34指數函數與對數函數

考點3函數3.4指數函數與對數函數1．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學高二月考）若存在正數，使成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將給定不等式變形并分離參數，構造函數，再求其值域即可得解.【詳解】存在正數，成立成立成立，令，顯然在上單調遞增，，即值域為，依題意有，所以實數的取值范圍是.故選：C2．（2021·天津高二期末）已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，，，進而可得結果.【詳解】因為，所以．故選：B.3．（2020·天津市第一中學濱海學校高三月考）已知，，，則（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用根式的運算性質、指數函數、冪函數單調性可得a，b的大小關系，利用對數函數的單調性即可得出c＜1．【詳解】∵，且，∴，．∴．故選：D．4．（2020·天津耀華中學高三一模）已知，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數函數和指數函數的性質求解.【詳解】又則故選：A.5．（2013·天津高三一模（文））三個數，，的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由對數函數以及指數函數的單調性比較大小即可.【詳解】故選：D6．（2020·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學高一期中）已知奇函數，且在上是增函數.若，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定的奇偶性，然后由奇偶性和單調性比較大?。驹斀狻恳驗槭瞧婧瘮?，所以，是偶函數，，又，所以，即．故選：C．7．（2020·天津耀華中學高三期中）設.則a.b.c的大小關系是（）．A．a＞c＞b B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】A【分析】容易得出，從而可得出，，的大小關系．【詳解】，，；．故選：．【點睛】本題主要考查比較三個數的大小，解題時要認真審題，注意對數函數和指數函數的性質的合理運用，屬于基礎題.8．（2021·天津市第八中學高三月考）已知奇函數在R上是增函數，.若，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由奇函數在上是增函數，則偶函數，且在單調遞增，則，則，，即可求得【詳解】解：奇函數在上是增函數，當，，且，，則，在單調遞增，且偶函數，，則，，由在單調遞增，則，，故選：．【點睛】本題考查函數奇偶性，考查函數單調性的應用，考查轉化思想，屬于中檔題．9．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學高三開學考試）已知函數，且，，，則、、的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先確定函數的奇偶性與單調性，然后結合中間值0和1比較冪和對數的的大小，最后可得結論．【詳解】由題意知是偶函數，由復合函數單調性知在上，函數單調遞增，，，，，又，∴．故選：D【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性，考查冪與對數的比較大小，實質考查了指數函數與對數函數的性質，屬于中檔題．10．（2020·天津高一期末）當a>1時，在同一坐標系中，函數y＝a－x與y＝logax的圖象為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據指數函數和對數函數的圖像，即可容易判斷.【詳解】∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是減函數，y＝logax是增函數，故選：C.【點睛】本題考查指數函數和對數函數的單調性，屬基礎題.11．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學高二月考）設為偶函數，且當時，，則當時，（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用偶函數的定義經計算即可得解.【詳解】因為偶函數，且當時，，因此，當時，，，所以.故選：C12．（2020·天津高三二模）已知定義在上的奇函數，當時，是增函數，則，，的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數的奇偶性和單調性的性質進行轉化比較即可．【詳解】解：，是奇函數，，，，則，當時，是增函數，，即，故選：C．13．（2021·天津高二期末）下列函數中，既是奇函數又是單調遞增函數的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據函數的奇偶性與單調性分別判斷．【詳解】解：根據題意，依次分析選項：對于A，，為奇函數，但在其區(qū)間上為減函數，不符合題意；對于B，，其定義域為，不是奇函數，不符合題意；對于C，，是偶函數不是奇函數，不符合題意；對于D，，有，為奇函數，又是增函數，是減函數，所以是增函數．