2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)48個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)梳理

PAGE21PAGEPAGE1高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)梳理必考知識(shí)點(diǎn)：第一章、集合與函數(shù)概念（常用邏輯用語）第二章、基本初等函數(shù)第三章、函數(shù)的應(yīng)用第四章、三角函數(shù)第五章、平面向量第六章、三角恒等變換第七章、解三角形第八章、數(shù)列第九章、不等式第十章、空間幾何體第十一章、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第十二章、直線與方程第十三章、圓與方程第十四章、圓錐曲線與方程第十五章、算法初步與框圖第十六章、概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第十七章、推理與證明第十八章、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第十九章、選修系列（坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講）第二十章、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二十一章、計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式數(shù)學(xué)中的隱含條件往往最容易被忽視，這些隱含條件通常被稱為題中的“陷阱”，解題過程中一不小心就會(huì)掉進(jìn)去。本文列舉出了高中課本中一些常見的易錯(cuò)點(diǎn)，希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中引以為戒。一、集合與簡易邏輯易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)集合表示方法理解存在偏差【問題】1:已知，求。錯(cuò)解：剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本質(zhì)。正確結(jié)果：【問題】2:已知，求。錯(cuò)解：正確答案：剖析：審題不慎，忽視代表元素，誤認(rèn)為為點(diǎn)集。反思：對(duì)集合表示法部分學(xué)生只從形式上“掌握”，對(duì)其本質(zhì)的理解存在誤區(qū)，常見的錯(cuò)誤是不理解集合的表示法，忽視集合的代表元素。易錯(cuò)點(diǎn)2在解含參數(shù)集合問題時(shí)忽視空集【問題】:已知，且，求的取值范圍。錯(cuò)解：[-1，0）剖析：忽視的情況。正確答案：[-1，2]反思：由于空集是一個(gè)特殊的集合，它是任何集合的子集，因此對(duì)于集合就有可能忽視了，導(dǎo)致解題結(jié)果錯(cuò)誤。尤其是在解含參數(shù)的集合問題時(shí)，更應(yīng)注意到當(dāng)參數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，所給的集合可能是空集的情況?？忌捎谒季S定式的原因，往往會(huì)在解題中遺忘了這個(gè)集合，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤或答案不全面。易錯(cuò)點(diǎn)3在解含參數(shù)問題時(shí)忽視元素的互異性【問題】:已知1∈{,,}，求實(shí)數(shù)的值。錯(cuò)解：剖析：忽視元素的互異性，其實(shí)當(dāng)時(shí)，==1；當(dāng)時(shí)，==1；均不符合題意。正確答案：反思：集合中的元素具有確定性、互異性、無序性，集合元素的三性中的互異性對(duì)解題的影響最大，特別是含參數(shù)的集合，實(shí)際上就隱含著對(duì)字母參數(shù)的一些要求。解題時(shí)可先求出字母參數(shù)的值，再代入驗(yàn)證。易錯(cuò)點(diǎn)4充分必要條件顛倒出錯(cuò)【問題】:已知是實(shí)數(shù)，則“且”是“且”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件錯(cuò)解：選B剖析：識(shí)記不好，不能真正理解充要條件概念，未能掌握判斷充要條件的方法。正確答案：C反思：對(duì)于兩個(gè)條件，如果，則是的充分條件，是的必要條件，如果，則是的充要條件。判斷充要條件常用的方法有①定義法；②集合法；③等價(jià)法。解題時(shí)最容易出錯(cuò)的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時(shí)，一定要分清條件和結(jié)論，根據(jù)充要條件的定義，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ鞒鰷?zhǔn)確的判斷，不充分不必要常借助反例說明。二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)5判斷函數(shù)奇偶性時(shí)忽視定義域【問題】1:判斷函數(shù)的奇偶性。錯(cuò)解：原函數(shù)即，∴為奇函數(shù)剖析：只關(guān)注解析式化簡，忽略定義域。正確答案：非奇非偶函數(shù)?！締栴}】2:判斷函數(shù)的奇偶性。錯(cuò)解：，∴為偶函數(shù)剖析：不求函數(shù)定義域只看表面解析式，只能得到偶函數(shù)這一結(jié)論，導(dǎo)致錯(cuò)誤。正確答案：既奇且偶函數(shù)。反思：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果不具備這個(gè)條件，一定是非奇非偶函數(shù)。