2024學(xué)年成都市郫都區(qū)高二數(shù)學(xué)上期期中考試卷附答案解析

學(xué)年成都市郫都區(qū)高二數(shù)學(xué)上期期中考試卷說明：1．本卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時(shí)間120分鐘．2.所有試題均在答題卡相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答．第I卷（選擇題共58分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1．下列調(diào)查中，適合用普查的是（

）A．了解我省初中學(xué)生的家庭作業(yè)時(shí)間 B．了解“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星零部件的質(zhì)量C．了解一批電池的使用壽命 D．了解某市居民對(duì)廢電池的處理情況2．若隨機(jī)事件A，B滿足，，，則（

）A． B． C． D．3．年巴黎奧運(yùn)會(huì)中國代表隊(duì)獲得金牌榜第一，獎(jiǎng)牌榜第二的優(yōu)異成績(jī)．首金是中國組合黃雨婷和盛李豪在米氣步槍混合團(tuán)體賽中獲得，兩人在決賽中次射擊環(huán)數(shù)如圖，則（

）A．盛李豪射擊環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小于黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差B．黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的第百分位數(shù)為C．盛李豪的平均射擊環(huán)數(shù)超過D．黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差小于盛李豪射擊環(huán)數(shù)的極差4．下列命題中正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與所成角為D．若A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，已知O為空間任意一點(diǎn)，且，則5．平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為與的交點(diǎn)，則線段的長為（

）

A．3 B． C． D．6．如圖，一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)不大于4”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A．事件與互斥 B．C．事件兩兩獨(dú)立 D．7．鐘鼓樓是中國傳統(tǒng)建筑之一，屬于鐘樓和鼓樓的合稱，是主要用于報(bào)時(shí)的建筑．中國古代一般建于城市的中心地帶，在現(xiàn)代城市中，也可以常?？匆姼接戌姌堑慕ㄖ鐖D，在某市一建筑物樓頂有一頂部逐級(jí)收攏的四面鐘樓，四個(gè)大鐘對(duì)稱分布在正方體的四個(gè)側(cè)面中心位置（四個(gè)大鐘的鐘面圓心是正方體側(cè)面的中心），在整點(diǎn)時(shí)刻（在0點(diǎn)至12點(diǎn)中取整數(shù)點(diǎn)，含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），已知在3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線相互垂直，則在2點(diǎn)時(shí)和8點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．8．如圖，在長方體中，已知，．動(dòng)點(diǎn)P從出發(fā)，在棱上勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從B出發(fā)，在棱BC上勻速運(yùn)動(dòng)，P的運(yùn)動(dòng)速度是Q的兩倍，各自運(yùn)動(dòng)到另一端點(diǎn)停止．它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)直線PQ與平面ABCD所成的角為，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分）9．某中學(xué)三個(gè)年級(jí)學(xué)生共2000人，且各年級(jí)人數(shù)比例如以下扇形圖．現(xiàn)因舉辦校慶活動(dòng)，以按比例分配的分層抽樣方法，從中隨機(jī)選出志愿服務(wù)小組，已知選出的志愿服務(wù)小組中高一學(xué)生有32人，則下列說法正確的有（