滿足題意．故選：D．14．（2021·天津高三其他模擬）已知是定義在上的偶函數且在區(qū)間上單調遞增，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，，結合函數的單調性，即可求解.【詳解】由題意，函數是定義在上的偶函數且在區(qū)間上單調遞增，可得函數在上單調遞減，因為，，因為是定義在上的偶函數，可得，所以.故選：B.15．（2021·天津高三三模）設，，，則，，的大小關系為（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數、對數函數性質并借助“媒介”數即可得解.【詳解】指數函數分別是R上的增函數和減函數，，則，對數函數在上單調遞增，，則，所以有，即.故選：D16．（2021·天津高三二模）已知，，，則a，b，c的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據指對數的性質，比較指數式、對數式的大小.【詳解】，∴.故選：A.17．（2021·天津高三二模）設，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據指數、對數及冪函數的性質判斷各數與“0，1”的大小關系即可.【詳解】，，而，所以，綜上：故選:C.18．（2020·天津）已知函數，，設為實數，若存在實數，使，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據已知條件求解出的值域以及的最小值，然后根據題意得到與值域的端點的大小關系，由此求解出的取值范圍.【詳解】因為，為實數，所以，因為，所以當時，的最小值為，因為函數的圖象如下圖，且，所以結合圖象可知值域為，因為存在實數，使，所以，即，故選：．【點睛】結論點睛：若，，有，則的值域是值域的子集．19．（2021·天津耀華中學高三二模）已知定義在上的偶函數在區(qū)間上遞減.若，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由是偶函數在上遞減，故在上遞增，然后比較的自變量，進而判斷得結果.【詳解】因為定義在R上的偶函數在區(qū)間上遞減，所以在上遞增，，，，因為，在上遞增，所以，即，故選:B.【點睛】方法點睛：本題考查了函數的基本性質，對于抽象函數，要靈活掌握并運用圖像與奇偶性、單調性等性質，要注意定義域，還應該學會解決的基本方法與技巧，如對于選擇題，可選用特殊值法、賦值法、數形結合等，應用分析、邏輯推理、聯想類比等數學思想方法.20．（2020·天津）函數的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據解析式判斷函數的奇偶性，結合函數值的符號是否對應，利用排除法進行判斷即可.【詳解】函數的定義域為，，則函數為偶函數，圖象關于軸對稱，排除，當時，，排除，當時，，排除，故選：D.【點睛】思路點睛：函數圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象.21．（2021·上海高三二模）函數在內單調遞增，則實數的取值范圍是__________.【答案】【分析】討論、、：顯然根據解析式知、，函數在內單調遞增；，利用基本不等式(注意等號成立的條件)，結合對勾函數的性質判斷函數的單調增區(qū)間，即可求a的范圍.【詳解】當時，在上，單調遞增，單調遞增，即單調遞增，符合題意；當時，在內單調遞增，符合題意；當時，，∴若，時，等號不成立，此時在內單調遞增，符合題意；若，時，若當且僅當時等號成立，此時在內單調遞增，不符合題意.綜上，有時，函數在內單調遞增.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：應用分類討論，當、時，根據函數解析式直接判斷單調性，當時，綜合應用基本不等式、對勾函數的性質判斷函數的單調區(qū)間，進而求出參數范圍.22．（2021·上海高三二模）已知函數的定義域為，函數是奇函數，且，若，則___________．【答案】【分析】通過計算可得．【詳解】因為是奇函數，所以，即，所以．故答案為：．23．（2021·山東高三一模）已知函數（），若對任意，，，總有，，為某一個三角形的邊長，則實數的取值范圍是______.【答案】【分析】由題意可得，對，，，總有恒成立，轉化為，根據單調性求函數最值即可.【詳解】由題意可得：對，，，總有恒成立，只需，①當時，，滿足題意；②當時，在上單調遞減，，故需，即；綜上所述，的取值范圍是．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：原問題對任意，，，總有，，為某一個三角形的邊長，轉化為對，，，總有恒成立，是解題的關鍵.24．（2019·山東高考模擬（文））若函數為偶函數，則__________．【答案】【分析】利用偶函數的定義求出的值，在進行對數運算即可答出答案.【詳解】函數為偶函數，則，即恒成立，所以，解得：則.故答案為：【點睛】本題主要考查了偶函數的性質，以及對數的運算，屬于基礎題.25．（2020·宜賓市敘州區(qū)第一中學校高三月考（文））已知函數，若（a），則實數的取值范圍是__.