2023-2024學年北京166中高一（下）期中數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年北京166中高一（下）期中數學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如圖，設復平面內的點Z表示復數z=a+bi(a,b∈R)，則復數Z的共軛復數z?=(

)A.1+3i

B.1?3i

C.?1+3i

D.?1?3i2.已知α是第二象限的角，tan(π+α)=?34，則sin2α=A.1225 B.?1225 C.243.在△ABC中，D為BC邊上一點，且BC=3BD，設AB=a，AC=b，則A.23a+13b B.14.若復數z滿足z=3?4ii，則|z|=(

)A.1 B.5 C.7 D.255.在正六邊形ABCDEF中，AB=1，設a=AC?AE,b=AC?AD,c=AC?BFA.c<b<a

B.c<a<b

C.b<c<a

D.b<a<c6.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，AB=4，∠B=60°，點D為邊BC上的一點，AD=27,CD=6，則△ACD的面積為A.63 B.93 C.7.設非零向量a，b的夾角為θ，a≠b，則“a⊥(a?bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.在△ABC中，b=10，再從下列四個條件中選出兩個條件，

①ac=28；

②c=2；

③cosB=14；

④面積為142，

A.①② B.①③ C.②③ D.①④9.函數f(x)=xsinx?x?1在區(qū)間(0,+∞)上的零點個數為(

)A.無窮多個 B.4個 C.2個 D.0個10.已知圓O的半徑為2，AB是圓O的一條直徑，平面上的動點P滿足PA?PB=?3，則當P不在直線AB上的時候，△PAB的面積的最大值為A.3 B.2 C.3 二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知角α的頂點位于坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點(3,?4)，則sinα=______．12.若復數z=1+2i+3i2+4i313.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，張雷同學寫出一個命題“等式sin(A+B)=sin(A?B)不可能成立.”請舉出一組內角A，B，C說明這個命題是假命題，其中，∠B=______，∠C=14.在梯形ABCD中，已知點A(1,1),AB=(2,2),M為AB邊的中點，則M的坐標為______，設DC=λAB，若AD=(?1,3)，且AC⊥BD，則15.如圖，一幢高樓樓面上有一塊浮雕，上沿為C，下沿為D，某班數學小組在斜披AB坡腳A處測得浮雕下沿D的仰角α滿足tanα=43，在斜坡AB上的B處測得∠ABC滿足tan∠ABC=1711.已知斜坡AB與地面的夾角為∠BAH滿足tan∠BAH=13,AB=210m三、解答題：本題共5小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題15分)

已知|a|=6，|b|=8，a?b=16，設a與b的夾角為θ．

(Ⅰ)求cosθ；

(Ⅱ)若(2a?b)⊥(λa+5b)，求實數λ的值；

(Ⅲ17.(本小題16分)

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，a2?b2?c2+bc=0．

(Ⅰ)求∠A的大小；

(18.(本小題18分)

已知函數f(x)=2cosx(3sinx+cosx)．

(Ⅰ)求函數f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)若?x∈[0,π2]，使得關于x的不等式19.(本小題18分)

在平面直角坐標系中，已知點A(2,0),B(32,12),C(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π)．

(Ⅰ)當θ=π2時，在△ABC中，求AC邊上的中線的長度；

(Ⅱ)當θ=π時，求cos∠ABC的值；

(Ⅲ)請直接寫出能夠使等式20.(本小題18分)

已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在區(qū)間[0,π2]上單調遞增，再從下面四個條件中選擇兩個作為已知，使得函數f(x)的解析式存在且唯一．

①x=5π6是f(x)的一個零點；

②f(x)的最大值是3；

③(7π6,?2)是函數f(x)圖象的一個最小值點；

④f(x)的圖象關于直線x=π對稱．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)參考答案1.B

2.D

3.A

4.B

5.B

6.A

7.C

8.C

9.D

10.D

11.?412.?2

13.π3

π14.(2,2)

3215.381516.解：(Ⅰ)因為|a|=6，|b|=8，a?b=16，a與b的夾角為θ，

所以cosθ=a?b|a||b|=166×8=13；

(Ⅱ)因為(2a?b)⊥(λa+5b)，

所以2λ17.(Ⅰ)解：因為a2?b2?c2+bc=0，所以b2+c2?a2=bc，

由余弦定理知，cosA=b2+c2?a22bc=bc2bc=12，

又A∈(0,π)，

所以A=π3．

(Ⅱ)證明：由正弦定理及3bcosB=csinB得，3sinBcosB=sinCsinB，18.解：(Ⅰ)因為f(x)=2cosx(3sinx+cosx)=23sinxcosx+2cos2x

=3sin2x+cos2x+1

=2sin(2x+π6)+1，

故函數f(x)的最小正周期T=2π2=π；

(Ⅱ)當0≤x≤π2時，π6≤2x+π6≤7π6，

故當19.解：(Ⅰ)θ=π2時，A(2,0)，B(32,12)，C(0,1)，

所以BA=(12,?12)，BC=(?32,12)；

所以AC邊上的中線為BD=12(BA+BC)=12(?1,0)=(?12,0)，

所以|BD|=12；

(Ⅱ)θ=π時，C(?1,0)，BC=(?52,?12)，

所以BA?BC=?20.解：(1)因為f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ<2,

所以?A≤f(x)≤A，即f(x)的最大值為A，最小值為?A，故②③矛盾；

若選①②：則A=3，又f(5π6)=3sin(5πω6+φ)=0，由于有兩個變量ω、φ，故不能唯一確定f(x)的解析式；若選①③：則A=2，又f(5π6)=2sin(5π6+φ)=0f(7π6)=2sin(7πω6+φ)=?2，

所以5π6+φ=kπ，k∈Z，且7πω6+φ=?π2+2k1π，k1∈Z，

所以ω=?32+6k1?3k(k1,k∈Z)，又函數在[0,π2]上單調遞增且ω>0，

所以ω≥π2ω>0，所以0<ω≤2，所以ω=32，5π6×32+φ=kπ，k∈Z，

則5π6×32+φ=kπ，k∈Z，解得φ=?5π4+kπ，k∈Z，

又|φ|<5，所以φ=?4，所以f(x)=2sin(32x?π4)，經檢驗符合題意；

若選①④：則f(5π6)=Asin(5πω6+φ)=0，f(π)=Asin(ωπ+φ)=A或f(π)=Asin(ωπ+φ)=?A，