2024年新高一數(shù)學初升高銜接《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》含答案解析

數(shù)學PAGE1數(shù)學第06講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．通過用不等式（組)表示實際問題，提升數(shù)學抽象與數(shù)學建模素養(yǎng)；2．通過比較兩個實數(shù)的大小、不等式性質(zhì)的應(yīng)用，提升邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)；3．運用不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題．知識點1不等關(guān)系與不等式1、不等式的概念（1）用數(shù)學符號“”“”“”“”“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等式關(guān)系，含有這些不等式號的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”連接的不等式叫嚴格不等式；用“≤”或“≥”連接的不等式叫非嚴格不等式．2、常見文字語言與符號語言之間的對應(yīng)關(guān)系文字語言大于、高于、超過小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超過符號語言3、用不等式組表示不等式關(guān)系當問題情境中包含兩個或兩個以上的不等式關(guān)系時，需要用不等式組來表示不等關(guān)系．知識點2等式性質(zhì)性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性可逆2傳遞性同向3可加、減性可逆4可乘性同向5可除性同向知識點3不等式性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c同向3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6正數(shù)同向可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7正數(shù)乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識點4比較大小的方法1、作差法、作商法是比較兩個實數(shù)（或代數(shù)式）大小的基本方法．①作差法的步驟：作差、變形、判斷差的符號、得出結(jié)論．②作商法的步驟：作商、變形、判斷商與1的大小、得出結(jié)論．2、介值比較法也是比較大小的常用方法，其實質(zhì)是不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a與c之間的值，此種方法的關(guān)鍵是通過恰當?shù)姆趴s，找出一個比較合適的中介值．3、平方法：對兩式先平方，再比較大?。咀⒁狻浚?）比較代數(shù)式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此時一定要保證代數(shù)式大于零；（2）作差時應(yīng)該對差式進行恒等變形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明顯看出其正負號為止；（3）作商法適合于冪式、積式、分式間的大小比較，作商后應(yīng)變形為能與“1”比較大小的式子，要注意營養(yǎng)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．考點一：用不等式（組）表示不等式關(guān)系例1．（23-24高一上·廣東深圳·月考）公司運輸一批木材，總重600噸，車隊有兩種貨車，A型貨車載重量30噸，型貨車載重量24噸，設(shè)派出A型貨車輛，型貨車輛，則運輸方案應(yīng)滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【變式1-1】（23-24高一上·貴州遵義·月考）持續(xù)的高溫干燥天氣導致某地突發(fā)山火，現(xiàn)需將物資運往滅火前線．從物資集散地到滅火前線-共，其中靠近滅火前線的山路崎嶇，需摩托車運送，其他路段可用汽車運送．已知在可用汽車運送的路段，運送的平均速度為，設(shè)需摩托車運送的路段平均速度為，為使物資能在1小時內(nèi)到達滅火前線，則x應(yīng)該滿足的不等式為（

）．A． B． C． D．【變式1-2】（22-23高一上·甘肅酒泉·期末）鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm，且體積不超過，設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為a，b，c（單位：cm），這個規(guī)定用數(shù)學關(guān)系式可表示為（

）A．且 B．且C．且 D．且【變式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）將一根長為的繩子截成兩段，已知其中一段的長度為m，若兩段繩子長度之差不小于，則所滿足的不等關(guān)系為（

）A． B．或C． D．考點二：比較實數(shù)（代數(shù)式）的大小例2.（23-24高一上·河南洛陽·期末）今年某地因天氣干旱導致白菜價格不穩(wěn)定，假設(shè)第一周、第二周的白菜價格分別為元斤、元斤，王大媽每周購買元的白菜，李阿姨每周購買斤白菜，王大媽和李阿姨兩周買白菜的平均價格分別記為，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定【變式2-1】（23-24高一上·江蘇常州·期末）設(shè)a，b，m都是正數(shù)，且，記，則（

