第2章直線和圓的方程章末測試（基礎(chǔ)）

第2章直線和圓的方程章末測試（基礎(chǔ)）單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線l過點和，且點在直線l上，則b的值為（

）A．183 B．182 C．181 D．180【答案】A【解析】因為直線l過點和，由直線的兩點式方程，得直線l的方程為，即.由于點直線l上，所以，解得.故選:A.2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，已知直線，，的斜率分別為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題圖知直線的傾斜角為鈍角，∴．又直線，的傾斜角均為銳角，且直線的傾斜角較大，∴，∴．故選：D3．（2021·黑龍江黑河·高二階段練習(xí)）兩條平行直線與之間的距離是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由平行線距離公式可得.故選：A4．（2022甘肅?。┤魣A心為的圓的方程為，圓心為的圓的方程為，則兩圓的圓心距等于（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以兩圓圓心分別為，所以圓心距．故選：B5．（2022·湖南）求與直線平行且將圓的周長平分的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的圓心坐標(biāo)，所求直線將圓平分，則直線過圓的圓心，又因為與直線平行，則所求直線的斜率為，利用點斜式得到直線方程為，整理成一般式為故選：C6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，兩點到直線的距離相等，則實數(shù)a的值為（

）A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3【答案】D【解析】方法一

由題意得，即，所以或，解得或．方法二

因為A，B兩點到直線l的距離相等，則直線或AB的中點在直線l上，則或，得或3．故選：D7．（2022·全國·高二單元測試）若直線經(jīng)過，兩點，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為直線經(jīng)過，兩點，所以直線的斜率為．設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，所以直線的傾斜角為．故選：C8．（2022·江蘇?。┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點在圓內(nèi)，動直線過點且交圓于兩點，若的面積的最大值為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓，即圓，即圓心為，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，此時為等腰直角三角形，，圓心到直線的距離為，因為點在圓內(nèi)，所以，即，所以，，解得或，所以，實數(shù)的取值范圍是故選：C二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）9．（2022·浙江省蘭溪市第三中學(xué)高二開學(xué)考試）下列說法錯誤的是（

）A．點到直線的距離為B．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率C．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8D．經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為【答案】ACD【解析】對于A，點到直線的距離為，故A錯誤；對于B，任意一條直線都有傾斜角，但垂直于x軸的直線無斜率，故B正確；對于C，直線，令得，令得，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，故C不正確；對于D，經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線，當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線的方程為，代入點得，此時直線的方程為，當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，代入點得，此時方程為，故D不正確；故選：ACD.10．（2022·湖南）已知動直線與圓，則下列說法正確的是（

）A．直線過定點B．圓的圓心坐標(biāo)為C．直線與圓的相交弦的最小值為D．直線與圓的相交弦的最大值為4【答案】ACD【解析】對于A，直線，即，令，得，即直線過定點，故A正確；對于B，圓，即，圓心坐標(biāo)為，故B錯誤；對于C，因為，所以直線所過定點在圓的內(nèi)部，不妨設(shè)直線過定點為，當(dāng)直線與圓的相交弦的最小時，與相交弦垂直，又因為，所以相交弦的最小為，故C正確；對于D，直線與圓的相交弦的最大值為圓直徑4，故D正確.故選：ACD11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）（多選）已知直線，其中，則（

）A．當(dāng)時，直線l與直線垂直B．若直線l與直線平行，則C．直線l過定點D．當(dāng)時，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】對于A，當(dāng)時，直線l的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為，所以當(dāng)時，直線l與直線垂直，所以A正確，對于B，若直線l與直線平行，則，解得或，所以B錯誤，對于C，當(dāng)時，，與無關(guān)，故直線l過定點，所以C正確，對于D，當(dāng)時，直線l的方程為，在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是－1，1，不相等，所以D錯誤，故選：AC12．（2022·湖南·長沙一中）在平面直角坐標(biāo)系中，，點滿足，設(shè)點的軌跡為，則（

