專題01數(shù)列求通項（數(shù)列前n項和Sn法數(shù)列前n項積Tn法）(典型題型歸類訓(xùn)練)

專題01數(shù)列求通項（法、法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"12"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：法：角度1：用，得到 2題型二：法：角度2：將題意中的用替換 4題型三：法：角度3：已知等式中左側(cè)含有： 5題型四：法：角度1：已知和的關(guān)系 7題型五：法：角度2：已知和的關(guān)系 8三、數(shù)列求通項（法、法）專項訓(xùn)練 9一、必備秘籍1對于數(shù)列，前項和記為；①；②②：法歸類角度1：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系用，得到例子：已知，求角度2：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系替換題目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左側(cè)含有：作差法（類似）例子：已知求2對于數(shù)列，前項積記為；①；②①②：法歸類角度1：已知和的關(guān)系角度1：用，得到例子：的前項之積.角度2：已知和的關(guān)系角度1：用替換題目中例子：已知數(shù)列的前n項積為，且.二、典型題型題型一：法：角度1：用，得到例題1．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記是數(shù)列的前項和，已知，且.(1)記，求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）因為，①所以，②②①得，，因為，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是以4為公差的等差數(shù)列，令代入，得，由，得，所以，所以數(shù)列是公差為4，首項為5的等差數(shù)列，其通項公式為例題2．（2023春·河南南陽·高二南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）①，當(dāng)時，②，兩式①②得：，當(dāng)時，，不符合上式，所以；例題3．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）因為，所以時，，所以，所以，因為，又因為為等比數(shù)列，所以，所以，則等比數(shù)列首項為2，公比為3，所以例題4．（2023秋·江蘇無錫·高二江蘇省南菁高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，，．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）因為，所以當(dāng)時，，兩式相減，得到，整理得，又因為，所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．當(dāng)時，，解得或，因為，所以，由（1）可知，即公差，所以；題型二：法：角度2：將題意中的用替換例題1．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為.(1)求；【答案】(1)【詳解】（1），可得，可得，即數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，可得，由，可得；例題2．（2023秋·河北唐山·高二校考期末）已知數(shù)列中，，，前項和為，若．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）若，由，可得，則數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時，，則例題3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，其前n項和為，且（）．(1)求；【答案】(1)【詳解】（1），又，又，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，，故例題4．（2023秋·安徽滁州·高三?？计谀┯浭醉棡榈臄?shù)列的前項和為，且當(dāng)時，(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時，，即，則，可得，所以，且，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．題型三：法：角度3：已知等式中左側(cè)含有：例題1．（2023春·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校校考階段練習(xí)）已知數(shù)列{}滿足：．(1)求的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）因為，①所以時，，②①②得：，所以，又，不符合上式，故例題2．（2023秋·廣東珠?！じ呷？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由，得當(dāng)時，即，當(dāng)時，，則，即，當(dāng)時，也滿足上式，綜上所述，；例題3．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項；【答案】(1)；【詳解】（1）由，，得當(dāng)時，，兩式相減得：，即，而，因此構(gòu)成以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則當(dāng)時，，即，顯然不滿足上式，所以數(shù)列的通項.例題4．（2023春·福建廈門·高二廈門外國語學(xué)校?？计谀┮阎獢?shù)列為正項等比數(shù)列，數(shù)列滿足，，．(1)求；【答案】(1)【詳解】（1）令，當(dāng)時，，由，則；當(dāng)時，，由，則.由數(shù)列為正項等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，所以.題型四：法：角度1：已知和的關(guān)系例題1．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項的積(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1），當(dāng)時，.當(dāng)時，，滿足上式，.例題2．（2022秋·黑龍江大慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項積.(1)求的通項公式；【答案】(1)(1)解：（1）.當(dāng)時，；當(dāng)時，，也符合.故的通項公式為.例題3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三?？茧A段練習(xí)）已知為數(shù)列的前n項的積，且，為數(shù)列的前n項的和，若（，）.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項公式.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】解：（1）證明：，.，是等差數(shù)列.（2）由（1）可得，.時，；時，.而，，，均不滿足上式.（）.題型五：法：角度2：已知和的關(guān)系例題1．（2023·福建泉州·泉州七中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項的積記為，且滿足(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列;【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.例題2．（2020春·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）設(shè)數(shù)列的前n項積（）．（1）求數(shù)列的通項公式；【答案】（1）；（2）詳見解析．【詳解】（1）當(dāng)時，，∴，又∴，∴，所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴∴.例題3．