在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，如果對(duì)定義域內(nèi)任意x都有，則為奇函數(shù)；如果對(duì)定義域內(nèi)任意x都有，則為偶函數(shù)，如果對(duì)定義域內(nèi)存在使，則不是奇函數(shù)；如果對(duì)定義域內(nèi)存在使，則不是偶函數(shù)。易錯(cuò)點(diǎn)6解“二次型函數(shù)”問題時(shí)忽視對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論【問題】:函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。錯(cuò)解：由解得剖析：知識(shí)殘缺，分類討論意識(shí)沒有，未考慮的情況。正確答案：反思：在二次型函數(shù)中，當(dāng)時(shí)為二次函數(shù)，其圖象為拋物線；當(dāng)時(shí)為一次函數(shù)，其圖象為直線。在處理此類問題時(shí)，應(yīng)密切注意項(xiàng)的系數(shù)是否為0，若不能確定，應(yīng)分類討論，另外有關(guān)三個(gè)“二次”之間的關(guān)系的結(jié)論也是我們應(yīng)關(guān)注的對(duì)象。例如：解集為解集為易錯(cuò)點(diǎn)7用函數(shù)圖象解題時(shí)作圖不準(zhǔn)【問題】:求函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。錯(cuò)解：兩個(gè)剖析：忽視指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增減速度快慢對(duì)作圖的影響。正確答案：三個(gè)反思：“數(shù)形結(jié)合”是重要思想方法之一，以其準(zhǔn)確、快速、靈活及操作性強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)頗受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的青睞。但我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)充分利用函數(shù)性質(zhì)，畫準(zhǔn)圖形，不能主觀臆造，導(dǎo)致圖形“失真”，從而得出錯(cuò)誤的答案。易錯(cuò)點(diǎn)8忽視轉(zhuǎn)化的等價(jià)性【問題】1:已知方程有且只有一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。錯(cuò)解：∵方程有且只有一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，∴函數(shù)的圖象與軸在（0，1）內(nèi)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，解得剖析：知識(shí)殘缺，在將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)時(shí)，應(yīng)考慮到的情況。正確答案：【問題】2:函數(shù)的圖象大致是（） 剖析：①在轉(zhuǎn)化過程中，去絕對(duì)值時(shí)出錯(cuò)，從而得到錯(cuò)誤的圖象。②在圖象變換過程中出錯(cuò)，搞錯(cuò)平移方向。正確答案：D反思：等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，處理得當(dāng)會(huì)起到意想不到的效果，但等價(jià)轉(zhuǎn)化的前提是轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，反之會(huì)出現(xiàn)各種離奇的錯(cuò)誤。易錯(cuò)點(diǎn)9分段函數(shù)問題【問題】1:.已知是R上的增函數(shù)，求a的取值范圍。錯(cuò)解：剖析：知識(shí)殘缺，只考慮到各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為增函數(shù)，忽視在分界點(diǎn)附近函數(shù)值大小關(guān)系。正確答案：【問題】2:設(shè)函數(shù)，求關(guān)于x的方程解的個(gè)數(shù)。錯(cuò)解：兩個(gè)剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，分類討論意識(shí)沒有，未能將方程分兩種情況來解。正確答案：三個(gè)反思：與分段函數(shù)相關(guān)的問題有作圖、求值、求值域、解方程、解不等式、研究單調(diào)性及討論奇偶性等等。在解決此類問題時(shí)，要注意分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)，如果自變量取值不能確定，要對(duì)自變量取值進(jìn)行分類討論，同時(shí)還要關(guān)注分界點(diǎn)附近函數(shù)值變化情況。易錯(cuò)點(diǎn)10誤解“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”的邏輯關(guān)系【問題】:函數(shù)在x=1處有極值10，求的值。錯(cuò)解：由解得剖析：對(duì)“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”邏輯關(guān)系分辨不清，錯(cuò)把為極值的必要條件當(dāng)作充要條件。正確答案：a=4,b=-11反思：在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí)，很容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是求出使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)，而沒有對(duì)這些點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷，誤以為使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)。