2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.2.3向量的數(shù)乘運算同步練習含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價四向量的數(shù)乘運算(15分鐘30分)1.下列說法中正確的是 ()A.λa(λ∈R)與a的方向不是相同就是相反B.若a,b共線,則b=λa(λ∈R)C.若|b|=2|a|,則b=±2D.若b=±2a,則|b|=2|a【解析】選D.明顯b=±2a時,必有|b|=2|a2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則肯定共線的三點是 ()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D【解析】選A.++=a+2b+(-5a+6b)+(7a-2b)=3a+6b=3(a+2b)==3,所以A,B,D三點共線.3.(2024·銅仁高一檢測)在△ABC中,點D為AB邊上一點,且=QUOTE,則= ()A.QUOTE+QUOTE B.-QUOTE-QUOTEC.-QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】選A.因為=QUOTE,所以-=QUOTE,所以=QUOTE+QUOTE.【補償訓練】設D為△ABC所在平面內(nèi)一點,=3,則 ()A.=-QUOTE+QUOTEB.=QUOTE-QUOTEC.=QUOTE+QUOTED.=QUOTE-QUOTE【解析】選A.由題意知=+=+QUOTE=+QUOTE(-)=-QUOTE+QUOTE.4.如圖,M,N是△ABC的一邊BC上的兩個三等分點,若=a,=b,則=_.

【解析】由題意知,=QUOTE,而=-=b-a,所以=QUOTE(b-a)=QUOTEb-QUOTEa.答案:QUOTEb-QUOTEa5.已知向量a,b不共線,若向量a+λb與b+λa的方向相反,則λ等于.

【解析】因為向量a+λb與b+λa的方向相反,所以(a+λb)∥(b+λa),即存在一個負實數(shù)m,使得a+λb=m(b+λa),即(1-mλ)a=(m-λ)b.因為a與b不共線,所以1-mλ=m-λ=0,可得m=λ<0,所以1-λ2=0,所以λ=-1.答案:-16.化簡:(1)QUOTE×3a;【解析】(1)原式=QUOTEa=-a;(2)原式=2a-2b-b+QUOTEa=QUOTEa-3b;(3)原式=QUOTEa-QUOTEb+QUOTEc-QUOTEa-QUOTEb+QUOTEc=-QUOTEa-QUOTEb+QUOTEc.(4)原式=QUOTEa+QUOTEb=QUOTEa+QUOTEb.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.若=3e1,=-5e1,且||=||,則四邊形ABCD是 ()A.平行四邊形 B.菱形C.等腰梯形 D.不等腰的梯形【解析】選C.因為=-QUOTE,所以AB∥CD,且||≠|(zhì)|.而||=||,所以四邊形ABCD為等腰梯形.2.點P是△ABC所在平面內(nèi)一點,若=λ+,其中λ∈R,則點P肯定在 ()A.△ABC內(nèi)部B.AC邊所在的直線上C.AB邊所在的直線上D.BC邊所在的直線上【解析】選B.因為=λ+,所以-=λ.所以=λ.所以P,A,C三點共線.所以點P肯定在AC邊所在的直線上.3.已知a,b是兩個不共線的向量,=λ1a+b,=a+λ2b(λ1,λ2∈R),若A,B,C三點共線,則()A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0 D.λ1λ2-1=0【解析】選D.若A,B,C三點共線,則,共線,所以存在實數(shù)λ,使得=λ,即a+λ2b=λ(λ1a+b),即(λλ1-1)a=(λ2-λ)b,由于a,b不共線,所以1=λλ1且λ2=λ,消去λ得λ1λ2=1.4.(2024·濰坊高一檢測)△ABC內(nèi),點O滿意+2+3=0,直線AO交BC于點D,則下列正確的是 ()A.3+2=0 B.2+3=0C.-5=0 D.5+=0【解析】選B.因為+2+3=0,所以2(+)=-(+).設E,F分別為AC,BC的中點,則2·2=-2?=-2,所以O是線段EF的三等分點,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,因為OF∥AB,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以=-QUOTE?2+3=0,由QUOTE=QUOTE得QUOTE=QUOTE,所以=-QUOTE?+5=0.綜上分析可知,只有選項B正確.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.下列命題中,正確的是 ()A.0·a=0B.λμ<0,a≠0時,λa與μa的方向肯定相反C.若b=λa(a≠0),則QUOTE=λD.若|b|=|λa|(a≠0),則QUOTE=|λ|【解析】選BD.A錯誤,0·a=0;B正確,λμ<0知λ,μ符號相反;依據(jù)向量數(shù)乘的概念及其幾何意義可知,C錯誤,D正確.6.已知向量a,b是兩個非零向量,在下列四個條件中,能使a,b共線的條件是 ()A.2a-3b=4e,且a+2b=-3B.存在相異實數(shù)λ,μ,使λa+μb=0C.xa+yb=0(其中實數(shù)x,y滿意x+y=0)D.已知梯形ABCD中,=a,=b【解析】選AB.由A得10a-b=0,所以a,b共線;B明顯滿意條件;對于C,當x=y=0時,a,b不肯定共線;對于D,不肯定成立,也可能是BC∥AD,所以a,b不肯定共線三、填空題(每小題5分,共10分)7.設向量a=3i+2j,b=2i-j,則+(2b-a)=.

