專項(xiàng)05 圓中輔助線的作法

專項(xiàng)05圓中輔助線的作法類型一遇弦添加弦心距或半徑1.(2023山東聊城中考)如圖，點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，連結(jié)OB，IA.若∠CAI=35°，則∠OBC的度數(shù)為()A.15° B.17.5° C.20° D.25°2.(2023四川樂山中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x-2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，C、D是半徑為1的☉O上兩動(dòng)點(diǎn)，且CD=2，P為弦CD的中點(diǎn).當(dāng)C、D兩點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PAB面積的最大值是()A.8 B.6 C.4 D.33.(2023四川廣安中考)如圖，△ABC內(nèi)接于☉O，圓的半徑為7，∠BAC=60°，則弦BC的長(zhǎng)度為.

類型二遇直徑構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角4.(2022江蘇蘇州中考)如圖，AB是☉O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連結(jié)AC，AD.若∠BAC=28°，則∠D=°.

5.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特中考)如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的☉O交BC于點(diǎn)D，交線段CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BE.(1)求證：BD=CD；(2)若tanC=12，BD=4，6.(2023吉林長(zhǎng)春寬城模擬)如圖，AB是☉O的直徑，D，E為☉O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使得CD=BD，連結(jié)AC交☉O于點(diǎn)F，連結(jié)AE，DE，DF.(1)求證：∠CFD=∠C；(2)若∠E=50°，求∠BDF的度數(shù)；(3)設(shè)DE交AB于點(diǎn)G，若DF=6，cosB=23，∠BDE=45°，類型三遇切線連結(jié)圓心和切點(diǎn)7.(2023湖北武漢中考)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑的弧恰好與BC相切，切點(diǎn)為E.若ABCD=13A.23 B.53 C.348.(2023浙江嘉興中考)如圖，點(diǎn)A是☉O外一點(diǎn)，AB，AC分別與☉O相切于點(diǎn)B，C，點(diǎn)D在BDC上.已知∠A=50°，則∠D的度數(shù)是.

9.(2023江蘇無錫中考)如圖，AB是☉O的直徑，CD與AB相交于點(diǎn)E.過點(diǎn)D的切線DF∥AB，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，CF=CD.(1)求∠F的度數(shù)；(2)若DE·DC=8，求☉O的半徑.

專項(xiàng)05圓中輔助線的作法答案全解全析1.C如圖，連結(jié)OC，∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴AI平分∠BAC，∵∠CAI=35°，∴∠BAC=2∠CAI=70°，∵點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，∴∠BOC=2∠BAC=140°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12×(180°-∠BOC)=12.D如圖，作OQ⊥AB于點(diǎn)Q，連結(jié)OP、OD、OC，∵CD=2，OC=OD=1，∴OC2+OD2=CD2，∴△OCD為等腰直角三角形，由y=-x-2得點(diǎn)A(-2，0)、B(0，-2)，∴OA=OB=2，∴△OAB為等腰直角三角形，∴AB=22，OQ=2，由題意得當(dāng)P、O、Q共線，且點(diǎn)O在線段PQ上時(shí)，S△ABP最大，∵P為CD中點(diǎn)，∴OP=22，∴PQ=OP+OQ=322，∴S△ABP方法解讀在幾何問題中，最常見的便是關(guān)于一些面積、長(zhǎng)度和體積方面的最值問題，通常涉及三角形、四邊形和圓等，對(duì)于圓，需要用到與圓有關(guān)的特征和公式，如半徑、直徑、周長(zhǎng)和面積等.3.73解析作OD⊥BC于點(diǎn)D，連結(jié)OB，OC，如圖所示，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OD⊥BC，OB=OC，∴∠BOD=60°，BD=CD，∴BD=BO·sin∠BOD=7×sin60°=7×32=732，4.62解析(解法一)如圖，連結(jié)BC.∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=62°，∴∠D=∠ABC=62°.(解法二)如圖，連結(jié)OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=28°，∴∠AOC=180°-28°-28°=124°，∴∠D=12∠AOC=15.解析(1)證明：如圖，連結(jié)AD，∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴BD=CD.(2)∵BD=DC=4，∴BC=DB+DC=8，在Rt△ADC中，tanC=ADDC=12，∴AD=CD·tanC=4×12=2，∴AC=AD2+CD2=22+42=25，∵AB是☉O的直徑，∴∠AEB=90°，∵∠AEB=∠ADC=90°，∠C=∠C，∴△CEB∽△CDA，∴CECD=CBCA，6.解析(1)證明：如圖，連結(jié)AD，∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=∠AED，∴∠AED=∠C，∵四邊形AEDF是☉O的內(nèi)接四邊形，∠AFD+∠AED=180°，∵∠AFD+∠CFD=180°，∴∠CFD=∠AED，∴∠CFD=∠C.(2)∵∠C=∠CFD=∠AED=50°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=100°.(3)如圖，連結(jié)OE，∵∠CFD=∠AED=∠C，∴FD=CD=BD=6，在Rt△ABD中，cosB=23，BD=6，∴AB=9，∴AO=BO=92，∵∠BDE=45°，∴∠BOE=∠AOE=90°，∵AO=OE=92，∴AE=922，∵∠AOE=90°，∴∠ADE=∠GAE=45°，∴△AEG∽△DEA，∴AEEG=DE7.B如圖，連結(jié)DB、DE，設(shè)AB=m，∵ABCD=13，∴CD=3AB=3m，∵AD是☉D的半徑，AD⊥AB，∴AB是☉D的切線，∵☉D與BC相切于點(diǎn)E，∴BC⊥DE，EB=AB=m，∠CBD=∠ABD，∵AB∥CD，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD=3m，∴CE=CB-EB=3m-m=2m，∵∠CED=90°，∴DE=CD2-CE2=∴sinC=DECD=5m3m8.65°解析如圖，連結(jié)OC，OB，∵AB，AC分別與☉O相切于點(diǎn)B，C，∴∠ACO=∠ABO=90°，∵∠A=50°，∴∠COB=360°-∠A-∠ACO-∠ABO=130°，∴∠D=129.解析(1)如圖，連結(jié)OD，∵FD為☉O的切線，∴∠ODF=90°，∵DF∥AB，∴∠AOD=180°-∠ODF=90°，∴∠ACD=12∠AOD=45°，∵CF=CD，∴∠F=∠CDF=180°?45°(2)∵