微專題3數列中的函數特征（原卷版）-三輪靶向復習專題

微專題3數列中的函數特征數列是以自變量為正整數集的一類特殊函數，是高中數學中的重要內容．借助數列的函數特性解決數列問題在一定程度上簡化運算，同時也對數列的幾何意義有更深刻的認識．借助函數的定義、圖象、性質以及構造函數幾種途徑研究和解決數列問題，對于解決數列通項、數列最值等問題有重要作用．數列是按照一定順序排列的一列數[1]．數列是一種特殊的函數，定義在正整數集或其有限子集．當自變量按照正整數從小到大依次取值時，對應的一列函數值為，對應的通項公式為．由此可見，任何數列問題都蘊含著函數的本質及意義，具有函數的一些固有特征．克萊因曾說：“函數是數學的靈魂．”函數思想是數學思想的重要組成之一，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題的思維策略．數列一直以來都是高考的重點內容，而數列與函數的綜合應用是高考命題的重點和熱點．因此我們在解決數列問題時，應充分利用函數相關知識，通過其概念、圖象和性質，將數列與函數聯(lián)系起來，探究它們間的內在聯(lián)系，從而有效的簡化數列問題，最終解決問題．以函數的概念、圖象、性質為工具，揭示函數思想在數列問題中的應用技巧．數列的函數特征數列的函數特征數列的周期性數列中的最值問題．.類型一數列的周期性數列{xn}滿足存在正整數M，T，使得對任意大于M的自然數n，都有xn＋T＝xn成立，則稱數列{xn}為周期數列，稱T為它的一個周期．周期數列往往以遞推式的形式給出，因此常常用遞推數列的知識研究數列的周期性．【例1】若，則該數列的前2012項的乘積A．3 B． C．2 D．1【變式11】在數列中，若存在非零整數，使得對于任意的均成立，那么稱數列為周期數列，其中叫數列的周期．若數列滿足且，且，，當數列的正周期最小時，該數列的前2012項的和是A．1344 B．2684 C．1342 D．2688【變式12】若數列滿足：存在正整數，對于任意正整數都有成立則稱數列為周期數列，周期為，已知數列滿足，則，有下列結論：①若，則可以取3個不同的值；②若，則數列是周期為3的數列；③對任意的且，存在，使得是周期為的數列；④存在且，使得數列是周期數列．其中正確的結論有①②③．類型二數列的單調性【例2】已知數列的前項和為，且（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若數列滿足，且是遞減數列，求實數的取值范圍．【變式21】已知數列是等比數列，且滿足，是數列的前項和，且，，．（1）求，的通項公式；（2）設，是數列的前項和．若對任意的正整數，恒成立，求實數的取值范圍．【變式22】已知數列的前項和為，且滿足．（1）求的通項公式；（2）設數列的前項和為，且，若不等式對任意正整數恒成立，求實數的取值范圍．【變式23】已知數列滿足，前項和滿足（1）求的通項公式；（2）求的通項公式；（3）設，若數列是單調遞減數列，求實數的取值范圍

類型三數列中的最值問題數列中的最值問題一般涉及到求數列{an}項的最值，前n項和Sn的最值及序號n的最值．求解數列最值的常用方法有：(1)等差數列an是關于n的一次函數，當d＝0時，Sn＝na1為一次函數；當d≠0時，Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n是二次函數，用二次函數最值問題的求解方法求Sn的最值問題；(2)當a1＞0，d＜0時，有an≥0成立的最大自然數時的n使得Sn最大；當a1＜0，d＞0時，有an≤0成立的最大自然數時的n使得Sn最??；(3)先用比較法證明數列{an}的單調性，然后利用單調性求{an}的最值；(4)構造函數，利用基本不等式求最值．【例3】數列的首項為1，且滿足，（1）求、的值；（2）若為單調遞增數列，求的通項；（3）設，為數列的前項和，求的最小值．【變式31】已知數列滿足，是的前項之和，且．（1）求數列的通項公式；（2）求函數的最大值及此時的值．

【變式32】已知數列是首項，公差為2的等差數列，數列滿足；（1）若、、成等比數列，求數列的通項公式；（2）若對任意都有成立，求實數的取值范圍；（3）數列滿足，其中，，當時，求的最小值．【變式33】已知等差數列中，，，數列的前項和為，且．（1）求，；（2）若，求數列的前項和；（3）當時，求的最小值和最大值．

1．已知數列的首項，前項和為，且．（Ⅰ）試判斷數列是否成等比數列？并求出數列的通項公式；（Ⅱ）記為數列的前項和，求的最小值．2．設數列滿足，，設．（1）求證：是等比數列；（2）設的前項和，求的最小值．

3．已知數列的前項和滿足，為常數，，（1）求的通項公式；（2）設，若數列為等比數列，求的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，，若數列的前項和為，且對任意的滿足，求實數的取值范圍．4．已知數列的各項均為正數，其前項和為，且與1的等差中項等于與1的等比中項．（1）求的值及數列的通項公式；（2）設，若數列是單調遞增數列，求實數的取值范圍．

5．已知數列滿足：，（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，若對任意，不等式恒成立，求實數取值范圍；（3）設，數