工程數(shù)學(xué) 課件 第1、2章 行列式、矩陣

第1章

行列式

第1節(jié)

行列式的定義第2節(jié)

行列式的性質(zhì)第3節(jié)

克萊姆法則

第1節(jié)

行列式的定義

一、

二階行列式

在初等代數(shù)中我們解過二元一次方程組

當(dāng)a11a22-a12a21≠0時，方程組有唯一解：

對于線性方程組（1。1），分別記

于是方程組（1。1）的解可表示為

定義1.1我們把式子

叫作二階行列式，其

中的數(shù)aij（i=1,2；j=1,2）稱為該行列式的元素，每個橫排稱為行列式的行，每個豎排稱為行列式的列。aij（i=1,2；j=1,2）就是從上到下第i行，從左到右第j列的元素。

在二階行列式中，用實線將a11、a22連接，用虛線將a21、a12連接（如圖1.1所示），實連接線稱為主對角線，虛連接線稱為次對角線（或副對角線），則二階行列式等于主對角線上兩元素的乘積減去次對角線上兩元素的乘積（這樣的記憶方式稱為對角線法則），即

圖1.1

例1.1

計算下列二階行列式。

二、

三階行列式

類似地，對于三元一次方程組

對于線性方程組（1.2），分別記

則在D≠0的情形下，線性方程組（1.2）的解可表示為

定義1.2我們把式子

叫作三階行列

式，其中的數(shù)aij=（i=1,2，3；j=1,2，3）稱為該行列式的元素。

等號右端稱為三階行列式的展開式。展開式一共有6項，3項為正，3項為負(fù)，每項均由位于不同行不同列的三個元素相乘得到。展開式可通過對角線法則記憶，如圖1.2所示，其中三條實線（主對角線）所連三個元素的乘積為正項，三條虛線（次對角線或副對角線）所連三個元素的乘積為負(fù)項。三階行列式的展開式，也可以按如圖1.3所示的方法記憶，圖1.3所示的對角線法則又稱為沙路法則。

圖1.2

圖1.3

例1.2求三階行列式

解

例1.3求解方程：

解

因為

所以

因此方程的解為

三、n

階行列式

根據(jù)二階和三階行列式的定義，我們給出n

階行列式的定義。

定義1.3將n2個數(shù)排成n行n列數(shù)表，并在左、右兩邊各加一豎線，記為Dn或D，即

稱為n階行列式。

四、余子式與代數(shù)余子式

定義1.4將n階行列式元素aij所在的第i行和第j列的元素去掉，余下的（n-1）2個元素組成的行列式叫作元素aij的余子式，記作Mij。將Aij=（-1）i+jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式。

定理1.1

n階行列式Dn等于它的任一行(列)元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即

可以按第i行展開為

也可以按第j列展開為

五、幾種特殊行列式

1.三角形行列式

定義1.5主對角線下方的元素全為0的行列式

稱為上三角形行列式；反之，主對角線上方的元素全為0的行列式

稱為下三角形行列式。上、下三角形行列式統(tǒng)稱為三角形行列式。

2.轉(zhuǎn)置行列式

定義1.6設(shè)n階行列式

把行列式D的行與相應(yīng)的列互換后得到行列式

稱其為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式，記作DT。

3.對稱行列式與反對稱行列式

定義1.7如果n階行列式中第i行、第j列的元素等于第j行、第i列的元素，即aij=aji，則稱這樣的行列式為對稱行列式。如果它的第i行、第j列的元素等于第j行、第i列的元素的相反數(shù)，即aij=-aji，則稱這樣的行列式為反對稱行列式。

第2節(jié)行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1.1任一行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即

推論1.1上（下）三角形行列式等于主對角線上的元素的乘積，即

性質(zhì)1.2互換行列式的兩行(列)，行列式改變符號。

第i行(列)和第j行(列)互換，記作ri?rj（ci?cj）

推論1.2如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式等于零。

性質(zhì)1.3行列式中某一行(列)的所有元素都乘同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。