）A．該學(xué)校高一學(xué)生共800人B．志愿服務(wù)小組共有學(xué)生96人C．志愿服務(wù)小組中高三學(xué)生共有20人 D．某高三學(xué)生被選入志愿服務(wù)小組的概率為10．下列對(duì)隨機(jī)事件A,B概率的說法正確的有（）A．B．C．D．11．若一個(gè)平面與棱長為2的正方體的六個(gè)面都相交，且它們相交所成的二面角分別為（），則下列說法正確的是（）A．B．C．若正方體的每條棱與平面所成角都相等，則平面截此正方體所得截面面積的最大值為D．若正方體的每個(gè)面與平面所成角都相等，則平面截此正方體所得截面面積的最大值為第II卷（非選擇題共92分）注意事項(xiàng)：必須使用0．5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指定的答題區(qū)域內(nèi)作答,作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0．5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚，答在試題卷上無效．填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨(dú)立，若甲、乙各射擊一次，則恰有一人中靶的概率為．已知一組數(shù)據(jù)，，．．．，的平均數(shù)為10，方差為2，若這組數(shù)據(jù)，，．．．，的平均數(shù)為，方差為，則=,=．兩條異面直線所成的角為，在直線上取點(diǎn)，在直線上取點(diǎn)，使，且．已知，則線段的長為．四、解答題（本大題共5小題共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．(本小題滿分13分)已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共4個(gè)，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍(lán)球的概率是．(1)求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)；(2)設(shè)置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．若取到兩個(gè)球顏色相同則甲勝，否則乙勝，從概率的角度判斷這個(gè)游戲是否公平，請(qǐng)說明理由．16．(本小題滿分15分)文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者．某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分分，成績(jī)均為不低于分的整數(shù)）分成六段：40,50，50,60，，90,100得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值及樣本成績(jī)的第百分位數(shù)；(2)求樣本成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；(3)已知落在50,60的平均成績(jī)是54，方差是，落在60,70的平均成績(jī)?yōu)?6，方差是，求兩組成績(jī)合并后的平均數(shù)和方差．17．(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)N到平面的距離；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．18．(本小題滿分17分)某班同學(xué)利用春節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)本地歲的人群隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，將生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖．序號(hào)分組（歲）本組中“低碳族”人數(shù)“低碳族”人數(shù)在本組所占的比例1[25,30)1200.62[30,35)195p3[35,40)1000.54[40,45)a0.45[45,50)300.36150.3人數(shù)統(tǒng)計(jì)表（二）各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖(1)在答題卡給定的坐標(biāo)系中補(bǔ)全頻率分布直方圖，并求出、、的值；(2)從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)．若將這6個(gè)人通過抽簽分成甲、乙兩組，每組的人數(shù)相同，求歲中被抽取的人恰好又分在同一組的概率．19．(本小題滿分17分)已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量的夾角，記作<>．定義與的“外積”為，且是一個(gè)向量，它與向量都垂直，它的模．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，為線段上一點(diǎn)，．(1)求的長；(2)若為的中點(diǎn)，求平面PEB與平面ABCD夾角的余弦值；(3)若為線段上一點(diǎn)，且滿足，求2024～2025學(xué)年度上期高二期中考試數(shù)學(xué)參考答案選擇題題號(hào)12345678答案BBACCDBD多選題題號(hào)91011答案ACACDBCD填空題0.46.=19,=8.(第一空2分，第二空3分）.（若只填了一個(gè)給2分）解答題(本小題滿分13分)解:（1）設(shè)盒中紅球、黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)分別為x，y，z，從中任取一球，得到紅球或黃球?yàn)槭录嗀，得到黃球或藍(lán)球?yàn)槭录﨎，則由已知得3分解得所以盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)分別是2，1，1.6分（2）由（1）知紅球、黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)分別為2個(gè)，1個(gè)，1個(gè)，用，表示紅球的編號(hào)，用表示黃球的編號(hào)，用表示藍(lán)球的編號(hào)，用表示第一次取出的球的編號(hào)，用表示第二次取出的球的編號(hào)，用表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，則樣本空間，．可得，9分記“取到兩個(gè)球顏色相同”為事件，“取到兩個(gè)球顏色不相同”為事件，則，所以，11分所以，12分因?yàn)?，所以此游戲不公平?3分(本小題滿分15分)解：（1）由每組小矩形的面積之和為1得，，解得.2分成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，顯然第百分位數(shù)，由，解得，所以第75百分位數(shù)為84.4分樣本成績(jī)的眾數(shù)為75.5分成績(jī)落在[40,70)內(nèi)的頻率為0.05+0.1+0.2=0.35,成績(jī)落在內(nèi)的頻率為,顯然中位數(shù)在[70,80)內(nèi)樣本成績(jī)的中位數(shù)為75.7分得樣本成績(jī)的平均數(shù)為74.10分（3）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，12分由樣本方差計(jì)算總體方差公式，得總方差為.15分17.(本小題滿分15分)解法一：過作，垂足為，則，1分如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，2分∵N為的中點(diǎn)，（1），設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，解得，4分5分即，又平面，6分所以平面；7分10分（3）存在，且，理由如下：假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，設(shè)，，則11分又因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，平面的一個(gè)法向量，，化簡(jiǎn)得，即，，故存在，且15分解法二:1分2分4分5分6分7分9分10分11分12分假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，設(shè)，，則13分故存在，且15分18.(本小題滿分17分)（1）結(jié)合頻率分布直方圖可知，第二組的頻率為，1分所以第二組高為．故補(bǔ)全頻率分布直方圖如下：2分結(jié)合人數(shù)統(tǒng)計(jì)表與頻率分布直方圖，可知第一組的人數(shù)為，頻率為，所以；5分因?yàn)榈诙M的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為，所以；7分因?yàn)榈谒慕M的頻率為，所以第四組的人數(shù)為，所以．10分（2）因?yàn)闅q年齡段的“低碳族”與歲年齡段的“低碳族”的比為，所以采用分層抽樣法抽取6人，則在歲中抽取4人，在歲中抽取2人．12分設(shè)年齡在中被抽取的4個(gè)人分別為：；年齡在歲中被抽取的2個(gè)人分別為：；15分記“歲中被抽取的人恰好有分在同一組”為事件C，16分所以.17分(本小題滿分17分)解法一由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DP所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，由已知，則,1分則，則，.2分3分由題意知,所以有，則，解得（舍去），故的長為.5分（2）由（1）知，,又為的中點(diǎn)，則，，6分設(shè)平面的法向量為，則，令，則.故平面的一個(gè)法向量為，8分10分（3）由（1）可得，由題意，設(shè)，，則11分