山西省呂梁市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試 數(shù)學(xué) 含解析

2024-2025學(xué)年呂梁市高三年級(jí)階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題（本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．答案一律寫在答題卡上）注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上．2．答題時(shí)使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．4．保持卡面清潔，不折疊，不破損．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解二次不等式化簡(jiǎn)集合，再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求出，再利用復(fù)模的運(yùn)算即可得解.【詳解】復(fù)數(shù)，所以.故選：A.3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶性、單調(diào)性的定義判斷．【詳解】選項(xiàng)A中是偶函數(shù)，BCD三選項(xiàng)中函數(shù)都是奇函數(shù)；在和上都是減函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，B錯(cuò)；結(jié)合冪函數(shù)性質(zhì)知是減函數(shù)，C正確；中，設(shè)，則，而，因此，即，是增函數(shù)，D錯(cuò)．故選：C．4.已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，設(shè)甲：；乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先驗(yàn)證甲是否能推出乙，再驗(yàn)證乙是否能推出甲求解.【詳解】驗(yàn)證甲是否能推出乙，甲的意思是該數(shù)列隔項(xiàng)成等比數(shù)列，甲可構(gòu)造數(shù)列，顯然甲推不出乙，驗(yàn)證乙是否能推出甲，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，，所以，所以乙能推出甲，所以甲是乙的必要不充分條件.故選：B.5.已知滿足，，且向量在向量上的投影向量為，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】令，過作于，利用投影向量的意義求出，再利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出，由給定向量等式確定點(diǎn)的位置即可求解.【詳解】在中，令，過作于，，由向量在向量上的投影向量為，得，解得，則，由，得，解得，由，得，即，因此，在中，.故選：C6.如圖，設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，把沿向折疊，折過去后交于點(diǎn)，記的周長(zhǎng)為，面積為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，利用三角形全等得到的周長(zhǎng)為4，再利用勾股定理得出關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而得到關(guān)于的表達(dá)式，利用換元法與基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)榫匦蔚闹荛L(zhǎng)為，設(shè)，則，故，得，因?yàn)?，，，所以，設(shè)，則，所以的周長(zhǎng)為，在直角中，由勾股定理得，解得，則，所以，令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：A.7.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)條件得到的周期和對(duì)稱軸，對(duì)A，根據(jù)周期可得到，再根據(jù)對(duì)稱軸得到，結(jié)合解析式即可求解；對(duì)B，根據(jù)周期可得到，再根據(jù)對(duì)稱軸得到，結(jié)合解析式即可求解；對(duì)C，D，結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性和的對(duì)稱性即可判斷.【詳解】偶函數(shù)，，即，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，又為奇函數(shù)，，故，即的最小正周期為4，對(duì)A，的最小正周期為4，，又關(guān)于對(duì)稱，，當(dāng)時(shí)，，則，即，故A錯(cuò)；對(duì)B，的最小正周期為4，，又關(guān)于對(duì)稱，，當(dāng)時(shí)，，即，故，故B錯(cuò)；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，易知在上單調(diào)遞增，又關(guān)于對(duì)稱，，，，即，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，且，故，故D對(duì).故選：D.8.當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分別作出與的圖象，可得，從而可求解.【詳解】由，如圖所示，畫出在時(shí)的圖象，對(duì)于，，，令，得，，得，，由與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，由圖知，解得，故B正確.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題正確的是（）A.B.C.在等差數(shù)列中，，，，則D.在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于AB，由弦切互化結(jié)合三角恒等變換公式即可計(jì)算求解；對(duì)于CD，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式即可計(jì)算求解.【詳解】A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，在等差數(shù)列an中，，，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，兩式相減得，所以，則，所以，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，設(shè)等差數(shù)列an的公差為，則，即，兩式相減得，所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10.若實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】將等式變形為，利用可得選項(xiàng)A正確；通過配方得，利用可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；等式可變形為，利用可得選項(xiàng)C正確；通過配方可得，利用可得選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A，可化為，，∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），∴，∴，∴，選項(xiàng)A正確.對(duì)于B，由得，∴，∴，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于C，由得，∴，∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），∴，∴，∴，選項(xiàng)C正確.D.由得，∴，∴.由得，∴，∴，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.有兩個(gè)零點(diǎn)C.D.若，，，則【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，求出定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，舉出反例得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，計(jì)算出，C正確；D選項(xiàng)，計(jì)算得到，在C選項(xiàng)基礎(chǔ)上求出D正確.【詳解】A選項(xiàng)，定義域?yàn)?，，故在上單調(diào)遞減，不妨取，此時(shí)滿足，但，，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，上單調(diào)遞減，其中，，，，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得，故有兩個(gè)零點(diǎn)，B正確；C選項(xiàng)，，而，故，C正確；D選項(xiàng)，，又，，且，，，結(jié)合C選項(xiàng)知，，則，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：互為倒數(shù)關(guān)系，從而研究得到，并由此得出D選項(xiàng)的思路，由求出.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，且，則______．