第i行(列)乘k，記作ri×k(ci×k)。

例如，

推論1.3行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面。

第i行(列)提出公因子k，記作ri÷k（ci÷k）。

推論1.4如果行列式中有兩行(列)元素成比例，則此行列式等于零。

性質(zhì)1.4若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，則其等于兩個行列式之和，這兩個行列式的這一行(列)的元素分別為相應(yīng)的兩數(shù)中的一個，其余元素與原來行列式的對應(yīng)元素相同。

例如，

性質(zhì)1.5把行列式的某一行(列)的各元素乘同一個數(shù)然后加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。

數(shù)k乘第j行(列)加到第i行(列)，記作ri+krj（ci+kcj）

例如，

例1.6計算四階行列式

解方法一：利用行列式的性質(zhì)，將D化為上三角形行列式

方法二：利用D中a13=1，把第3列其余元素化為0之后，再按第3列展開，將D降為三階行列式。

第3節(jié)克萊姆法則對于包含n個未知數(shù)x1，x2，…，xn的n個方程所組成的方程組如果方程組的常數(shù)項全為0，則此方程組稱為齊次線性方程組；如果方程組的常數(shù)項不全為0，則此方程組稱為非齊次線性方程組?？巳R姆給出了上述方程組的求解方法，即克萊姆法則。

定理1.2（克萊姆法則）如果方程組（1.3）的系數(shù)行列式不等于零，即

那么方程組（1.3）有唯一解：

定理1.3若方程組（1.3）無解或有兩個以上的不同解，則它的系數(shù)行列式D=0。

定理1.4若方程組（1.3）的系數(shù)行列式D≠0，則對應(yīng)的齊次線性方程組有唯一的零解；反之，若齊次線性方程組有非零解，則D=0。

例1.8某物流公司有3輛汽車，如果這3輛汽車同時運送一批貨物，則一天共運8800噸；如果第1輛汽車運2天，第2輛汽車運3天，則共運貨物13200噸；如果第1輛汽車運1天，第2輛汽車運2天，第3輛汽車運3天，則共運貨物18800噸。問：每輛汽車每天可運貨物多少噸?

第2章

矩陣第1節(jié)

矩陣的概念第2節(jié)

矩陣的運算第3節(jié)

逆矩陣第4節(jié)

矩陣的初等變換及其應(yīng)用第5節(jié)

矩陣的秩

第1節(jié)矩陣的概念

一、矩陣的概念

引例2.1若有甲、乙、丙三家公司，在一段時期內(nèi)，這三家公司的成本明細(xì)如表2.1所示。

定義2.1由m×n個數(shù)aij(i=1,2，…，m；j=1,2，…，n)組成一個m行n列的矩形數(shù)表，稱其為m行n列矩陣，簡稱m×n矩陣。

矩陣常用大寫字母A,B,C,…表示，記作

其中aij(i=1,2,…，m；j=1,2,…,n)稱為矩陣A的元素。m×n矩陣A也可記為A=(aij)m×n或者Am×n。

二、幾種特殊的矩陣

以下列舉出幾種特殊的矩陣。

(1)零矩陣：所有元素都是零的矩陣。記作0或者0m×n。

(2)行矩陣和列矩陣：只有一行元素的矩陣稱為行矩陣(行向量)；只有一列元素的矩陣稱為列矩陣(列向量)。例如

(3)負(fù)矩陣：矩陣A的負(fù)矩陣就是矩陣A的所有元素都取相反數(shù)，記為-A。

(4)n階方陣：行數(shù)m等于列數(shù)n的矩陣稱為n階方陣，即n×n矩陣或n×n方陣。

(5)主對角線以下(上)元素全為零的方陣稱為上(下)三角形矩陣。

(6)除了主對角線上的元素以外，其余元素全為零的矩陣稱為對角矩陣。

(7)主對角線上的元素全相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣。

(8)主對角線上的元素全為1的數(shù)量矩陣稱為單位矩陣，n階單位矩陣記作En或In。

第2節(jié)矩陣的運算

一、矩陣相等設(shè)A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，則由矩陣相等的定義可以看出，矩陣A與矩陣B相等當(dāng)且僅當(dāng)A與B的行、列、對應(yīng)元素都相等。