）A． B． C． D．與的大小與的取值有關(guān)【變式2-2】（23-24高一上·陜西榆林·月考）設(shè)，比較與的大小【變式2-3】（23-24高一上·山東青島·月考）已知，，試比較與的大小；考點三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假例3.（23-24高一上·河北石家莊·月考）若，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【變式3-1】（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【變式3-2】（23-24高一上·吉林延邊·月考）（多選）下列結(jié)論錯誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式3-3】（23-24高一上·廣西賀州·期末）（多選）若，，則下列不等關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．考點四：利用不等式的性質(zhì)求范圍例4.（23-24高一上·陜西咸陽·月考）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4-1】（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·月考）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式4-2】（23-24高一上·河北石家莊·期中）已知，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【變式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式例5.（23-24高一上·河北保定·月考）設(shè)，，.(1)證明：；(2)若，證明.【變式5-1】（23-24高一上·陜西榆林·期中）證明下列不等式：(1)已知，求證：；(2)已知，求證：.【變式5-2】（23-24高一上·安徽蕪湖·月考）（1）已知，證明：；（2）若a，b，c為三角形的三邊長，則．【變式5-3】（23-24高一上·云南·月考）證明下列不等式：(1)若，求證：；(2)若，，，求證：．考點六：不等式性質(zhì)的實際應(yīng)用例6.（23-24高一上·四川南充·月考）火車站有某公司待運的甲種貨物1530噸，乙種貨物1150噸．現(xiàn)計劃用A，B兩種型號的貨箱共50節(jié)運送這批貨物．已知35噸甲種貨物和15噸乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨箱，25噸甲種貨物和35噸乙種貨物可裝滿一節(jié)B型貨箱，據(jù)此安排A，B兩種貨箱的節(jié)數(shù)，下列哪個方案不滿足：（

）A．A貨箱28節(jié)，B貨箱22節(jié) B．A貨箱29節(jié)，B貨箱21節(jié)C．A貨箱31節(jié)，B貨箱19節(jié) D．A貨箱30節(jié)，B貨箱20節(jié)【變式6-1】（22-23高一上·山東·月考）某化工廠制定明年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，受下面條件的制約：生產(chǎn)每袋需用4h；生產(chǎn)此產(chǎn)品的工人不超過200人，每個工人的年工作時間約為2100h；生產(chǎn)每袋需用原料20kg，年底庫存原料600t，明年可補充1200t；此產(chǎn)品今年銷售量是60000袋，預(yù)計明年的銷售量至少在今年的基礎(chǔ)上增長．根據(jù)這些數(shù)據(jù)條件可以預(yù)測明年的產(chǎn)量在（

）A．70000到75000袋之間 B．70000到80000袋之間C．80000到85000袋之間 D．80000到90000袋之間【變式6-2】（23-24高一上·全國·專題練習）王老師是高三的班主任，為了更好地督促班上的學生完成作業(yè)，王老師特地組建了一個學習小組的釘釘群，群的成員由學生、家長、老師共同組成．已知該釘釘群中男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)，女學生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)．則該釘釘群人數(shù)的最小值為（

）A．18 B．20 C．22 D．28【變式6-3】（23-24高一上·吉林長春·月考）不等關(guān)系是數(shù)學中一種最基本的數(shù)關(guān)系，生活中隨處可見.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假設(shè)全部溶解)，糖水變甜了.(1)請將這一事實表示為一個不等式.并證明這個不等式成立：(2)利用（1）中的結(jié)論證明：若為三角形的三邊長，則.一、單選題1．（22-23高一上·河北邢臺·月考）在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點150米以外（含150米）為安全區(qū)．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安全區(qū)，導火索的長度（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·云南昆明·期中）設(shè)，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定3．（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知，則下列一定成立的是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知實數(shù)a，b，則下列選項中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．（23-24高一上·河南駐馬店·期末）已知，則以下錯誤的是（