出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的原因就是對(duì)導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清?？蓪?dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為0只是這個(gè)函數(shù)在此點(diǎn)取到極值的必要條件，充要條件是兩側(cè)異號(hào)。。易錯(cuò)點(diǎn)11對(duì)“導(dǎo)數(shù)值符號(hào)”與“函數(shù)單調(diào)性”關(guān)系理解不透徹【問題】:若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。錯(cuò)解：由在上恒成立，∴，解得剖析：概念模糊，錯(cuò)把在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增（減）函數(shù)的充分條件當(dāng)成充要條件。事實(shí)上時(shí)滿足題意。正確答案：反思：一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)增（減）的充要條件是這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大（?。┯诘扔?，且導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為0。切記導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上恒大（?。┯?僅為該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)增（減）的充分條件。易錯(cuò)點(diǎn)12對(duì)“導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)”與“原函數(shù)圖象升降”關(guān)系不清楚【問題】:已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是______.錯(cuò)解：選剖析：概念不清，憑空亂猜，正確解法是由于，且兩邊值符號(hào)相反，故0和2為極值點(diǎn)；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。正確答案：C反思：解答此類題的關(guān)鍵是抓?、賹?dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與原函數(shù)的極值點(diǎn)關(guān)系——極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0；②導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系——原函數(shù)看增減，導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)。三、數(shù)列易錯(cuò)點(diǎn)13由求時(shí)忽略對(duì)“”檢驗(yàn)【問題】:已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，求。錯(cuò)解：由解得剖析：考慮不全面，錯(cuò)誤原因是忽略了成立的條件n≥2，實(shí)際上當(dāng)n=1時(shí)就出現(xiàn)了S0，而S0是無意義的，所以使用求，只能表示第二項(xiàng)以后的各項(xiàng)，而第一項(xiàng)能否用這個(gè)表示，尚需檢驗(yàn)。正確答案：反思：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項(xiàng)與其前n項(xiàng)和之間關(guān)系如下，在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)列｛｝的與關(guān)系時(shí)，先令求出首項(xiàng)，然后令求出通項(xiàng)，最后代入驗(yàn)證。解答此類題常見錯(cuò)誤為直接令求出通項(xiàng)，也不對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)。易錯(cuò)點(diǎn)14忽視兩個(gè)“中項(xiàng)”的區(qū)別【問題】:是成等比數(shù)列的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分有不必要條件錯(cuò)解：C剖析：思維不縝密，沒有注意到當(dāng)時(shí)，可能為0。正確答案：B反思：若成等比數(shù)列，則為和的等比中項(xiàng)。由定義可知只有同號(hào)的兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，“”僅是“為和的等比中項(xiàng)”的必要不充分條件，在解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。易錯(cuò)點(diǎn)15等比數(shù)列求和時(shí)忽視對(duì)討論【問題】:在等比數(shù)列｛｝中，為其前n項(xiàng)和，且，求它的公比q。錯(cuò)解：，解得剖析：知識(shí)殘缺，直接用等比數(shù)列的求和公式，沒有對(duì)公比q是否等于1進(jìn)行討論，導(dǎo)致失誤。正確答案：反思：與等差數(shù)列相比，等比數(shù)列有一些特殊性質(zhì)，如等比數(shù)列的每一項(xiàng)包括公比均不為0，等比數(shù)列的其前n項(xiàng)和為分段函數(shù)，其中當(dāng)q=1時(shí)，。而這一點(diǎn)正是我們解題中被忽略的。易錯(cuò)點(diǎn)15用錯(cuò)了等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式與性質(zhì)【問題】:已知等差數(shù)列｛｝的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求它的前3m項(xiàng)和。