Rt△BCF中，BC=6，∠BCF=30°，∴CF=BC·cos∠BCF=6×32=33∵AB⊥CD，AB是☉O的直徑，∴DF=CF=33.在Rt△ADF中，∠DAF=∠BCF=30°，∴AD=DFsin∠DAF=335.解析(1)證明：如圖，連接OC.∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，∴CE=CB.∴∠DAC=∠BAC.∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD.∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又∵OC是☉O的半徑，∴DC是☉O的切線.(2)①如圖，連接EB，OC，∵AB是☉O的直徑，∴AE⊥BE，又∵AD⊥DF，∴EB∥DF，∴∠ABE=∠AFD.∴sin∠ABE=sin∠AFD=AEAB=1又∵AE=2，∴AB=6，∴☉O的半徑為3.②在Rt△OCF中，sin∠AFD=OCOF=1又∵OC=3，∴OF=9，∴AF=OA+OF=3+9=12.在Rt△AFD中，sin∠AFD=ADAF=13，∴DE=AD-AE=4-2=2.6.證明(1)連接OD交AC于點(diǎn)H，如圖.∵AD=CD，∴AD=CD.∴OD⊥AC.∴∠AHO=90°.∵∠ADM=∠DAC，∴AC∥MN.∴∠MDO=∠AHO=90°.∴OD⊥MN.又∵OD為☉O的半徑，∴MN是☉O的切線.(2)連接BD，如圖.∵AB為☉O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°.∵∠ADM=∠DAC，∴AC∥MN.∴∠ACD=∠CDN，∠DNC=∠ACB=90°，∴∠DNC=∠ADB.∵∠ABD=∠ACD，∴∠ABD=∠CDN.∴△CDN∽△ABD.∴CNAD=CDAB.∵AD=CD，∴CNAD∴AD2=AB·CN.7.解析(1)證明：如圖，作OH⊥FA于H，連接OE，∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∴CD=AD=12AB，∴∠CAD=∠ACD∴∠BDC=∠CAD+∠ACD=2∠CAD，∵∠FAC=12∠BDC∴∠FAC=∠CAB，即AC是∠FAB的平分線，∵O在AC上，☉O與AB相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AB，且OE是☉O的半徑，∴OH=OE，即OH是☉O的半徑，∴AF是☉O的切線.(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，sinB=ACAB=4∴設(shè)AC=4