【答案】【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】由向量，，則，又，則，解得，故答案為：13.對(duì)于數(shù)列，定義數(shù)列為數(shù)列的“和數(shù)列”，若，數(shù)列的“和數(shù)列”的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前21項(xiàng)和______．（結(jié)果保留指數(shù)形式）【答案】．【解析】【分析】利用等比數(shù)列求和公式求解即可．【詳解】因?yàn)?，?shù)列an的“和數(shù)列”的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列，，故答案為：．14.在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】本題根據(jù)余弦定理與正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到為，求出的范圍，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的特點(diǎn)，即可求得.【詳解】由題意，因?yàn)?，即由正弦定理可得，，所以或，，又，，，，，解得，，又因?yàn)?，令，則，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以則的取值范圍為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合考查了余弦定理、正弦定理以及對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，較為綜合.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，且的最小正周期為．（1）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，求的最小值；（2）若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)的最小正周期求得，利用三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得，再根據(jù)是偶函數(shù)來求得的最小值.（2）根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)求得.【小問1詳解】，由于的最小正周期為，所以，所以，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，由于是偶函數(shù)，所以，由于，所以時(shí)，取得最小值為.【小問2詳解】，由于，所以，所以.16.已知函數(shù)．（1）證明：曲線是軸對(duì)稱圖形；（2）若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明，即可說明曲線y=fx是軸對(duì)稱圖形；（2）首先求出，然后將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象在上有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合hx的圖象即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由函數(shù)，定義域?yàn)?，則，因此可得，故函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于，即曲線y=fx【小問2詳解】由，若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，則方程在上有三個(gè)實(shí)根，即在上有三個(gè)實(shí)根，令，則與hx的圖象在上有三個(gè)交點(diǎn)，又，當(dāng)或時(shí)，h′x<0則hx在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，h′x>0，則hx又，，，，因此可得hx結(jié)合圖象，要使與hx的圖象在上有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村需振興．為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，我市城市規(guī)劃管理局?jǐn)M將某鄉(xiāng)村一三角形區(qū)域規(guī)劃成休閑度假區(qū)，通過文旅賦能鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展．度假區(qū)按如圖所示規(guī)劃為三個(gè)功能區(qū)：區(qū)域規(guī)劃為露營(yíng)區(qū)，區(qū)域規(guī)劃為休閑垂釣區(qū)，區(qū)域規(guī)劃為自由活動(dòng)區(qū)．為安全起見，預(yù)在魚塘四周圍筑護(hù)欄．已知，，，為內(nèi)一點(diǎn)，．（1）當(dāng)時(shí)，求護(hù)欄的長(zhǎng)度（的周長(zhǎng)）；（2）若，求；（3）為了容納更多游客，露營(yíng)區(qū)的面積要盡可能大，求露營(yíng)區(qū)面積的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，在中，利用余弦定理即可求解得答案.（2）設(shè)銳角，在與中，利用正弦定理建立關(guān)系，再利用差角的正弦公式計(jì)算即得.（3）設(shè)，利用正弦定理求出，利用三角形面積公式建立關(guān)系，借助三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【小問1詳解】在中，由正弦定理得，即，解得，而為銳角，則，在中，由余弦定理得，即，所以的周長(zhǎng)，即護(hù)欄的長(zhǎng)度為.【小問2詳解】令銳角，則，在中，由正弦定理得，則，在中，由正弦定理得，則，于是，即，整理得，因此，所以.【小問3詳解】設(shè)，則，在中，由正弦定理得，則，于是的面積，而，則當(dāng)，即時(shí)，，所以露營(yíng)區(qū)面積的最大值為.18.已知函數(shù)．（1）令，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在使得，求證：．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）求出，分、和三種情況討論；（2）求出的極值點(diǎn)，求出，令，求出，求出，求出，求出，求出，說明只需證明，只需證明，令，利用導(dǎo)數(shù)即可證明.【小問1詳解】，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，存在兩根，，因?yàn)椋裕詴r(shí)，，所以單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【小問2詳解】，解得，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因，令，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以只需證明即可，所以只需證明，令，，令，函數(shù)定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（2）關(guān)鍵在于令，求出，說明只需證明.19.對(duì)于無窮數(shù)列，“若存在，必有”，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）若數(shù)列滿足判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？是否具有性質(zhì)？（2）把（1）中滿足性質(zhì)的從小到大一一列出，構(gòu)成新的數(shù)列，若，求證：；（3）對(duì)于無窮數(shù)列，設(shè)，若數(shù)列具有性質(zhì)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．（寫出表達(dá)式即可，結(jié)論不需要證明）【答案】（1）數(shù)列不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)；（2）證明見解析；（3）集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為.【解析】【分析】（1）結(jié)合an的通項(xiàng)公式，利用定義分別判斷an是否具有性質(zhì)和性質(zhì)；（2）先證明不可能為奇數(shù)，由此可得，由此證明，結(jié)合等比數(shù)列求和公式證明結(jié)論；（3）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)，得到數(shù)列的元素個(gè)數(shù)，從而證得結(jié)果；【小問1詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，均為奇數(shù)，故若存在，由題意可得，與為偶數(shù)矛盾，所以數(shù)列an不具有性質(zhì)；因?yàn)?，，且，，故?shù)列an具有性質(zhì)；【小問2詳解】因?yàn)?，，為偶?shù),時(shí),均為奇數(shù)，故由題設(shè)條件知不可能為奇數(shù)，又，，令，則；【小問3詳解】因?yàn)閿?shù)列an具有性質(zhì)，所以一定存在一組最小的，且，滿足，即，由性質(zhì)的定義可得，，，，，所以數(shù)列an中，從第項(xiàng)開始的各項(xiàng)呈現(xiàn)周期性規(guī)律為一個(gè)周期中的各項(xiàng)，所以數(shù)列an中最多有個(gè)不同的項(xiàng)