二、矩陣加法

定義2.2已知兩個m×n矩陣A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，將對應(yīng)的元素相加得到一個新的m×n矩陣稱為矩陣A與B的和，記作A+B=aij+(bij)m×n。

矩陣加法滿足如下的運算規(guī)律：

(1)交換律：A+B=B+A；

(2)結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)；

(3)存在零矩陣：對任何矩陣A，都有A+0=A。

三、數(shù)乘矩陣

定義2.3已知數(shù)k和一個m×n矩陣A=(aij)m×n，將數(shù)k乘以矩陣A中的每一個元素，所得到的一個新的m×n矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的乘積，記作kA=(kaij

)

m×n。

四、矩陣乘法

先看一個實際的例子。

某鋼鐵生產(chǎn)企業(yè)7-9月份的生產(chǎn)原料：鐵礦石、焦炭、無煙煤的用量(噸)用矩陣A表示，三種原料的費用(元)用矩陣B表示。

五、矩陣轉(zhuǎn)置

定義2.5已知m×n矩陣

將矩陣A的行變成相應(yīng)的列，得到新的n×m矩陣，稱它為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作

如果A是一個n階方陣，且AΤ=A，則稱矩陣A為n階對稱矩陣。

可以證明，矩陣的轉(zhuǎn)置有如下性質(zhì)：

(1)(A+B)T=AT+BT；

(2)(AT)T=A；

(3)(kA)T=kAT(k為常數(shù))；

(4)(AB)T=BTAT。

六、方陣的行列式

定義2.6已知n階方陣將構(gòu)成n階方

陣的n2個元素按照原來的順序作一個n階行列式，這個n階行列式稱為n階方陣A的行列式，記作

第3節(jié)逆矩陣一、逆矩陣的概念及性質(zhì)1.逆矩陣的概念定義2.8已知n階方陣A，若存在n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱n階方陣A可逆，并稱n階方陣B是A的逆矩陣，記作A-1=B。由定義可知，矩陣A和它的逆矩陣B都是可逆的，并且A-1=B，B-1=A。注(1)可逆矩陣的逆是唯一的；(2)由于E·E=E，故單位矩陣E是可逆的，且E-1=E。

二、可逆矩陣的判定及求法

1.可逆矩陣的判定

定理2.1

n階方陣可逆的充分必要條件是A≠0.

定義2.9如果n階矩陣A的行列式A≠0，則稱其為非奇異矩陣；如果A=0，則稱其為奇異矩陣。

所以矩陣A不可逆。

第4節(jié)矩陣的初等變換及其應(yīng)用

一、矩陣的初等變換定義2.10矩陣的初等行變換是指對矩陣施行如下三種變換：(1)對換變換：交換矩陣的兩行(ri?rj)；(2)倍乘變換：用非零數(shù)k乘以矩陣的某一行(kri)；(3)倍加變換：把矩陣的某一行乘以數(shù)k后加到另一行上去(ri+krj)。

把定義2.8中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義(所用的記號是把“r”換成“c”)。

矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。如果矩陣A經(jīng)有限次的初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B等價，記作A~B。

矩陣之間的等價關(guān)系具有下面的性質(zhì)：

(1)反身性：A~A；

(2)對稱性：若A~B，則B~A；

(3)傳遞性：若A~B，B~C，則A~C。

二、階梯形矩陣和簡化階梯形矩陣

定義2.11滿足以下條件的矩陣稱為階梯形矩陣：

(1)各非零行的第一個非零元素(稱為該行的首非零元)所在的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大，即矩陣中每一行首非零元素必在上一行首非零元的右下方；