）A．的周長為B．（不重合時）平分C．面積的最大值為6D．當(dāng)時，直線與軌跡相切【答案】ABD【解析】設(shè)，因為，且點滿足，可得，整理得，即曲線的方程為．對于A中，曲線為半徑為的圓，所以周長為，所以A正確；對于B中，因為，所以，所以，延長到，使，連結(jié)，如圖所示，因為，所以，所以，所以，，因為，所以，所以，即平分，所以B正確．對于C中，由的面積為，要使得的面積最大，只需最大，由由點的軌跡為，可得，所以面積的最大值為，所以C錯誤；對于D中，當(dāng)時，或，不妨取，則直線，即，因為圓心到直線的距離為，所以，即直線與圓相切，所以D正確．故選：ABD．三、填空題(每題5分，4題共20分)13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線關(guān)于點的對稱直線的方程為________．【答案】【解析】方法一：設(shè)對稱直線上一點，則點關(guān)于的對稱點為，所以點在直線上，代入得．方法二：易知直線關(guān)于點的對稱直線與直線平行，故設(shè)為．由點到這兩條直線的距離相等，得，解得（舍去）或－11，即所求直線方程為．方法三：易知點，在直線上，且它們關(guān)于點的對稱點分別為，，則所求直線的方程為，即．故答案為：.14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線m經(jīng)過直線與直線的交點，且點到直線m的距離為1，則直線m的方程為________．【答案】或【解析】方法一：由，得兩直線的交點坐標(biāo)為．當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)直線m的方程為，則，解得，此時直線m的方程為；當(dāng)直線m的斜率不存在時，，點到直線m的距離等于1，滿足條件．綜上，直線m的方程為或．方法二：設(shè)直線m的方程為，即，則，解得或，所以直線m的方程為或．故答案為：或15．（2022·全國·高二單元測試）點關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】設(shè)點關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點的坐標(biāo)為，則，解得，所以點（3，4）關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點的坐標(biāo)為．故答案為：16．（2021·黑龍江黑河·高二階段練習(xí)）已知直線與直線平行，則實數(shù)的值為___________.【答案】0或【解析】因為直線與直線平行，所以，，解得或，故答案為：0或四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）17．（2022·全國·高二單元測試）從①與直線4x－3y＋5＝0垂直，②過點（5，－5），③與直線3x＋4y＋2＝0平行這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答．問題：已知直線l過點，且______．(1)求直線l的一般式方程；(2)若直線l與圓相交于點P，Q，求弦PQ的長．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)3x＋4y＋5＝0(2)4【解析】方案一：選條件①．（1）因為直線4x－3y＋5＝0的斜率為，且與直線l垂直，所以直線l的斜率為，依題意，直線l的方程為，即3x＋4y＋5＝0．方案二：選條件②．（1）因為直線l過點（5，－5）及（1，－2），所以直線l的方程為，即．方案三：選條件③．（1）因為直線3x＋4y＋2＝0的斜率為，直線l與直線3x＋4y＋2＝0平行，所以直線l的斜率為．依題意，直線l的方程為，即3x＋4y＋5＝0．（2）方案一：選條件①．（2）圓的圓心（0，0）到直線3x＋4y＋5＝0的距離為．又圓的半徑為，所以．方案二：選條件②．（2）解析同方案一中（2）．方案三：選條件③．（2）解析同方案一中（2）．18．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓C經(jīng)過點，及（3，0）．過坐標(biāo)原點O，且斜率為k的直線l與圓C交于M，N兩點．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點，分別記直線PM，直線PN的斜率為，，證明：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】（1）解：設(shè)圓C的方程為，∴，解得，∴圓C的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：設(shè)，．由題意得直線l的方程為，由，得，∴，∴，∴，.即為定值0．19．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，過點作直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A，B．(1)求面積的最小值及此時直線l的方程；(2)求當(dāng)取得最小值時直線l的方程．【答案】(1)6，(2)【解析】（1）∵點在第一象限，且直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸相交，∴直線l的斜率，則設(shè)直線l的方程為，，令，得；令，得．∴．∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．∴面積的最小值為6．此時直線l的方程為，即．（2）設(shè)，，，．∵A，P，B三點共線，∴，整理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴當(dāng)取得最小值時，直線l的方程為，即．20．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓過點，．(1)求圓心所在直線的方程；(2)求周長最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)求圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(4)若圓心的縱坐標(biāo)為2，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)x－3y＋3＝0(2)(3)(4)【解析】（1）由題意可知線段AB的中點坐標(biāo)是，∵直線AB的斜率，且圓心在線段AB的垂直平分線上，∴圓心所在直線的方程為，即x－3y＋3＝0．（2）當(dāng)線段AB為圓的直徑時，過點A，B的圓的半徑最小，從而周長最小，即圓心為線段AB的中點（0，1），半徑為．則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3）由（1）可知，圓心所在直線的方程為，又∵圓心也在直線2x－y－4＝0上，∴圓心是這兩條直線的交點，∴，解得，即圓心的坐標(biāo)是（3，2），∴半徑，∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（4）設(shè)圓心的坐標(biāo)為（m，2），由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3，∴圓的半徑，∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．21．（2022·全國·高二單元測試）已知兩條直線：，：．(1)求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．(2)若，直線與垂直，且______，求直線的方程．在①直線過坐標(biāo)原點，②坐標(biāo)原點到直線的距離為1，③直線與交點的橫坐標(biāo)為2這三個條件中選擇一個補(bǔ)充在上面的問題中，使?jié)M足條件的直線有且僅有一條，并解答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)證明見解析，(2)答案見解析【解析】（1）可化為，由，解得，所以直線過定點，且該定點的坐標(biāo)為．（2）因為，直線與垂直，所以直線：，所以直線的斜率為2，直線的斜率為．

方案一

選擇條件①．易得直線的方程為，即

方案二

選擇條件③．由：，可知交點為，所以直線的方程為，即．

（注：若選擇條件②，設(shè)直線的方程為，由，得，所以直線的方程為，不唯一，不滿足題意．故不能選擇條件②．）22．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓C的圓心位于x軸的正半軸上，該圓與直線相切，且被y軸截得的弦長為，圓C的面積小于13．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)過點M（0，3）的直線l與圓C交于不同的兩點A，B，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB．是否存在這樣的直線l，使得直線OD與MC恰好