數(shù)學(xué)湘教版自我小測(cè)：間接證明：反證法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測(cè)1．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中，下列作條件使用的是()．①結(jié)論相反的判斷,即假設(shè)②原命題的條件③公理、定理、定義④原結(jié)論A．①②B．①②④C．①②③D．②③2．用反證法證明命題“若a，b∈N，ab可以被7整除,則a，b中至少有一個(gè)能被7整除”，其假設(shè)正確的是(）．A．a(chǎn)，b都能被7整除B．a(chǎn)，b都不能被7整除C．a(chǎn)不能被7整除D．a(chǎn)，b中有一個(gè)不能被7整除3．有下列敘述：①“a＞b”的反面是“a＜b";②“x＝y(tǒng)”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)"；④“三角形的內(nèi)角中最多有一個(gè)鈍角”的反面是“三角形的內(nèi)角中沒有鈍角”，其中正確的敘述有()．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)4．設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，則a，b，c中至少有一個(gè)數(shù)不小于(）．A．eq\f(1，3）B．eq\f(1,2）C．eq\f(3，4)D．eq\f（2，5)5．用反證法證明：當(dāng)m為任何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程x2－5x＋m＝0與2x2＋x＋6－m＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根．6．已知函數(shù)f（x）＝ax＋eq\f(x－2,x＋1）（a＞1)．用反證法證明方程f(x）＝0沒有負(fù)數(shù)根．7．如圖所示，在△ABC中，AB＞AC，AD為BC邊上的高線，AM是BC邊上的中線,求證：點(diǎn)M不在線段CD上．8．如圖，已知平面α∩平面β=直線a，直線b?α，直線c?β，b∩a=A，c∥a.求證：b與c是異面直線．9．平面上有四個(gè)點(diǎn),任何三點(diǎn)不共線．證明:以每三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形．

參考答案1．C由反證法的定義可知①②③可作為條件使用．2．B“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”．3．B①錯(cuò)，應(yīng)為a≤b。②對(duì)．③錯(cuò)，應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或三角形的邊上．④錯(cuò)，應(yīng)為三角形的內(nèi)角中有2個(gè)或3個(gè)鈍角．4．A假設(shè)a，b,c中至少有一個(gè)數(shù)不小于x的反命題成立，即假設(shè)a，b，c都小于x，即a＜x,b＜x,c＜x,∴a＋b＋c＜3x。∵a＋b＋c＝1,∴3x＞1?！鄕＞eq\f(1,3)，若取x＝eq\f（1,3)就會(huì)產(chǎn)生矛盾．5．證明:假設(shè)兩個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝25－4m＜0,,Δ2＝1－8(6－m）＜0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞\f（25，4）,，m＜\f（47，8).）)∵eq\f(47,8）－eq\f(25,4）＝eq\f(47－50,8）＝－eq\f（3,8）＜0，∴eq\f（47，8）＜eq\f（25，4)?？芍鲜霾坏仁浇M無解,∴假設(shè)錯(cuò)誤，∴關(guān)于x的方程x2－5x＋m＝0與2x2＋x＋6－m＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根．6．證明：假設(shè)方程f(x）＝0有負(fù)數(shù)根，設(shè)為x0（x0≠－1）．則有x0＜0,且f(x0）＝0.∴＋eq\f（x0－2，x0＋1)＝0?＝－eq\f（x0－2，x0＋1）.∵a＞1，∴0＜＜1，∴0＜－eq\f(x0－2，x0＋1)＜1。解上述不等式，得eq\f（1，2）＜x0＜2.這與假設(shè)x0＜0矛盾,故方程f（x)＝0沒有負(fù)數(shù)根．7．證明：假設(shè)點(diǎn)M在線段CD上，則BD＜BM＝CM＜CD，且AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2.∴AB2＝BD2＋AD2＜BM2＋AD2＜CD2＋AD2＝AC2，即AB2＜AC2，AB＜AC.這與AB＞AC矛盾，∴點(diǎn)M不在線段CD上．8．證明：假設(shè)b，c不是異面直線，則①b∥c；②b∩c＝B。①若b∥c，∵a∥c,∴a∥b，與a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B,∵c?β，∴B∈β。又A∈β，A∈b，∴b?β.又b?α，∴α∩β＝b。又α∩β＝a，∴a與b重合．這與a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b與c是異面直線．9．證明：假設(shè)以每三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形都是銳角三角形，記這四個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，C，D,考慮點(diǎn)D在△ABC內(nèi)、外兩種情形．(1)如圖①,點(diǎn)D在△ABC內(nèi)．根據(jù)假設(shè)，圍繞點(diǎn)D的三個(gè)角都是銳角，從而得∠ADC＋∠ADB＋∠BDC＜270°。這與一個(gè)周角等于360°矛盾．（2)如圖②，點(diǎn)D在△ABC外．根據(jù)假設(shè)，△ABD中，∠BAD＜90°,△ABC中，∠ABC＜90°,△