(2)當(dāng)有零行時，零行在非零行的下方。

定義2.12滿足以下條件的階梯形矩陣稱為簡化階梯形矩陣：

(1)各非零行的首非零元素都是1；

(2)各非零行首非零元素所在列的其他元素全為零。

定理2.3任何非零矩陣A經(jīng)過一系列初等行變換可化成階梯形矩陣，再經(jīng)過一系列初等行變換可化成簡化階梯形矩陣。

如何將矩陣化為階梯形和簡化階梯形矩陣?常常按下面的步驟進(jìn)行：

(1)讓矩陣最左上角的元素，通常是(1，1)元變?yōu)?(或便于計算的其他數(shù))；

(2)把第1行的若干倍加到下面各行，讓(1，1)元下方的元素都化為零；如果變換的過程中出現(xiàn)零行，就將它換到最下面；

(3)重復(fù)上面的做法，把(2，2)元下方的各元素都化為零，直到下面各行都是零行為止，得到階梯形矩陣；

(4)然后從最下面的一個首元開始，依次將各首元上方的元素化為零。

三、初等矩陣

定義2.13單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣。

三種初等變換得到如下的三種初等矩陣：

(1)初等互換矩陣E(i，j)：交換單位矩陣E的第i行和第j行；

(2)初等倍乘矩陣E(i(k))：用非零數(shù)k乘以單位矩陣E的第i行；

(3)初等倍加矩陣E(i，j(k))：把單位矩陣E的第j行的k倍加到第i行。

初等矩陣的行列式都不為零，因此都可逆：

定理2.4設(shè)A是一個m×n矩陣，對A施行一次初等行變換相當(dāng)于用同種類型的初等矩陣左乘A；對A施行一次初等列變換相當(dāng)于用同種類型的初等矩陣右乘A。

定理2.5設(shè)A是一個m×n

矩陣，那么存在m階初等矩陣P1，…，Ps和n階初等矩陣Q1，…，Qt，使得

推論2.1如果A和B都是m×n矩陣，那么A與B等價的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P

和n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B。

推論2.2可逆矩陣與單位矩陣等價。

推論2.3可逆矩陣可以表示成若干個初等矩陣的乘積。

四、初等變換求逆

設(shè)A是n階可逆矩陣，那么其逆A-1也是可逆矩陣.根據(jù)推論2.3，存在初等矩陣P1，…，Ps使A-1=P1P2…Ps，即

式(2.1)兩邊同時右乘A可變成

根據(jù)定理2.2，式(2.2)表示對A施行s次初等行變換，可以把A化為單位矩陣E，式(2.1)表示經(jīng)過同樣的初等變換可以把E化為A-1。那么我們作一個n×2n的矩陣(A，E)，對其僅作初等行變換(這時A和E作了相同的初等行變換)，當(dāng)A的部分化為E時，E的部分就化成了A-1。

這種方法稱為初等變換法求逆：.

還可以用同樣的方法求

在以上求逆和A-1B的運算中，不可以作初等列變換!但是可以通過初等列變換求逆和求BA-1：

例2.17用初等行變換求矩陣方程AX+B=X的解X，其中

解將方程變形為X-AX=B，即(E-A)X=B，故X=(E-A)-1B.由于

且|E-A|≠0，則

所以

所以

或者寫成

因此

如果AX=B中的B是一個列矩陣，那么AX=B是一個線性方程組.也就是A可逆時，可以用這種方法求解線性方程組。

注逆矩陣的計算方法有初等變換和伴隨矩陣兩種，初等變換法為基本方法，四階以上的矩陣一般用初等變換法。

第5節(jié)矩陣的秩

一、矩陣秩的定義及性質(zhì)1.矩陣秩的定義定義2.14從矩陣Am×n中任取k行和k列，用交叉位置上的元素并且保持相對位置不變，組成的k階行列式