錯(cuò)解一：170剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，記錯(cuò)性質(zhì)，誤以為成等差數(shù)列。錯(cuò)解二：130剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，誤以為滿足。正確答案：210反思：等差、等比數(shù)列各自有一些重要公式和性質(zhì)（略），這些公式和性質(zhì)是解題的根本，用錯(cuò)了公式和性質(zhì)，自然就失去了方向。解決這類問題的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)就是考慮問題要全面，把各種可能性都考慮進(jìn)去，認(rèn)為正確的命題給予證明，認(rèn)為不正確的命題舉出反例予以說明。易錯(cuò)點(diǎn)16用錯(cuò)位相減法求和時(shí)項(xiàng)數(shù)處理不當(dāng)【問題】:求和。剖析：①考慮不全面，未對(duì)進(jìn)行討論，丟掉時(shí)的情形。②將兩個(gè)和式錯(cuò)位相減后，成等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)弄錯(cuò)。③將兩個(gè)和式錯(cuò)位相減后，丟掉最后一項(xiàng)。正確答案：反思：如果一個(gè)數(shù)列為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積所得到的，那么該數(shù)列可用錯(cuò)位相減法求和?；痉椒ㄊ窃O(shè)這個(gè)和式為Sn，在這個(gè)和式的兩端同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比得到另一個(gè)和式，將這兩個(gè)和式錯(cuò)位相減，得到一個(gè)新的和式，該式分三部分①原來數(shù)列的第一項(xiàng)；②一個(gè)等比數(shù)列的前n-1項(xiàng)和；③原來數(shù)列的第n項(xiàng)乘以公比的相反數(shù)。在用錯(cuò)位相減法求和時(shí)務(wù)必要處理好這三個(gè)部分，特別是等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，有時(shí)含原來數(shù)列的第一項(xiàng)共項(xiàng)，有時(shí)只有項(xiàng)。另外，如果公比為字母需分類討論。易錯(cuò)點(diǎn)17數(shù)列中的最值錯(cuò)誤【問題】:在等差數(shù)列｛｝中，，，求此數(shù)列的前幾項(xiàng)和最大。剖析：①解題不細(xì)心，在用等差數(shù)列前n和求解時(shí)，解得n=12.5，誤認(rèn)為n=12.5。②考慮不全面，在用等差數(shù)列性質(zhì)求解得出=0時(shí)，誤認(rèn)為只有最大。正確答案：反思：數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，要善于用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)和理解數(shù)列問題。但是考生很容易忽視n為正整數(shù)的特點(diǎn)，有時(shí)即使考慮了n為正整數(shù)，但對(duì)于n為何值時(shí)，能夠取到最值求解出錯(cuò)。在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點(diǎn)要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對(duì)稱軸遠(yuǎn)近而定。四、三角函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)18求解時(shí)忽略角的范圍【問題】1:在中，=,=，求，的值。錯(cuò)解：cosA=±，sinB=±剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，忽視開方時(shí)符號(hào)的選取。正確答案：cosA=，sinB=【問題】2:在中，為銳角，且，求的值。錯(cuò)解：先求出sin()=，∵，∴剖析：知識(shí)殘缺，由于為銳角，所以。又由于正弦函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，所以本題不宜求sin()，宜改求cos()或tan()。正確答案：【問題】1:在中，已知a=,b=,B=,求角A錯(cuò)解：用正弦定理求得，∴剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視隱含條件出錯(cuò)。正確答案：反思：三角函數(shù)中的平方關(guān)系是三角變換的核心，也是易錯(cuò)點(diǎn)之一。解題時(shí)，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定未知角的范圍，并進(jìn)行定號(hào)”。易錯(cuò)點(diǎn)19求關(guān)于最值時(shí)忽視正、余弦函數(shù)值域【問題】:已知，求的最大值。錯(cuò)解：令，得，通過配方、作圖解得的最大值為剖析：本題雖注意到的值域，但未考慮到與相互制約，即由于-1≤siny≤1，∴必須同時(shí)滿足。正確答案：反思：求關(guān)于最值的常規(guī)方法是通過令（或cosx）將三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)問題求解。但由于正、余弦函數(shù)值域限制，只能在某一特定范圍內(nèi)取值，解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。易錯(cuò)點(diǎn)20三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯(cuò)誤【問題】:已知函數(shù)y=cos(-2x)，求它的單調(diào)減區(qū)間。