【解析】原式=QUOTEa-b-a+QUOTEb+2b-a=QUOTEa+QUOTEb=-QUOTEa+QUOTEb=-QUOTE(3i+2j)+QUOTE(2i-j)=QUOTEi+QUOTEj=-QUOTEi-5j.答案:-QUOTEi-5j8.如圖所示,在?ABCD中,=a,=b,AN=3NC,M為BC的中點,則=(用a,b表示).

【解析】因為=3,M為BC的中點,則=+=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE(+)=QUOTE-QUOTE=QUOTE(b-a).答案:QUOTE(b-a)四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知e,f為兩個不共線的向量,若四邊形ABCD滿意=e+2f,=-4e-f,=-5e-3f(1)用e,f表示.(2)證明四邊形ABCD為梯形.【解析】(1)由題意,有=++=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f(2)由(1)知=-8e-2f=2(-4e-f)=2,即=2.依據(jù)數(shù)乘向量的定義,與同方向,且的長度為的長度的2倍,所以在四邊形ABCD中,AD∥BC,且AD≠BC,所以四邊形ABCD為梯形.10.如圖,在△ABC中,D為BC的四等分點,且靠近點B,E,F分別為AC,AD的三等分點,且分別靠近A,D兩點,設=a,=b.(1)試用a,b表示,,;(2)證明:B,E,F三點共線.【解題指南】(1)依據(jù)平面對量的三角形法則,用,表示出向量,和即可;(2)用a,b表示出向量,,證明與共線,從而證明B,E,F三點共線.【解析】(1)在△ABC中,=a,=b,所以=-=b-a,=+=+QUOTE=a+=QUOTEa+QUOTEb,=+=-+QUOTE=-a+QUOTEb;(2)=-a+QUOTEb,=+=-+QUOTE所以=QUOTE,所以與共線,且有公共點B,所以B,E,F三點共線.1.已知O是平面內(nèi)肯定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿意=+λ(λ∈[0,+∞)),則點P的軌跡肯定通過△ABC的 ()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心【解析】選B.為上的單位向量,為上的單位向量,則+的方向為∠BAC的角平分線的方向.又λ∈[0,+∞),所以λ的方向與+的方向相同.而=+λ,所以點P在上移動.所以點P的軌跡肯定通過△ABC的內(nèi)心.2.設a,b,c為非零向量,其中隨意兩向量不共線,已知a+b與c共線,且b+c與a共線,則b與a+c是