3.4一元一次方程的應用 導學案 2024-2025學年湘教版數(shù)學七年級上冊

3.4一元一次方程的應用第1課時和、差、倍、分問題一.學習目標1.會分析和、差、倍、分問題中量與量之間的關系，尋找等量關系，列出一元一次方程解簡單的應用題.2.通過列方程解決實際問題的過程,體會一元一次方程與實際生活的密切聯(lián)系,加強數(shù)學建模思想的應用意識.二.自主預習1．某校七年級1班共有學生48人，其中女生人數(shù)比男生人數(shù)的45多3A．22人 B．23人 C．24人 D．25人2．哥哥今年的年齡是弟弟的2倍，弟弟說：“六年前，我們倆的年齡和為15歲”，若用x表示哥哥今年的年齡，則可列方程（）A．x+x2=15C．(x-6)+三.探究新知探究一：和、差、倍、分問題問題1情景導入這道題目的相等關系是什么？問題2可以怎樣設未知數(shù)？問題3在這個問題中，全價票的票款一共是多少元？半價票的票款一共是多少元？問題4怎樣求出全價票和半價票各售出多少張？小結1.本題解題的關鍵在于根據(jù)已知條件確定兩者的數(shù)量關系，即“全價票款+半價票款=總票款”然后列出方程解題．2.運用一元一次方程模型解決實際問題的步驟：探究二：例題講解例某房間里有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個，如果椅子腿數(shù)與凳子腿數(shù)的和為60，試問，有幾張椅子和幾把凳子？小結列方程解應用題的一般步驟如下.設：即設出未知數(shù)（注意帶單位），可直接設，即問什么設什么，也可間接設.列：即列出方程，這是解題的關鍵，而列方程的關鍵是找到相等關系，把相等關系兩邊的量用數(shù)或含字母的代數(shù)式給表示出來就得到了方程.解：即求出方程的解.驗：此時要注意驗證其結果是否為方程的解且是否符合實際意義.答：即回答題中問題.四.運用新知1．盒子里有三種顏色的球共200個．黃球個數(shù)與紅球個數(shù)的比是2：3．紅球個數(shù)與白球個數(shù)的比是2：5，那么盒子里的紅球有個．2．一個兩位數(shù)，個位數(shù)比十位數(shù)字大4，而且這個兩位數(shù)比它的數(shù)字之和的3倍大2，則這個兩位數(shù)是．3．小遠在文具店買了一盒24色馬克筆和一種黑色中性筆6根，共用了27元．已知他買一盒馬克筆的錢比6根黑色中性筆的錢多3元．求該文具店中這種黑色中性筆的單價．4．一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大4，把個位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字對調，新的兩位數(shù)與原兩位數(shù)之和為110，求原兩位數(shù)是多少．五.達標測試1．小明出生時父親28歲，現(xiàn)在父親的年齡是小明年齡的3倍，現(xiàn)在父親的年齡是（）A．50歲 B．46歲 C．44歲 D．42歲2.甲乙兩人的年齡和是33歲，甲比乙大3歲，則甲的年齡是歲.3.某工廠去年的總產值是545萬元，比5年前產值的10倍還多18萬元，那么5年前這個廠的年產值是萬元.4.某縣舉行七年級數(shù)學知識搶答競賽，甲學校的代表參加比賽，比賽采取雙循環(huán)賽制，共比賽22場（勝一場得2分，負一場得1分），最終甲學校以總分40分獲得第一名，那么甲學校的勝場數(shù)為．5.甲、乙、丙三隊合修一條公路，計劃出280人，如果甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的一半，丙隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的2倍，那么三隊各出多少人？參考答案：1.D2.183.52.74.185.解：設乙隊出x人，則甲隊出x2人，丙隊出2x人依題意得x+x2＋2x＝280，解方程得x＝80，x2＝40，2x＝答：甲隊出40人，乙隊出80人，丙隊出160人.3.4一元一次方程的應用第2課時工程問題與行程問題一.學習目標1.掌握工程問題和行程問題中有關量的基本關系式,并會尋求相等關系列方程求解.2.通過列方程解決實際問題的過程,體會一元一次方程與實際生活的密切聯(lián)系,加強數(shù)學建模思想的應用意識.二.自主預習1．已知某座橋長800米，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全通過共用了1分鐘，這列火車完全在橋上的時間為40秒，則火車的速度是（）A．20米/秒 B．18米/秒 C．16米/秒 D．15米/秒2．制造一批零件，按計劃18天可以完成它的13．如果工作4天后，工作效率提高了15，那么完成這批零件的一半，一共需要【自主歸納】1.