錯(cuò)解：≤-2x≤剖析：概念混淆，錯(cuò)因在于把復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與基本函數(shù)的單調(diào)性概念相混淆。應(yīng)化成y=cos(2x-)求解正確答案：反思：對(duì)于函數(shù)來說，當(dāng)時(shí)，由于內(nèi)層函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)的單調(diào)性來解決；但當(dāng)時(shí)，內(nèi)層函數(shù)是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性正好相反，就不能按照函數(shù)的單調(diào)性來解決。一般來說，應(yīng)根據(jù)誘導(dǎo)公式將的系數(shù)化為正數(shù)加以解決，對(duì)于帶有絕對(duì)值的三角函數(shù)宜根據(jù)圖象從直觀上加以解決。易錯(cuò)點(diǎn)21圖象變換的方向把握不準(zhǔn)【問題】:要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A向右平移個(gè)單位 B向右平移個(gè)單位C向左平移個(gè)單位D向左平移個(gè)單位錯(cuò)解一：C剖析：知識(shí)殘缺，未將函數(shù)化成同名函數(shù)。錯(cuò)解二：D剖析：基礎(chǔ)不牢，弄錯(cuò)了平移方向。正確答案：A反思：圖像的平移變換，伸縮變換因先后順序不同平移的量不同，平移的量為，平移的量為。易錯(cuò)點(diǎn)22忽視平面向量基本定理的成立條件【問題】：下列各組向量中，可以作為基底的是①=（0，0），=（1，-2）;②=（-1，2），=（5，7）;③=（3，5），=（6，10）;④=（2，-3），=（4，-6）;錯(cuò)解：選①或③或④正確答案：=2\*GB3②剖析：概念模糊，根據(jù)基底的定義，只有非零且不共線的向量才可以作為平面內(nèi)的基底。反思：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知識(shí)體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具?？忌趯W(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，務(wù)必要注意這兩個(gè)定理的作用和成立條件。易錯(cuò)點(diǎn)23忽視“向量數(shù)量積運(yùn)算”與“實(shí)數(shù)運(yùn)算”區(qū)別【問題】：已知向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)x的取值范圍為錯(cuò)解：剖析：概念模糊，錯(cuò)誤地認(rèn)為為鈍角正確答案：反思：為鈍角不共線六、不等式易錯(cuò)點(diǎn)24不等式性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)【問題】：已知，<β<，求函的取值范圍。錯(cuò)解：∵，<β<，∴，∴剖析：套用錯(cuò)誤，不等式具有同向相加性質(zhì)，但兩邊不能分別相減。正確答案：反思：不等式基本性質(zhì)是不等式的基礎(chǔ)，有些性質(zhì)是條件不等式，在使用這些性質(zhì)解題時(shí)，務(wù)必要檢驗(yàn)成立條件，不能想當(dāng)然套用，忽視了就會(huì)出錯(cuò)。易錯(cuò)點(diǎn)25忽視等號(hào)同時(shí)成立的條件，擴(kuò)大了范圍【問題】：已知函數(shù)，且，求的取值范圍。錯(cuò)解：先由求出a，b的范圍，再用不等式性質(zhì)求出的范圍為[5，10]。剖析：知識(shí)殘缺，多次使用同向相加性質(zhì)，從而擴(kuò)大了取值范圍。正確答案：利用待定系數(shù)法或線性規(guī)劃求解，的范圍為[5，10]。反思：在多次運(yùn)用不等式性質(zhì)時(shí)，其等號(hào)成立的條件可能有所不同，造成累積誤差，結(jié)果使變量范圍擴(kuò)大。為了避免這類錯(cuò)誤，必須注意①檢查每次使用性質(zhì)時(shí)等號(hào)成立的條件是否相同；②盡可能多的使用等式。易錯(cuò)點(diǎn)26去分母時(shí)沒有判斷分母的符號(hào)【問題】：解不等式錯(cuò)解：∵，∴，解得剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，沒有考慮分母的符號(hào)，直接去分母，應(yīng)對(duì)進(jìn)行分類討論，或用數(shù)軸標(biāo)根法求解。正確答案：反思：解分式不等式的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)a>b,c>0ac>bc；a>b,c<0ac<bc。解分式不等式基本思想是通過去分母將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，但在去分母之前必須對(duì)分母的符號(hào)進(jìn)行判斷，必要時(shí)要對(duì)分母進(jìn)行討論。易錯(cuò)點(diǎn)27解含參數(shù)不等式時(shí)分類討論不當(dāng)【問題】：解關(guān)于x的不等式錯(cuò)解一：原不等式等價(jià)于，解得剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，直接利用絕對(duì)值不等式的解集公式，而忽視對(duì)a-2進(jìn)行分類討論。錯(cuò)解二：當(dāng)時(shí)，原不等式不成立。當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得剖析：技能不熟，沒有對(duì)進(jìn)行討論。正確答案：當(dāng)時(shí)，不等式解集是；當(dāng)時(shí)，不等式解集是反思：含參數(shù)不等式的解法是不等式問題的難點(diǎn)。