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項之積為，且滿足．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）由題意知：，∴，∴，∴數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列；三、數(shù)列求通項（法、法）專項訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·江西·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)為數(shù)列的前項積，若，且，當(dāng)取得最小值時，（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【詳解】解：由題意得，又，，所以，所以是公比為的等比數(shù)列.因為，所以，解得，所以，則，，，當(dāng)時，，因為，所以最小.故選：A.2．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知為數(shù)列的前項積，若，則數(shù)列的前項和（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為為數(shù)列的前項積，所以可得，因為，所以，即，所以，又，得，所以，故是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列；，故選：A3．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列的前項積為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)，則，所以，，，若，則，，，不符合題意；若，則單調(diào)（或為常數(shù)），此時不滿足，故不符合題意，所以；當(dāng)，，此時奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，則，，，不符合題意，當(dāng)，，此時奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，則，，，不符合題意，所以，故A錯誤，又，，又，所以，所以，故對任意的，，則對任意的，，故B錯誤；又，，所以，，所以，，，所以，故D正確，C錯誤．故選：D．4．（2023秋·江西宜春·高二?？奸_學(xué)考試）若數(shù)列的前項積，則的最大值與最小值的和為（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【詳解】∵數(shù)列的前項積，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，時也適合上式，∴，∴當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，且，故的最大值為，最小值為，∴的最大值與最小值之和為2.故選：C.二、填空題5．（2023春·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知為數(shù)列的前n項積，且，則．【答案】【詳解】當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；注意到也符合上式，所以.故答案為：.三、解答題6．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭縣一中校聯(lián)考期末）設(shè)數(shù)列的前項和為，，且.(1)求的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）因為，故時，，兩式相減得，又，，所以，故，滿足上式，故，且，所以為等比數(shù)列，且首項為2，公比為3，從而.7．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)【詳解】（1）∵，所以或，∵，∴，……①．……②．①②得是首項為3，公差為2得等差數(shù)列，；8．（2023春·山西朔州·高二懷仁市第一中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，又，所以，即.又數(shù)列是等比數(shù)列，所以，當(dāng)時，，解得，所以；9．（2023春·江西九江·高二?？计谀┯洈?shù)列的前n項和為，已知，.(1)求的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）因為，所以，兩式相減得，即，又，所以，所以是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以.10．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎棓?shù)列的前n項和為，滿足：.(1)計算并求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由①，當(dāng)時，，解得（舍去），當(dāng)時，②，由①②得，即，又，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以；11．（2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列和的通項公式；【答案】(1)，，，【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，則，整理得，解得，∴，，對于數(shù)列：當(dāng)時，，當(dāng)時，由，得，兩式相減得，當(dāng)時，也滿足上式，∴，．12．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┮阎菙?shù)列的前項和，滿足，且.(1)求；【答案】(1)【詳解】（1）因為，顯然，所以，即，所以，所以，又當(dāng)時，也滿足，所以.13．（2023春·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？计谥校┰O(shè)正項數(shù)列的前n項和為，且，當(dāng)時，．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由，得，因為，所以，所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為．14．（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，等差數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；【答案】(1)，；【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，兩式相減，得，即，顯然滿足上式，因此，設(shè)公差為，則，即，解得，因此，所以數(shù)列和的通項公式分別為，.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，，即，，，，是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，，，，綜上，16．（2023春·遼寧大連·高二校聯(lián)考期中）已知正項數(shù)列滿足，前項和滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【詳解】（1）由可得，即，因為，所以，則，，所以，又因為，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以；17．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)；【詳解】（1），當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，得，即，滿足上式，數(shù)列的通項公式為；18．（2023春·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）∵，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即（），又∵也適合，∴；（2）由（1）知，，∴.19．（2023秋·廣東茂名