行程問題中的常用關系式：（1）速度×時間=路程；路程÷速度=時間；路程÷時間=速度;（2）速度和×時間=路程和；（3）速度差×時間=路程差.2.工程問題中的常用關系式：（1）工作總量÷工作效率=工作時間（2）工作總量÷工作效率和=合作時間三.探究新知探究一：行程問題為進一步感悟雷鋒胸懷祖國，服務人民的愛國精神，星期日早晨，小楠和小華分別騎自行車從家里同時出發(fā)去參觀雷鋒紀念館，已知他倆的家到雷鋒紀念館的路程相等，并且小楠每小時騎10km，他在上午10時到達，小華每小時騎15km，他在上午9時30分到達，他倆的家到雷鋒純念館的路程是多少？問題1這個問題中涉及哪些量？它們有什么數(shù)量關系？問題2本題的等量關系是什么？問題3這個題可以如何列方程？探究二：工程問題一份工作,甲單獨做需要m天完成,乙單獨做需要n天完成.求甲乙合作完成這份工作需要多少天?問題1若把工作總量設為1,則甲、乙的工作效率(一天完成的工作量)分別是多少？問題2若甲、乙合作x天，則甲、乙的工作量各是多少？甲乙合作的工作量是多少？問題3題目中的等量關系是什么？問題4你將如何得出問題的答案？小結：解決工程問題的基本思路：1.三個基本量：工作量、工作效率、工作時間.它們之間的關系是：工作量=工作效率×工作時間.2.相等關系：工作總量=各部分工作量之和.(1)按工作時間，工作總量=各時間段的工作量之和；(2)按工作者，工作總量=各工作者的工作量之和.3.通常在沒有具體數(shù)值的情況下，把工作總量看作1.探究三:例題講解例1甲、乙兩人在一條長400米的環(huán)形跑道上跑步，甲的速度為360米/分，乙的速度是240米/分．(1)兩人同時同地同向跑，問第一次相遇時，兩人一共跑了多少圈？(2)兩人同時同地反向跑，問幾秒后兩人第一次相遇？例2、刺繡是我國民間傳統(tǒng)手工藝之一.我國刺銹主要有湘繡、蘇繡、蜀繡、粵繡四大類.若刺繡一件作品，甲單獨繡需要15天才能完成，乙單獨繡需要12天才能完成，現(xiàn)在甲先單獨繡1天,接著乙又單獨繡4天，剩下的工作由甲、乙兩人合繡，試問：再合繡多少天可以完成這件作品？四.運用新知1.一項工程甲單獨做20天可以完成,乙單獨做30天可以完成.現(xiàn)在兩個人合作,但是乙中途因事離開幾天,從開工后14天把這項工作做完,則乙中途離開了()A.10天 B.9天 C.7天 D.5天2.甲乙兩人跑步，從同一地點出發(fā)，沿直線同向而行，甲的速度為10km/h，乙的速度為8km/h，乙先出發(fā)12小時，問甲出發(fā)小時，兩人相距2km3.一輛卡車從A地出發(fā)勻速開往B地，速度為40千米/時，卡車出發(fā)兩小時后，一輛出租車從B地出發(fā)勻速開往A地，卡車出發(fā)6小時，兩車同時到達各自的目的地（到達目的地后兩車都停止行駛）．解答下列問題：（1）出租車的速度為千米/時；（2）用含x（行駛的時間）的代數(shù)式表示兩車行駛的路程之和；（3）當兩車相距180千米時，求卡車行駛的時間．五.達標測試1．一項工程，甲單獨做需12天完成，乙單獨做需8天完成，現(xiàn)由甲先做2天，乙再加入合作，完成這項工程共需多少天？若設完成這項工程共需x天，依題意可列方程（）A．x12+x8C．2x+x2．一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以40km/h的速度前進，突然，6號隊員以50km/h的速度獨自行進，行進20km后掉轉車頭，仍以50km/h的速度往回騎，直到與其他隊員會合，設6號隊員從離隊開始到與隊員重新會合經過了xh，則x的值是（）A．32 B．12 C．133．我國元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中有這樣的記載：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，良馬數(shù)日追及之”．其大意是：跑得快的馬每天走240里，跑的慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬天可以追上慢馬．4．甲、乙兩列火車從相距60千米的兩站同時出發(fā)，同向而行，甲車在后，每小時行駛70千米，乙車在前，每小時行駛50千米，則經過小時后兩車相距20千米．5．制造一批零件，按計劃18天可以完成它的13．如果工作4天后，工作效率提高了15，那么完成這批零件的一半，一共需要6．某市今年進行煤氣工程改造，甲乙兩個工程隊共同承包這個工程．這個工程若甲隊單獨做需要10天完成；若乙隊單獨做需要15天完成．若甲乙兩隊同時施工4天，余下的工程由乙隊完成，問乙隊還需要幾天能夠完成任務？參考答案1.D2.D3.204.2或45.236.解：設甲乙兩隊同時施工4天后，余下的工程乙隊還需要x天能夠完成任務，根據(jù)題意得：410+解得：x＝5．答：乙隊還需要5天能夠完成任務．