解此類不等式時(shí)一定要注意對(duì)字母分類討論，討論時(shí)要做到不重不漏，分類解決后，要對(duì)各個(gè)部分的結(jié)論按照參數(shù)由小到大進(jìn)行整合。易錯(cuò)點(diǎn)28忽視均值不等式應(yīng)用條件【問題】1：若x<0，求函數(shù)f(x)=的最值。錯(cuò)解:當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最小值2剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，基本不等式≥2成立條件為，本題中x<0，不能直接使用公式。正確答案：最大值為，無最小值?！締栴}】：設(shè)，求函數(shù)的最小值。錯(cuò)解：剖析：知識(shí)殘缺，因?yàn)樯鲜鼋夥ㄈ〉忍?hào)條件是，，而這是不可能的。正確答案：最小值為5【問題】3：設(shè)，且，求函數(shù)f(x)=的最小值。錯(cuò)解：∵=()≥＝4，∴函數(shù)f(x)的最小值為4。剖析：技能不熟，上述解法似乎很巧妙，但兩次使用均值不等式時(shí)取等號(hào)的條件不一樣，因此取不到。正確答案：最小值為反思：均值不等式≥2（）取等號(hào)的條件是“一正，二定，三相等”。在解題過程中，務(wù)必要先檢驗(yàn)取等號(hào)的三個(gè)條件是否成立。常規(guī)的解法是①如果積或和不是定值，設(shè)法構(gòu)造“定值”；②若是不能保證，可構(gòu)造“正數(shù)”或利用導(dǎo)數(shù)求解；③若是等號(hào)不能成立，可根據(jù)“對(duì)勾函數(shù)”圖象，利用單調(diào)性求解。易錯(cuò)點(diǎn)28平面區(qū)域不明【問題】：表示的平面區(qū)域是（）錯(cuò)解一：選A計(jì)算錯(cuò)誤錯(cuò)解二：選B思維不縝密錯(cuò)解三：選D審題粗心，未注意到不含等號(hào)。正確答案：C反思：一條直線把平面分成兩個(gè)半平面，在每個(gè)半平面內(nèi)的點(diǎn)（x，y）使值的符號(hào)一致。鑒于此，作不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域方法是畫線定界，取點(diǎn)定域，若含等號(hào)畫實(shí)線，否則畫虛線。易錯(cuò)點(diǎn)29求目標(biāo)函數(shù)最值時(shí)忽視的系數(shù)的符號(hào)【問題】：若變量滿足約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最大值。錯(cuò)解：先作可行域，在平移直線得最優(yōu)解（-1，1）,所以剖析：識(shí)記錯(cuò)誤，當(dāng)y的系數(shù)小于0時(shí)，使得直線在y軸上截距最大的可行解，是目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解。正確答案：3反思：解線性規(guī)劃問題的基本方法是圖解法。當(dāng)B>0時(shí)，動(dòng)直線在y軸上的截距越大，目標(biāo)函數(shù)值越大，截距越小，目標(biāo)函數(shù)值越?。环粗?，當(dāng)B<0時(shí)，動(dòng)直線在y軸上截距越大，目標(biāo)函數(shù)值越小，截距越小，目標(biāo)函數(shù)值越大。其中的系數(shù)的符號(hào)是解題的關(guān)鍵，也是同學(xué)們經(jīng)常忽略的地方。七、立體幾何易錯(cuò)點(diǎn)30不會(huì)將三視圖還原為幾何體【問題】：若某空間幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的體積。錯(cuò)解：如圖該幾何體是底面為邊長正方形，高為1的棱柱，∴該幾何體的體積為剖析：識(shí)圖能力欠缺，由三視圖還原幾何體時(shí)出錯(cuò)。正確答案：V=1反思：在由三視圖還原空間幾何體時(shí)，要根據(jù)三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線為實(shí)線。在還原幾何體形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮。易錯(cuò)點(diǎn)31空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系不清【問題】：給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；.④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中為真命題的是A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④錯(cuò)解：A剖析：①空間想象能力欠缺，不會(huì)借助身邊的幾何體作出判斷；②空間線面關(guān)系模糊，定理不熟悉或定理用錯(cuò)。正確答案：D反思：空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷是考查學(xué)生對(duì)空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系判斷和性質(zhì)掌握程度的重要題型。解決這類問題的基本思路有兩條：一是逐個(gè)尋找反例作出否定的判斷，逐個(gè)進(jìn)行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置（如教室、課桌、燈管）作出判斷，但要注意定理應(yīng)用準(zhǔn)確，考慮問題全面細(xì)致。易錯(cuò)點(diǎn)32平行關(guān)系定理使用不當(dāng)【問題】：正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，P在對(duì)角線BD1上，且，給出下列四個(gè)命題：（1）；（2）C1Q//面APC；（3）A，P，M三點(diǎn)共線；（4）面MNP//面APC.