）A． B．C． D．6．（23-24高一上·山東菏澤·月考）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題7．（23-24高一上·山東日照·期末）若實數(shù)，，滿足且，，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·四川樂山·期中）下列不等式中，一定成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則三、填空題9．（23-24高一上·廣東韶關(guān)·月考）已知，則.（填“”，“”，或“”）10．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a，b，c為實數(shù)，能說明“若，則”為假命題的一組a，b，c的值是.11．（23-24高一上·山東菏澤·期中）“雙節(jié)”遇上亞運會，民宿成為潮流趨勢．民宿的改造中，窗戶面積與地板面積之比越大，采光效果越好．現(xiàn)有一所地板面積為180平方米的民宿需要同時增加窗戶和地板的面積，已知地板增加的面積是窗戶增加的面積的2倍，且民宿改造后的采光效果不遜于改造前，則改造前的窗戶面積最大為平方米．四、解答題12．（23-24高一上·福建泉州·月考）（1）已知，設(shè)，，比較與的大小；（2）證明：已知，且，求證：.13．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請將這一事實表示為一個不等式，不必證明.利用此結(jié)論證明：若為三角形的三邊長，則.（2）超市里面提供兩種糖：白糖每千克元，紅糖每千克元.小東買了相同質(zhì)量的兩種糖，小華買了相同價錢的兩種糖.請問誰買的糖的平均價格比較高？請證明你的結(jié)論.（物品的平均價格物品的總價錢物品的總質(zhì)量）第06講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．通過用不等式（組)表示實際問題，提升數(shù)學抽象與數(shù)學建模素養(yǎng)；2．通過比較兩個實數(shù)的大小、不等式性質(zhì)的應(yīng)用，提升邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)；3．運用不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題．知識點1不等關(guān)系與不等式1、不等式的概念（1）用數(shù)學符號“”“”“”“”“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等式關(guān)系，含有這些不等式號的式子，叫做不等式．（2）用“<”或“>”連接的不等式叫嚴格不等式；用“≤”或“≥”連接的不等式叫非嚴格不等式．2、常見文字語言與符號語言之間的對應(yīng)關(guān)系文字語言大于、高于、超過小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超過符號語言3、用不等式組表示不等式關(guān)系當問題情境中包含兩個或兩個以上的不等式關(guān)系時，需要用不等式組來表示不等關(guān)系．知識點2等式性質(zhì)性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性可逆2傳遞性同向3可加、減性可逆4可乘性同向5可除性同向知識點3不等式性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c同向3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6正數(shù)同向可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7正數(shù)乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識點4比較大小的方法1、作差法、作商法是比較兩個實數(shù)（或代數(shù)式）大小的基本方法．①作差法的步驟：作差、變形、判斷差的符號、得出結(jié)論．②作商法的步驟：作商、變形、判斷商與1的大小、得出結(jié)論．2、介值比較法也是比較大小的常用方法，其實質(zhì)是不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a與c之間的值，此種方法的關(guān)鍵是通過恰當?shù)姆趴s，找出一個比較合適的中介值．3、平方法：對兩式先平方，再比較大?。咀⒁狻浚?）比較代數(shù)式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此時一定要保證代數(shù)式大于零；（2）作差時應(yīng)該對差式進行恒等變形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明顯看出其正負號為止；（3）作商法適合于冪式、積式、分式間的大小比較，作商后應(yīng)變形為能與“1”比較大小的式子，要注意營養(yǎng)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．考點一：用不等式（組）表示不等式關(guān)系例1．（23-24高一上·廣東深圳·月考）公司運輸一批木材，總重600噸，車隊有兩種貨車，A型貨車載重量30噸，型貨車載重量24噸，設(shè)派出A型貨車輛，型貨車輛，則運輸方案應(yīng)滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得，，所以有.故選：B.【變式1-1】（23-24高一上·貴州遵義·月考）持續(xù)的高溫干燥天氣導致某地突發(fā)山火，現(xiàn)需將物資運往滅火前線．從物資集散地到滅火前線-共，其中靠近滅火前線的山路崎嶇，需摩托車運送，其他路段可用汽車運送．已知在可用汽車運送的路段，運送的平均速度為，設(shè)需摩托車運送的路段平均速度為，為使物資能在1小時內(nèi)到達滅火前線，則x應(yīng)該滿足的不等式為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意汽車所用時間加上摩托車所用時間小于1小時，即，故選：D．【變式1-2】（22-23高一上·甘肅酒泉·期末）鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm，且體積不超過，設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為a，b，c（單位：cm），這個規(guī)定用數(shù)學關(guān)系式可表示為（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【解析】由長、寬、高之和不超過130cm得，由體積不超過得.故選：C.【變式1-3】（22-23高一上·四川眉山·月考）將一根長為的繩子截成兩段，已知其中一段的長度為m，若兩段繩子長度之差不小于，則所滿足的不等關(guān)系為（