【答案】.【分析】判斷的單調性和奇偶性，脫去“”，即可求解實數的取值范圍【詳解】函數，定義域為，那么是奇函數；由函數函數在上單調遞減，函數在上為單調遞增函數由（a），即（a）得故答案為：.【點睛】本題主要考查利用函數奇偶性單調性解不等式，判斷函數的奇偶性和單調性是解答本題的關鍵，屬于綜合題.26．（2021·定遠縣育才學校高一開學考試）已知函數f(x)＝設a>b≥0，若f(a)＝f(b)，則b·f(a)的取值范圍是________.【答案】【分析】畫出的圖象，數形結合求得的范圍，將轉化為關于的函數，再求函數的值域即可.【詳解】畫出函數圖象如圖所示，由圖象可知要使a>b≥0，f(a)＝f(b)同時成立，則≤b<1.b·f(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)＝b2＋b＝，所以≤b·f(a)<2.故答案為：.【點睛】本題考查指數函數圖象的應用，本題中借助函數圖象求得參數范圍是重點，屬基礎題.27．（2020·全國高三其他模擬（理））已知函數，若，則__________．【答案】【分析】根據題意，由分段函數的解析式和，利用對數函數的運算可求出，再根據指數函數的運算即可求出.【詳解】解：由題可知，當時，，則，所以，由于，則.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數求值問題，涉及指對數函數的運算，屬于基礎題.28．（2020·全國高三專題練習（理））設偶函數滿足，則_____.【答案】【分析】，為增函數，且，則轉化為由偶函數的性質和單調性，計算即可得出結果．【詳解】解：因為偶函數滿足，由指數函數性質可知，，為增函數，令函數結合函數的單調性和奇偶性可知，或或，所以不等式解集為.故答案為：【點睛】本題主要考查函數的奇偶性和單調性在解不等式中的應用，屬中檔題．29．（2020·全國高一課時練習）已知函數的定義域和值域都是，則________．【答案】【分析】分和兩種情況分別討論函數的單調性，根據單調性結合定義域和值域先求出參數的值，在求.【詳解】當時，函數在上單調遞增，所以，即，此時方程組無解.當時，函數在上單調遞減，所以，即，解得：所以，則故答案為：.【點睛】本題考查根據指數型函數的單調性和值域求參數的值，進一步求函數的值，屬于中檔題.30．（2020·全國高三一模（理））已知函數，則滿足不等式的實數的取值范圍為_________.【答案】【分析】根據奇偶性定義判斷函數為偶函數，再判斷出在上為減函數，，從而將不等式轉化為，根據函數為偶函數可得，解不等式即可.【詳解】函數的定義域關于原點對稱，∵時，，，同理：，∴為偶函數.易知在上為減函數，且，即，即，根據偶函數的性質知當時，得.故答案為：【點睛】本題考查了利用分段函數的性質解不等式，需掌握奇偶性定義以及指數型函數的單調性，屬于中檔題.31．（2020·陜西高三二模（文））已知，，，則a，b，c的大小關系為___________.【答案】.【分析】通過中間量0和1，結合指對數函數的單調性即可得出答案.【詳解】，，，所以.故答案為：.32．（2021·全國高三其他模擬（文））已知，則___________.【答案】【分析】利用分段函數解析式先求，再計算即可.【詳解】由知，，故.故答案為：.33．（2021·黑龍江哈九中高三月考（文））已知函數，則不等式的解集為___________.【答案】【分析】確定函數的奇偶性與單調性，然后由奇偶性與單調性解不等式．【詳解】函數定義域是，，是偶函數，時，是減函數，又，所以由得，且，解得且．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題考查解函數不等式，解題關鍵是確定函數的奇偶性與單調性，然后利用函數的性質解不等式，解題時注意函數的定義域，否則易出錯．34．（2021·黑龍江鐵人中學高二期末（理））已知函數，則方程（是自然對數的底數）的實根個數為__________.【答案】6【分析】令，原方程可得，利用數形結合判斷與交點個數及交點橫坐標的范圍，再根據橫坐標判斷時交點的個數，即為實根的個數.【詳解】令，方程為：，即，與的性質如下：1、：在上單調遞增，值域為；上遞增,上遞減，值域為且、；上單調遞增，值域為；2、：過定點，定義域上單調遞減；∴可得函數圖象如下圖示，∴共有三個交點，橫坐標分別為，且，∴當，顯然無解；當時，有四個實根；當時，有兩個實根，∴如下圖示：一共有6個實根.故答案為：6【點睛】關鍵點點睛：令，原方程可得，討論與的性質并畫出函數圖象，根據交點橫坐標的范圍，應用數形結合判斷根的個數.35．（2021·山東高三一模）若函數在區(qū)間上的最大值是最小值的倍，則______.【答案】【分析】分析函數在區(qū)間上的單調性，可得出關于實數的等式，由此可解得實數的值.【詳解】，所以，函數在區(qū)間上為增函數，由已知條件可得，，，解得.故答案為：.36．（2021·全國高三專題練習）若函數滿足：（1）對于任意實數，當時，都有；（2），則___________.(答案不唯一，寫出滿足這些條件的一個函數即可)【答案】型的都對【分析】本題屬于開放性題，只需填寫符合題意的答案即可，依題意可以判斷函數在上單調遞增，又，（且，）即可得解；【詳解】解：對于任意實數，，當時，都有，說明該函數在上單調遞增，又對數函數滿足運算性質：，故可選一個遞增的對數函數：．故答案為：．