浙江省衢州五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2024學(xué)年第一學(xué)期衢州五校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦函數(shù)的值域得到集合，二次根式定義得到集合，再由集合交集的定義得到結(jié)果.【詳解】∵，∵，∴∴，故選：A2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運用除法運算進行復(fù)數(shù)化簡，再根據(jù)虛部概念判斷.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，則.則的虛部為?2.故選：B.3.已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)方向向量求出直線的斜率，再求出傾斜角.【詳解】已知直線的一個方向向量為，根據(jù)直線方向向量與斜率的關(guān)系，直線的斜率.因為直線的斜率，且，所以.故選：A.4.“”是方程“表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程求出的取值范圍使得方程表示雙曲線，然后再判斷與這個取值范圍的關(guān)系.【詳解】要使方程表示雙曲線，則.解不等式，可得.當(dāng)時，不一定滿足，例如當(dāng)時，方程不表示雙曲線；而當(dāng)方程表示雙曲線時，一定有，那么一定滿足.所以是方程表示雙曲線的必要不充分條件.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】首先利用誘導(dǎo)公式將已知條件化簡，求出的值，再將所求式子利用二倍角公式化簡，最后將的值代入化簡后的式子進行計算.【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式，，則，即.根據(jù)二倍角公式，則.將其分子分母同時除以得到，進一步化為.把代入上式，可得.故選：C.6.已知正四面體的棱長為1，動點在平面上運動，且滿足，則的值為（）A. B. C.0 D.2【答案】C【解析】【分析】由四點共面推得，再以為基底進行向量運算可得.【詳解】動點在平面上運動，且不共線，則存在實數(shù)，使.即，所以.又，不共面，由空間向量基本定理可知，故，解得.即.因為四面體正四面體，且棱長為.所以，.所以.故選：C.7.已知事件滿足，則（）A.若與相互獨立，則 B.若與互斥，C.若，則與相互對立 D.若，則【答案】D【解析】【分析】A項，相互獨立事件同時發(fā)生概率乘法公式可得；B項，由互斥定義可知兩事件不可能同時發(fā)生即可判斷；C項，不能判斷是否互斥與對立；D項，由可得.【詳解】選項A，若A與B相互獨立，則A與相互獨立，所以，故A錯誤；選項B，若A與B互斥，則不可能同時發(fā)生，即，故B錯誤；選項C，若，則由于不確定C與B是否互斥，所以無法確定兩事件是否對立，如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察試驗的結(jié)果，設(shè)事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”；事件“出現(xiàn)點數(shù)不大于”，則，但事件并不互斥，也不對立，故C錯誤；選項D，若，則，則，故D正確故選：D.8.設(shè)，若存在，使為偶函數(shù)，則可能的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用函數(shù)的奇偶性與三角函數(shù)的對稱性質(zhì)，結(jié)合兩個偶函數(shù)的積函數(shù)的性質(zhì)，選出滿足題意的選項即可.【詳解】由函數(shù)，.則是偶函數(shù)，因為不可能是奇函數(shù)，由兩函數(shù)解析式可知，若和都是偶函數(shù)，滿足題意.要使為偶函數(shù)，則，即，當(dāng)時，，函數(shù)為偶函數(shù)，要使為偶函數(shù)，只需為偶函數(shù)即可.由恒成立，即對任意恒成立，（不合題意，舍去），或，.可得，，即，取可得，故C正確，其余選項不存在，使其成立.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分．9.已知圓與圓交于兩點，則（）A.兩圓半徑相同 B.兩圓有3條公切線C.直線的方程是 D.線段的長度是【答案】AD【解析】【分析】由圓的方程得到圓心和半徑，由此判斷A選項正確；由圓心距和半徑的關(guān)系得到圓與圓的位置關(guān)系知道公切線條數(shù)，判斷B選項錯誤；兩個方程作差即可得到交點弦的方程，判斷C錯誤；由垂徑定理求得線段長，判斷D選項正確.【詳解】，，所以A選擇正確；，，∴，兩個圓相交，所以有2條公切線，B選項錯誤；兩個方程相減得，C選項錯誤；垂徑定理可得，∴，D選項正確；故選：AD.10.已知樣本數(shù)據(jù)是兩兩不同的四個自然數(shù)，且樣本的平均數(shù)為4，方差為5，則該樣本數(shù)據(jù)中（）A.眾數(shù)為4 B.上四分位數(shù)為6 C.中位數(shù)為4 D.