）A． B．或C． D．【答案】D【解析】由題意,可知另一段繩子的長度為.因為兩段繩子長度之差不小于，所以，化簡得：.故選：D考點二：比較實數(shù)（代數(shù)式）的大小例2.（23-24高一上·河南洛陽·期末）今年某地因天氣干旱導致白菜價格不穩(wěn)定，假設(shè)第一周、第二周的白菜價格分別為元斤、元斤，王大媽每周購買元的白菜，李阿姨每周購買斤白菜，王大媽和李阿姨兩周買白菜的平均價格分別記為，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】C【解析】由題意可得，，，，，，，．故選：C．【變式2-1】（23-24高一上·江蘇常州·期末）設(shè)a，b，m都是正數(shù)，且，記，則（

）A． B． C． D．與的大小與的取值有關(guān)【答案】A【解析】由，且，即，可得，即，故選：A.【變式2-2】（23-24高一上·陜西榆林·月考）設(shè)，比較與的大小【答案】【解析】，，，.【變式2-3】（23-24高一上·山東青島·月考）已知，，試比較與的大小；【答案】（當且僅當時取等號）【解析】由題意，由立方和公式，可得分子，將其代入原式得，進一步對其分子利用基本不等式可得，且等號成立當且僅當，將其代入原式得，綜上所述（當且僅當時取等號）.考點三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假例3.（23-24高一上·河北石家莊·月考）若，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，D正確；當時，滿足，但是，A,C不正確；當時，滿足，但是，B不正確；故選：D【變式3-1】（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】B【解析】對于A：當時，，若，則，故A錯誤；對于B：因為，所以，即，所以，故B正確；對于C：當，，，時，滿足，，但是，故C錯誤；對于D：當時，，故D錯誤.故選：B【變式3-2】（23-24高一上·吉林延邊·月考）（多選）下列結(jié)論錯誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AB【解析】取可得，，但，A錯誤；取可得，，但，B錯誤；因為，又，所以，故，C正確；由，可得，所以，D正確；故選：AB.【變式3-3】（23-24高一上·廣西賀州·期末）（多選）若，，則下列不等關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】對A,，，由不等式性質(zhì)易知，故A正確；對B,，,則，故B正確；對C,，，由不等式性質(zhì)易知，故C錯誤；對D,若，則,故D正確.故選：ABD.考點四：利用不等式的性質(zhì)求范圍例4.（23-24高一上·陜西咸陽·月考）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，所以，故選：D【變式4-1】（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·月考）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，則有，將不等式的兩邊同時乘，可得，所以.故選：B．【變式4-2】（23-24高一上·河北石家莊·期中）已知，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，，得，即，，所以，即，故選：D【變式4-3】（23-24高一上·吉林四平·期中）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，所以，解得，于是又，，所以，即.故．故選：D．考點五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式例5.（23-24高一上·河北保定·月考）設(shè)，，.(1)證明：；(2)若，證明.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】（1）證明:∵，∴.a，b，c不同時為，則，∴；（2）.∵，取等號的條件為，而，∴等號無法取得，即，又，∴，∴.【變式5-1】（23-24高一上·陜西榆林·期中）證明下列不等式：(1)已知，求證：；(2)已知，求證：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】（1），即，，則.（2），，，則，【變式5-2】（23-24高一上·安徽蕪湖·月考）（1）已知，證明：；（2）若a，b，c為三角形的三邊長，則．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1），由，得，而，，，則，所以．（2）為的三邊長，則有，，，由（1）知：，，，將以上不等式左右兩邊分別相加得：，所以．【變式5-3】（23-24高一上·云南·月考）證明下列不等式：(1)若，求證：；(2)若，，，求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】（1）證明：因為，又因為，所以，所以．（2）證明：由，因為，，所以，，，，所以，．因為，所以又因為，所以，即．考點六：不等式性質(zhì)的實際應(yīng)用例6.（23-24高一上·四川南充·月考）火車站有某公司待運的甲種貨物1530噸，乙種貨物1150噸．現(xiàn)計劃用A，B兩種型號的貨箱共50節(jié)運送這批貨物．已知35噸甲種貨物和15噸乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨箱，25噸甲種貨物和35噸乙種貨物可裝滿一節(jié)B型貨箱，據(jù)此安排A，B兩種貨箱的節(jié)數(shù)，下列哪個方案不滿足：（

