數(shù)學素材：第一講三相似三角形的判定及性質

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習題點撥探究1解：如果D，E交于BA，CA的延長線上,且DE∥BC,仍有△ADE∽△ABC.證明：在AB，AC上分別截取AD′＝AD，AE′＝AE，連接D′E′，則△AD′E′≌△ADE,∴∠AD′E′＝∠D.∴DE∥D′E′.又∵DE∥BC，∴D′E′∥BC?！咴凇鰽BC中，D′，E′分別是AB，AC邊上的點，且D′E′∥BC，∴△AD′E′∽△ABC。∴△ADE∽△ABC.探究2解：兩邊對應成比例，且夾角相等時，兩個三角形一定相似．已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中,∠A＝∠A′，eq\f(A′B′，AB)＝eq\f(A′C′,AC）.求證：△ABC∽△A′B′C′。證明：如圖，在△ABC的邊AB、AC（或它們的延長線)上截取AD＝A′B′，AE＝A′C′，連接DE，因為∠A＝∠A′，所以△ADE≌△A′B′C′.由條件eq\f(A′B′，AB)＝eq\f(A′C′，AC)以及AD＝A′B′,AE＝A′C′,有eq\f（AD,AB)＝eq\f(AE,AC）.過D作直線DE′∥BC，交AC于點E′，則eq\f（AD，AB）＝eq\f（AE′，AC）.所以eq\f(AE，AC)＝eq\f（AE′，AC).所以AE＝AE′。因此點E與點E′重合，即直線DE′與直線DE重合．所以DE∥BC.由預備定理可知，△ABC∽△ADE,所以△ABC∽△A′B′C′.探究3證明：在AB上截取AD＝A′B′，過D作DE∥BC,交AC于點E。∴△ADE∽△ABC?！鄀q\f（AD,AB）＝eq\f(AE,AC),即eq\f(AC，AB）＝eq\f（AE,AD)。又∵eq\f(A′B′，AB)＝eq\f（A′C′，AC），即eq\f(AC，AB)＝eq\f(A′C′，A′B′)，∴eq\f（AE，AD）＝eq\f（A′C′,A′B′).又∵AD＝A′B′，∴AE＝A′C′.∵∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′?！唷鰽BC∽△A′B′C′。思考1解：與一般三角形相比，直角三角形有一個角為直角，三邊長滿足勾股定理等特殊的邊角關系．這種關系可以使判定兩個直角三角形相似的條件得到簡化．思考2解：兩個相似三角形的外接圓的直徑比、周長比、面積比，內切圓的直徑比、周長比、面積比都與相似比有關．習題1.31．證明:如圖，∵四邊形BCED為圓內接四邊形，∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC?！唷鰽DE∽△ACB?！鄀q\f(AD，AC)＝eq\f(AE，AB).點撥：本題應用相似三角形判定及性質可得結論．2．證明：(1）如圖，∵四邊形ABCD是圓內接四邊形,∴∠ABE＝∠ACD.又∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD?！鄀q\f(AB,BE）＝eq\f（AC，CD).∴AB·CD＝AC·BE。（2)∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠ADE＝∠ACB。又∠CAD＝∠BAE,∴∠CAD＋∠EAC＝∠BAE＋∠EAC，即∠EAD＝∠BAC?！唷鱁AD∽△BAC.∴eq\f(AD,ED）＝eq\f（AC，BC）?！郃D·BC＝AC·ED.點撥：本題要注意作出標準的圖形,應用三角形相似的判定定理和性質定理得出結論．3．解：若△ABC∽△A′B′C′，則eq\f（AB,A′B′)＝eq\f(AC，A′C′)，∴eq\f(a,a′）＝eq\f（b,A′C′)?！郃′C′＝eq\f(a′b，a)?！喈擜′C′＝eq\f(a′b，a）時，△ABC∽△A′B′C′。點撥:本題先應用三角形相似的判定定理得到△ABC∽△A′B′C′，然后再應用三角形相似的性質定理得出結論．4．作法：(1)作線段B′C′，使B′C′＝eq\f（3，2）BC;（2）以B′為頂點，B′C′為始邊作∠D′B′C′＝∠B；(3)在B′D′上截取線段B′A′，使B′A′＝eq\f（3,2）AB；(4）連接A′C′，則△A′B′C′為所作三角形．5．證明:∵EF∥AD∥BC，∴eq\f（GE,GB）＝eq\f（EF，BC)，eq\f（HE,HA)＝eq\f（EF,AD）.∵AD＝BC，∴eq\f(GE，GB）＝eq\f(HE,HA）?！鄀q\f（GE,BE)＝eq\f(HE,AE)。又∵∠AEB＝∠HEG,∴△AEB∽△HEG.∴∠ABE＝∠HGE.∴GH∥AB。6．證明:∵DE∥AB，∴eq\f(DE，AB)＝eq\f(OE,OB)。又∵EF∥BC，∴eq\f（EF，BC)＝eq\f(OE,OB).