最小值為1【答案】BCD【解析】【分析】我們可以根據(jù)這兩個公式列出關(guān)于的方程，再結(jié)合數(shù)據(jù)是自然數(shù)以及各個選項的特點進行分析判斷.【詳解】已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，根據(jù)平均數(shù)公式，可得.又已知方差為，根據(jù)方差公式，則.展開結(jié)合，則，則即，則.開方則.不妨設(shè)，則，（1）當(dāng)時，，，顯然無解.（2）當(dāng)時，，，則，開方則.再討論：令，顯然無滿足題意自然數(shù)解.令，顯然無滿足題意自然數(shù)解.（3）當(dāng)時，，，則，開方則.再討論：令，顯然無滿足題意自然數(shù)解.令，顯然滿足題意自然數(shù)解.（4）當(dāng)時，，，則，開方則.又，則，顯然無滿足題意自然數(shù)解.（5）當(dāng)時，，，則，開方則.又，則顯然無滿足題意自然數(shù)解.綜上所得，滿足題意得自然數(shù)解只有：.分析各個選項.眾數(shù)：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)，這里數(shù)據(jù)兩兩不同，沒有眾數(shù)，所以A選項錯誤.上四分位數(shù)：，即，所以上四分位數(shù)為，B選項正確.中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排序為，中位數(shù)為.C選項正確最小值：最小值為，D選項正確.故選：BCD.11.數(shù)學(xué)家伯努利仿照橢圓的定義，找到了一種新的曲線：伯努利雙紐線．他是這樣定義雙紐線的：設(shè)兩個定點，動點到的距離之積為的點的軌跡．則下列說法正確的是（）A.雙紐線有對稱中心和對稱軸 B.雙紐線方程是C.的最大值為 D.面積的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】運用對稱性驗證即可；求曲線方程，需要根據(jù)距離公式建立等式；求的最大值以及面積的最大值則可以根據(jù)基本不等式和根據(jù)已有的條件和相關(guān)數(shù)學(xué)知識進行分析推導(dǎo).【詳解】對于A，因為，關(guān)于原點對稱，設(shè)點是雙紐線上的點，那么點關(guān)于原點對稱點到，的距離之積與到，的距離之積相同.關(guān)于軸，設(shè)在雙紐線上，點關(guān)于軸對稱的點到，的距離之積與到，的距離之積相同，所以雙紐線有對稱中心和對稱軸，A選項正確.對于B，設(shè)，，.因為，所以.展開可得.進一步展開.令，則，即.將代回得.展開.整理得，B選項正確.對于C，由均值不等式.已知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為，C選項錯誤.對于D，設(shè)，根據(jù)三角形面積公式.因為，所以.因為最大值為，所以的最大值為，D選項正確.故選；ACD.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知點為拋物線的焦點，則點坐標為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程和焦點坐標公式計算.【詳解】已知點為拋物線的焦點，則焦點在x軸上，則,由拋物線焦點坐標公式知道點坐標為.故答案為：.13.若關(guān)于的方程有解，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用三角換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題求解可得【詳解】令，則，則，即.方程有解，可轉(zhuǎn)化為，即關(guān)于的方程，有解.設(shè)，，則，則當(dāng)即時，取最大值，；當(dāng)即時，取最小值，；則的值域為，要使有解，則的取值范圍是.故答案為：.14.棱長為2的正方體中，為內(nèi)一點，且，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】連接與平面交于點，可得平面，從而可得點在圓上，結(jié)合圓的性質(zhì)可得的最小值，以及的值，即可得結(jié)果.【詳解】如圖，連接與平面交于點，因為為正方形，則，又因為平面，平面，則，且，平面，則平面，由平面，則，同理可得：，且，平面，所以平面，因為，且為邊長為的等邊三角形，即，解得，又因為，則，且的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑，即，可知點在以為圓心，半徑為的圓上（且在內(nèi)），當(dāng)且僅當(dāng)點在線段上時，取到最小值，又因為，可得，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是求得，分析可知點在以為圓心，半徑為的圓上（且在內(nèi)），結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知直線．（1）若直線與直線平行，求的值；（2）若圓關(guān)于直線的對稱圖形為曲線，直線過點，求曲線截直線所得的弦長的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，即可解得實數(shù)的值；（2）求出圓的標準方程，分析可知，當(dāng)時，圓心到直線的距離最大，此時，圓截直線的弦長最短，利用勾股定理可求得弦長的最小值.