正確序號(hào)為（）A、（1）（2）B、（1）（4）C、（2）（3）D、（3）（4）錯(cuò)解：A、B、D剖析：空間線面關(guān)系模糊，定理不熟悉，未能推出MN在平面APC內(nèi)而導(dǎo)致錯(cuò)誤。正確答案：C反思：證明空間平行關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化和化歸，但要正確應(yīng)用定理并注意定理的應(yīng)用條件。如在證明直線a//平面α?xí)r，不能忽略直線a在平面α外。證明有關(guān)線線，線面，面面平行時(shí)使用定理應(yīng)注意找足條件，書寫規(guī)范，推理嚴(yán)謹(jǐn)。易錯(cuò)點(diǎn)33垂直關(guān)系定理使用不當(dāng)【問題】：已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN，M、S分別為PB、BC的中點(diǎn)。①證明：CM⊥SN；②求SN與平面CMN所成角的大小.剖析：①在利用線面垂直的判定定理證明兩個(gè)平面互相垂直時(shí)，只證明了該直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，沒有說明這兩條直線是否相交，不符合定理的條件；②在求線面角時(shí)，沒有說明找角的過程。反思：證明空間垂直關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化和化歸。如在證明線線垂直時(shí)，可先把其中一條直線視為某平面內(nèi)的直線，然后再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明另一條直線垂直于這個(gè)平面，進(jìn)而達(dá)到證明線線垂直的目的。易錯(cuò)點(diǎn)34利用空間向量求線面角幾種常見錯(cuò)誤【問題】：如圖，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn),若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的余弦值。剖析：本題在求得平面DCEF的一個(gè)法向量=（0，0，2）及=(－1,1,2)后，可得cos<,>=·可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤為：;正確答案：反思：若直線與平面所成的角為，直線的方向向量為，平面的法向量為，則sin=|cos<,>|。容易出錯(cuò)的是①誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角就是線面角；②誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦就是線面角的正弦，而忘了加絕對(duì)值；③不清楚線面角的范圍。易錯(cuò)點(diǎn)35二面角概念模糊【問題】：如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點(diǎn)在側(cè)棱上，。①證明：是側(cè)棱的中點(diǎn)；②求二面角的余弦值。剖析：本題在求得平面、的法向量=(，1，1)，=(，0，2)后，然后計(jì)算出cos=；接著可能錯(cuò)誤地以為二面角余弦值為，其實(shí)本題中的二面角是鈍角，僅為其補(bǔ)角。正確答案：反思：若兩個(gè)平面的法向量分別為，，若兩個(gè)平面所成的銳二面角為，則；若兩個(gè)平面所成二面角為鈍角，則?？傊?，在解此類題時(shí)，應(yīng)先求出兩個(gè)平面的法向量及其夾角，然后視二面角的大小而定。利用空間向量證明線面位置關(guān)系基本步驟為①建立空間坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②用向量表示相應(yīng)的直線；③進(jìn)行向量運(yùn)算；④將運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的位置關(guān)系。解此類問題常見錯(cuò)誤有①不會(huì)將空間問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②不會(huì)建系，不會(huì)用向量表示直線，③計(jì)算錯(cuò)誤，④使用定理出錯(cuò)，⑤書寫不規(guī)范。八、解析幾何易錯(cuò)點(diǎn)36傾斜角與斜率關(guān)系不明【問題】：下列命題正確的為_______________。①任何一條直線都有傾斜角，都有斜率；②直線的傾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于x軸的直線，傾斜角為00或1800；④平行于y軸的直線，斜率不存在，所以傾斜角不存在；剖析：知識(shí)殘缺，概念模糊。正確答案：無選項(xiàng)反思：傾斜角和斜率分別從不同角度反映了直線的傾斜程度，但二者也有區(qū)別，任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率。解此類題常見錯(cuò)誤有①弄錯(cuò)直線傾斜角的范圍；②當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，誤認(rèn)為傾斜角為00或1800；③不了解傾斜角與斜率關(guān)系。易錯(cuò)點(diǎn)37判斷兩直線位置關(guān)系時(shí)忽視斜率不存在【問題】：已知直線1:ax+2y+6=0和2:x+（a-1）y+a2-1=0，試判斷1與2是否平行；②當(dāng)1⊥2時(shí)，求a的值。剖析：本題中的直線為一般式，宜用②中的等價(jià)關(guān)系求解，如果用①中的等價(jià)關(guān)系求解，一定要考慮斜率不存在的情況。正確答案：（1）（2）反思：在解幾中，判斷平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系的方法有兩種：若直線1:，2:，則有1與2相交；1∥2，且b1≠b2；1⊥2②若直線，，則有1與2相交；1∥2；1⊥2兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，方法①簡便易行，但僅適用于斜率存在的直線，方法②適用于任意的直線，但運(yùn)算量較大?？