3.4一元一次方程的應用第3課時方案問題和調配問題一.學習目標1.掌握用一元一次方程解決方案問題、調配問題的方法.2.通過對具體實例的分析和對問題的解決,增強應用方程模型解決問題的意識和能力.二.自主預習1.在“踐行垃圾分類，助力雙碳目標”主題班會結束后，劉華和小燕子一起收集了一些廢電池，劉華說：“我比你多收集了7節(jié)廢電池．”小燕子說：“如果你給我8節(jié)廢電池，那么我的廢電池節(jié)數(shù)就是你的2倍．”如果他們說的都是真的，那么劉華和小燕子分別收集了多少節(jié)廢電池？解：設小燕子收集了x節(jié)廢電池，則劉華收集了節(jié)廢電池，根據(jù)題意得：，解得：，所以．答：劉華收集了節(jié)廢電池，小燕子收集了節(jié)廢電池．三.探究新知探究一：方案問題購買空調時，需要綜合考慮空調的價格和耗電情況.某人打算從兩款空調中選購一臺，如表是這兩款空調的部分基本信息.如果電價是0.5元/(kw?h)，請你分析他購買、使用哪款空調綜合費用較低.兩款空調的部分基本信息.匹數(shù)能效等級售價/元平均每年耗電量/kw?h1.51級30006401.53級2600800問題1在這個問題中，綜合費用=空調的售價+電費.選定一種空調后，售價是確定的，電費則與使用的時間有關.設空調的使用年數(shù)是t，則1級能效空調的綜合費用(單位:元)是.3級能效空調的綜合費用(單位:元)是，問題2t取何值時，兩款空調的綜合費用相等？問題3t取何值時，哪款空調綜合費用較低？探究二：調配問題3月12日植樹節(jié)，為貫徹“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)理念，學校組織植樹活動．已知在甲處植樹的有23人，在乙處植樹的有17人．現(xiàn)調20人去支援，使在甲處植樹的人數(shù)比乙處植樹人數(shù)的2倍多3人，求應調往甲處的人數(shù)．問題1若設應調往甲處x人，根據(jù)題意填寫表格.調配前人數(shù)調入人數(shù)調配后人數(shù)甲處23x乙處17問題2增派人數(shù)后甲處和乙處人數(shù)的數(shù)量關系是什么？可列出怎樣的等式?探究三：例題講解例1現(xiàn)有樹苗若干棵，計劃栽在一段公路的一側，要求路的兩端各栽1棵，并且相鄰兩棵樹的間隔相等．方案一：如果每隔5m栽1棵，則樹苗缺21棵；方案二：如果每隔5.5m栽1棵，則樹苗正好用完．根據(jù)以上方案，請算出原有樹苗的棵數(shù)和這段路的長度．分析觀察植樹示意圖，想一想：分析:問題1相鄰兩樹的間隔長與應植樹的棵數(shù)有什么關系？問題2相鄰兩樹的間隔長、應植樹棵數(shù)與路長有怎樣的數(shù)量關系？問題3設原有樹苗x棵，填寫下表:方案間隔/m種植的樹苗數(shù)路長/m一5二5.5x問題4兩種方案下路長相等嗎？根據(jù)路長關系列方程求解.答：兩種方案下路長是相等的.小結本題解決栽樹問題的栽樹棵樹和路長關系的運用，其中“栽樹的棵數(shù)＝分得的段數(shù)+1”和“路長＝（植樹棵數(shù)﹣1）×間隔長”，根據(jù)路的長度不變建立方程解決實際問題．例2甲班有45人，乙班有39人．現(xiàn)在需要從甲、乙班各抽調一些同學去參加“歌唱祖國”歌詠比賽．如果從甲班抽調的人數(shù)比乙班多1人，那么甲班剩余人數(shù)恰好是乙班剩余人數(shù)的2倍．請問：從甲、乙兩班各抽調了多少參加歌詠比賽？分析：本題中有如下的等量關系：甲班抽調的人數(shù)-乙班抽調的人數(shù)=1；抽調之后甲班剩余人數(shù)=乙班剩余人數(shù)×2.四.運用新知1.某車間有2個小組，甲組是乙組人數(shù)的2倍，若從甲組調12人到乙組，使甲組人數(shù)比乙組人數(shù)的一半還多3人，求原來甲乙兩組人數(shù).2.為進一步加強學生“學黨史、知黨情、跟黨走”的信心，培養(yǎng)學生的民族精神和愛國主義情懷，某學校組織開展以“觀看紅色電影，點燃紅色初心”為主題的教育活動．電影票價格表如下：購票張數(shù)1至4041至8080以上每張票的價格20元18元免2張門票，其余每張17元該校七年級兩個班共有83名學生去看電影，其中七（1）班的學生人數(shù)超過30，但不足40．（1）如果兩個班都以班為單位單獨購票，一共付了1572元．求七（2）班學生的人數(shù)；（2）在（1）所得的班級學生人數(shù)下，如果七（1）班有7名學生因有比賽任務不能參加這次活動，請你為兩個班級設計購買電影票的方案，并指出最省錢的方案．3.植樹節(jié)到了，全班45名同學分兩組植樹，要求甲組每人只挖5個坑不植樹，乙組每人挖3個坑并植樹7棵，問如何分配兩組的人數(shù)，才能使挖坑的數(shù)與植樹的棵數(shù)正好相等？五.達標測試1．某市對迎賓大道進行綠化，計劃把某一段公路的一側全部栽上桂花樹，要求路的兩端各栽一棵，