【小問1詳解】因為直線與直線平行，則，解得.【小問2詳解】圓關(guān)于直線的對稱圖形為曲線是圓，圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓心，直線的斜率為，由題意可得，解得，所以，圓的標準方程為，因為，所以，點在圓內(nèi)，當(dāng)時，圓心到直線的距離取最大值，且，所以，圓截直線的弦長的最小值為.16.在平面四邊形中，，點在上且滿足，且（1）求；（2）若，求四邊形周長的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理，，求解得和.（2）由（1）結(jié)合已知求得，令，，由余弦定理及基本不等式可求出的最大值，即可求出四邊形周長的最大值.【小問1詳解】在中，由正弦定理得：，又，則，于是．【小問2詳解】依題意，，則，有，，則，在中，，令，在中，由余弦定理得，于是，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以四邊形周長的最大值為.17.已知四棱錐的底面為等腰梯形，，（1）求證：平面；（2）若四棱錐的體積為，求二面角的平面角的余弦值【答案】（1）證明見解析（2）【解析】分析】（1）過點作，根據(jù)角度關(guān)系證明，結(jié)合可證明平面；（2）方法一：根據(jù)四棱錐的體積先計算出四棱錐的高，然后建立空間直角坐標系分別求解出平面和平面的法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值求解出二面角的平面角的余弦值；方法二：通過三垂線作法先找到二面角的平面角，然后結(jié)合線段長度求解出二面角的平面角的余弦值.【小問1詳解】過點作交于點，如下圖所示，四邊形為等腰梯形，，，所以，即，即，又平面，平面.【小問2詳解】方法一：設(shè)四棱錐的高為，，四邊形為平行四邊形，，，又平面；如圖，以為原點，以方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，，，，，且，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，取，則，，設(shè)面法向量為n=a,b,c，則，取，則，得，由題意，，設(shè)二面角夾角為是鈍角，則．方法二：設(shè)四棱錐的高為，，，又平面；又平面平面平面，過作交延長線于，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，過作的垂線，垂足為，連，由于平面，平面平面，，則為所求二面角的平面角的補角．，四邊形平行四邊形，，，，，，平面，平面，，，設(shè)二面角的平面角為則．18.橢圓，動直線與橢圓相切于點，且點在第一象限．（1）若直線的斜率為．求點的坐標；（2）若過原點的直線與垂直，垂足為，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)直線與橢圓相切，所以方程組只有一解，可求的值，進而可得切點坐標.（2）設(shè)直線：，根據(jù)直線與橢圓相切，可得的關(guān)系；再根據(jù)直線，得到直線的方程，聯(lián)立直線的方程，可得點坐標，表示出的面積，結(jié)合基本（均值）不等式求最大值.【小問1詳解】設(shè)直線：，代入橢圓，得：動直線與橢圓相切于點．又因為點在第一象限，．方程的解為，得【小問2詳解】如圖：設(shè)直線交軸于因為直線與垂直，．聯(lián)立與，得將代入橢圓得動直線與橢圓相切于點得即當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．面積的最大值為．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中有關(guān)最值的問題，通常解法有：（1）轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題解決；（2）有時候要經(jīng)過換元，轉(zhuǎn)化成利用基本（均值）不等式求最值；（3）采用三角換元，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求值域；（4）少數(shù)題目利用求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性求最值.19.曼哈頓距離是一個充滿神秘與奧秘的距離，常用于需要按照網(wǎng)格布局移動的場景，例如無人駕駛出租車行駛、物流配送等．在算法設(shè)計中，曼哈頓距離也常用于圖像處理和路徑規(guī)劃等問題．曼哈頓距離用于標明兩個點在空間（平面）直角坐標系上的絕對軸距總和．例如在平面直角坐標系內(nèi)有兩個點它們之間的曼哈頓距離（1）已知點，求的值；（2）已知平面直角坐標系內(nèi)一定點，動點滿足，求動點圍成的圖形的面積：（3）已知空間直角坐標系內(nèi)一定點，動點滿足，若動點圍成的幾何體的體積是，求的值．【答案】（1）5（2）8（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)定義計算即可；（2）設(shè)，分類討論，去絕對值即可得到正方形，后求面積；（3）