忌?jīng)常出錯(cuò)的是：用方法①但忽視對(duì)斜率的討論。易錯(cuò)點(diǎn)38平行線間的距離公式使用不當(dāng)【問題】：求兩條平行線1:和2:間的距離。錯(cuò)解：∴直線1與2的距離為2或1剖析：技能不熟，求兩條平行線間的距離時(shí)，沒有把x、y的系數(shù)化成相同。正確答案：反思：兩條平行線之間的距離是指其中一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離。若直線1:Ax+By+C1=0和2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)，則直線1與2的距離為。常見的錯(cuò)誤是忽視判斷兩直線中x、y系數(shù)是否相等。易錯(cuò)點(diǎn)39誤解“截距”和“距離”的關(guān)系【問題】：若直線與拋物線（y－1）2＝x－1在x軸上的截距相等，求a的值。錯(cuò)解：直線在x軸上的截距為，拋物線（y－1）2＝x－1在x軸上的截距為2，∴,解得a=±1剖析：概念模糊，錯(cuò)把截距當(dāng)成距離。正確答案：a=－1反思：截距是指曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，可為正數(shù)、負(fù)數(shù)、零，而距離一定是非負(fù)數(shù)，對(duì)此考生應(yīng)高度重視。易錯(cuò)點(diǎn)40忽視直線點(diǎn)斜式和斜截式方程適用范圍【問題】：求過點(diǎn)（2，1）和（a，2）的直線方程。錯(cuò)解：先求出斜率，故所求直線方程為y－1=（x－2）剖析：知識(shí)殘缺，未考慮k不存在的情況。正確答案：當(dāng)a=2時(shí)，直線方程為x=2,當(dāng)時(shí)，直線方程為y－1=（x－2）反思：點(diǎn)斜式和斜截式是兩種常見的直線方程形式，應(yīng)用非常廣泛，但它們僅適用于斜率存在的直線。解題時(shí)一定要驗(yàn)證斜率是否存在，若情況不明，一定要對(duì)斜率分類討論。易錯(cuò)點(diǎn)41忽視直線截距式方程適用范圍【問題】：直線經(jīng)過點(diǎn)P（2，3），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線方程。錯(cuò)解：設(shè)直線方程為（a≠0），將點(diǎn)P代入得a=5，∴的方程為x+y-5=0剖析：知識(shí)殘缺，不了解截距式方程適用范圍，漏掉直線過原點(diǎn)的情況。正確答案：x+y-5=0或3x-2y=0反思：直線的截距式方程為(ab≠0)，a為直線在x軸上的截距，b為直線在y軸上的截距。其適用范圍為①不經(jīng)過原點(diǎn)，②不與坐標(biāo)軸垂直。易錯(cuò)點(diǎn)42忽視圓的一般式方程成立條件【問題】：已知圓的方程為，過作圓的切線有兩條，求a的取值范圍。錯(cuò)解：∵過作圓的切線有兩條，∴點(diǎn)A在圓外，∴,∴剖析：技能不熟，忽視圓的一般式方程的充要條件。正確答案：反思：在關(guān)于x、y的二元二次方程中，當(dāng)，表示一個(gè)圓；當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形。僅僅是曲線為圓的一個(gè)必要不充分條件，在判斷曲線類型時(shí)，判斷的符號(hào)至關(guān)重要，這也是考生易錯(cuò)點(diǎn)之一。易錯(cuò)點(diǎn)43忽視圓錐曲線定義中的限制條件【問題】1：已知定點(diǎn)，在滿足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是ABCD錯(cuò)解：或剖析：概念模糊，由于|F1F2|=6，所以A選項(xiàng)無軌跡，B選項(xiàng)的軌跡為線段。正確答案：C【問題】2：說出方程表示的曲線。錯(cuò)解：雙曲線剖析：知識(shí)不全，表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離只差為8，且|PF1|>|PF2|，∴軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支。正確答案：軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支反思：在橢圓的定義中，對(duì)常數(shù)加了一個(gè)條件，即常數(shù)大于。這種規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況——軌跡為一條線段或無軌跡。在雙曲線的定義中，不僅對(duì)常數(shù)加了限制條件，同時(shí)要求距離差加了絕對(duì)值，其實(shí)如果不加絕對(duì)值其軌跡只表示雙曲線的一支，對(duì)此考生經(jīng)常出錯(cuò)。易錯(cuò)點(diǎn)57求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)忽視“定位”分析【問題】：若橢圓的離心率，求的值是。錯(cuò)解：a2＝5，b2＝,∴c2＝5-,又，∴=3剖析：技能不熟，沒有考慮到焦點(diǎn)在y軸上的情形。正確答案：=3或反思：確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定位”與“定量”兩個(gè)方面，“定位”是指確定橢圓與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在中心為原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式，若情況不明，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，“定量”則是指確定a2、b2的值，常用待定系數(shù)法求解。易錯(cuò)點(diǎn)44