）A．A貨箱28節(jié)，B貨箱22節(jié) B．A貨箱29節(jié)，B貨箱21節(jié)C．A貨箱31節(jié)，B貨箱19節(jié) D．A貨箱30節(jié)，B貨箱20節(jié)【答案】C【解析】設(shè)A、B貨箱分別有x，y節(jié)，則，A：共50節(jié)且，，滿足；B：共50節(jié)且，，滿足；C：共50節(jié)且，，不滿足；D：共50節(jié)且，，滿足；故選：C.【變式6-1】（22-23高一上·山東·月考）某化工廠制定明年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，受下面條件的制約：生產(chǎn)每袋需用4h；生產(chǎn)此產(chǎn)品的工人不超過200人，每個工人的年工作時間約為2100h；生產(chǎn)每袋需用原料20kg，年底庫存原料600t，明年可補充1200t；此產(chǎn)品今年銷售量是60000袋，預(yù)計明年的銷售量至少在今年的基礎(chǔ)上增長．根據(jù)這些數(shù)據(jù)條件可以預(yù)測明年的產(chǎn)量在（

）A．70000到75000袋之間 B．70000到80000袋之間C．80000到85000袋之間 D．80000到90000袋之間【答案】D【解析】設(shè)明年的產(chǎn)量為袋，則，所以，故可以預(yù)測明年的產(chǎn)量在80000到90000袋之間，故選：D.【變式6-2】（23-24高一上·全國·專題練習）王老師是高三的班主任，為了更好地督促班上的學生完成作業(yè)，王老師特地組建了一個學習小組的釘釘群，群的成員由學生、家長、老師共同組成．已知該釘釘群中男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)，女學生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)．則該釘釘群人數(shù)的最小值為（

）A．18 B．20 C．22 D．28【答案】C【解析】依題意，設(shè)教師、家長、女生、男生人數(shù)分別為，且，于是，則，又，解得，因此，此時，所以當時，，即該釘釘群人數(shù)的最小值為22.故選：C【變式6-3】（23-24高一上·吉林長春·月考）不等關(guān)系是數(shù)學中一種最基本的數(shù)關(guān)系，生活中隨處可見.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假設(shè)全部溶解)，糖水變甜了.(1)請將這一事實表示為一個不等式.并證明這個不等式成立：(2)利用（1）中的結(jié)論證明：若為三角形的三邊長，則.【答案】(1)，，證明見解析；(2)證明見解析；【解析】（1）糖水變甜了得出不等式，.證明：..，，.（2）設(shè)的三邊長分別為，則有，由（1）已證不等式可得：，，，將以上不等式左右兩邊分別相加得：，所以，.一、單選題1．（22-23高一上·河北邢臺·月考）在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點150米以外（含150米）為安全區(qū)．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安全區(qū)，導火索的長度（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知導火索的長度（單位：厘米），故導火索燃燒的時間為秒，人在此時間內(nèi)跑的路程為米，由題意可得.故選：B.2．（23-24高一上·云南昆明·期中）設(shè)，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.3．（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知，則下列一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，當，則，故A不正確；對于B，當時，由可得，故B不正確；對于C，當時，，故C不正確；對于D，因為恒成立，所以由可得，故D正確.故選：D.4．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知實數(shù)a，b，則下列選項中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對于A選項，，滿足，此時，不滿足，故A錯誤；對于B選項，，滿足，此時，不滿足，故B錯誤；對于C選項，，所以，故C正確；對于D選項，，滿足，此時，不滿足，故D錯誤，故選：C.5．（23-24高一上·河南駐馬店·期末）已知，則以下錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，對于A，，,,綜上可得，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，當時，，故D錯誤；故選：D.6．（23-24高一上·山東菏澤·月考）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，所以，解得，即可得，因為，，所以，故選：A．二、多選題7．（23-24高一上·山東日照·期末）若實數(shù)，，滿足且，，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】對于A，若，則，所以A錯誤