∴eq\f（DE,AB)＝eq\f（EF，BC）.∵DE∥AB，∴∠OED＝∠OBA.又∵EF∥BC，∴∠OEF＝∠OBC.∴∠DEF＝∠ABC?！唷鱀EF∽△ABC.點撥:本題要注意三角形相似的判定方法的選擇．7．證明：在△ACD和△BCE中，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ACD＝∠BCE,∴△ACD∽△BCE?！鄀q\f（AD，BE）＝eq\f(AC，BC），即AD·BC＝BE·AC.8．方案1:(1）在地面上適當位置選取一點C,連接BC，測量出BC的距離；（2)在點C豎立一根垂直于地面的標尺桿；（3）在BC的延長線上取一點D，使點D、標尺桿的頂點E和樹尖在一條直線上；(4）測量CD的距離．在這個方案中，由于△DCE∽△DBA，而BC，CD，CE的長可以由測量而得,所以可以求出樹高AB的長．（沒有考慮測量儀的腳架高）方案2：(1）在地面上選取一點C，連接BC；(2）測出∠BCA；（3）在地面上選取一點D，使∠DCB＝∠BCA；(4)過D作BC的垂線，交BC于E；(5)測量DE，CE，BC的長，由這三個量可以求得AB的長．因為按方案2的實施,易知Rt△ABC∽Rt△DEC。（沒有考慮測量儀的腳架高)方案3：(1）把一面鏡子放在離樹am的點E處;（2）一個人望著鏡子后退到點D，這時恰好在鏡子里望到樹梢點A;(3)量得ED為bm，人的眼睛距地面的高度為cm，即可求AB的長．因為根據(jù)光學中的反射定律，知∠AEB＝∠CED，所以△ABE∽△CDE。9．證明：如圖，設△ABC∽△A′B′C′，相似比為k。（1）設AD是△ABC中BC邊上的中線，A′D′是△A′B′C′中B′C′邊上的中線．∵△ABC∽△A′B′C′，∴eq\f（AB，A′B′)＝eq\f(BC,B′C′).又∵D，D′分別為BC，B′C′的中點，∴eq\f(AB，A′B′)＝eq\f（BC,B′C′)＝eq\f（2BD，2B′D′)＝eq\f(BD，B′D′)。又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′?！鄀q\f（AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k，即相似三角形對應中線的比等于相似比．(2）設AE為△ABC中∠BAC的平分線，A′E′為△A′B′C′中∠B′A′C′的平分線．∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠BAC＝∠B′A′C′,∠B＝∠B′?！摺螧AE＝eq\f（1，2）∠BAC，∠B′A′E′＝eq\f(1,2)∠B′A′C′，∴∠BAE＝∠B′A′E′.∴△ABE∽△A′B′E′.∴eq\f(AE,A′E′)＝eq\f(AB，A′B′）＝k。故相似三角形對應角平分線的比等于相似比．10．解：在△AEF和△CDF中，∵∠FAE＝∠FCD，∠AFE＝∠CFD，∴△AEF∽△CDF.∴eq\f（△AEF的周長,△CDF的周長）＝eq\f(AE,CD)＝eq\f（AE，AB)＝eq\f(1，3）.∴eq\f(S△AEF，S△CDF)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（AE，CD))）2＝eq\f(1，9）。而S△AEF＝6，∴S△CDF＝9S△AEF＝9×6＝54(cm2）．11．問題1：相似三角形對應角的外角平分線之比等于相似比．證明：設△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分別是∠A、∠A′的外角平分線,分別交BC、B′C′的延長線于D、D′?！摺鰽BC∽△A′B′C′,∴∠BAC＝∠B′A′C′.又∵∠BAC＋∠1＋∠2＝∠B′A′C′＋∠3＋∠4＝180°,而∠1＝∠2，∠3＝∠4,∴∠1＝∠3。∴∠BAD＝∠B′A′D′.又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′。∴eq\f（AD，A′D′)＝eq\f(AB,A′B′）,即相似三角形對應角的外角平分線之比等于相似比．問題2：已知△ABC∽△A′B′C′，以△ABC，△A′B′C′的三條邊為直徑,分別向△ABC,△A′B′C′外作半圓（如圖），則兩個三角形中三個對應半圓的面積之比等于相似比的平方．說明：將三個半圓改為三個等邊三角形、正方形、正多邊形等，可以得到更多的命題．問題3:已知△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，eq\f(BD，CD)＝eq\f(B′D′,C′D′)，則eq\f（AD，A′D′）＝k(如圖)．證明：∵eq\f（BD,CD)＝eq\f(B′D′，C′D′)，∴eq\f(BD,BD＋CD）＝eq\f（B′D′,B′D