高等數(shù)學(xué)課件 D8-4多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法

第四節(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t機動目錄上頁下頁返回結(jié)束若定理中說明:例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則定理結(jié)論不一定成立.推廣:1)中間變量多于兩個的情形.例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束又如,當(dāng)它們都具有可微條件時,有注意:這里表示固定y

對x

求導(dǎo),表示固定v

對x

求導(dǎo)與不同,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.設(shè)解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:在這里，函數(shù)z

是通過三元函數(shù)z

=

f

(u,v,t)而成為t的一元復(fù)合函數(shù).因此，z對t的導(dǎo)數(shù)又稱為z對t

的全導(dǎo)數(shù).例4.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束與一元函數(shù)的微分形式不變性類似，多元函數(shù)全微分也有形式不變性.也就是說不論u，v是自變量還是中間變量，函數(shù)z

=

f(u,v)的全微分的形式是一樣的.即例6.,利用全微分形式不變性

解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束已知求內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t例如,2.全微分形式不變性不論u,v是自變量還是因變量,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束課外作業(yè):

P176.2，3（1），（2），5。思考與練習(xí)解答提示:

題1機動目錄上頁下頁返回結(jié)束……

題2機動目錄上頁下頁返回結(jié)束題3第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束

第八章第四節(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的微分法本節(jié)討論:1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,

方程當(dāng)C<0時,能確定隱函數(shù);當(dāng)C>0時,不能確定隱函數(shù);2)在方程能確定隱函數(shù)時,研究其連續(xù)性、可微性及求導(dǎo)方法問題.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1.

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件機動目錄上頁下頁返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)兩邊對x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.驗證方程在點(0,0)某鄰域可確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù)解:

令連續(xù),由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且機動目錄上頁下頁返回結(jié)束并求定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確機動目錄上頁下頁返回結(jié)束兩邊對x求偏導(dǎo)同樣可得則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2

利用公式設(shè)則機動目錄上頁