數(shù)學(xué)學(xué)案：第一章§不等式的性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§1不等式的性質(zhì)1．理解用兩個實(shí)數(shù)差的符號來規(guī)定兩個數(shù)大小的意義，掌握求差比較法和求商比較法．2．掌握不等式的性質(zhì)，并能進(jìn)行證明．3．會用不等式的基本性質(zhì)判斷不等關(guān)系和用比較法、反證法證明簡單不等式．1．實(shí)數(shù)大小的比較（1）求差比較法．①a＞b?______;②______?a－b＜0；③a＝b?______．判斷兩個實(shí)數(shù)a與b的大小歸結(jié)為判斷它們的差a－b的符號，至于差究竟是多少則是無關(guān)緊要的．（2）求商比較法．當(dāng)a＞0，b＞0時，①eq\f(a，b)＞1?______；②______?a＜b;③eq\f(a，b)＝1?______．答案：(1）①a－b＞0②a＜b③a－b＝0（2）①a＞b②eq\f（a,b）＜1③a＝b【做一做1－1】比較大?。簒2＋3__________3x(其中x∈R)．【做一做1－2】比較1816與1618的大?。?．不等式的性質(zhì)(1）性質(zhì)1：如果a＞b，那么______;如果b＜a,那么______．（2）性質(zhì)2:如果a＞b，b＞c,那么______．(3）性質(zhì)3：如果a＞b，那么a＋c＞______．推論:如果a＞b,c＞d，那么a＋c＞______．（4)性質(zhì)4：如果a＞b，c＞0，那么ac____bc；如果a＞b，c＜0，那么ac____bc．推論1：如果a＞b＞0,c＞d＞0，那么ac＞____．推論2：如果a＞b＞0，那么a2____b2．推論3：如果a＞b＞0，那么an____bn(n為正整數(shù)）．推論4：如果a＞b＞0，那么____（n為正整數(shù)）．（1)引導(dǎo)學(xué)生掌握性質(zhì)的證明方法，舉反例是證明命題錯誤的主要方法，證明過程體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．（2)特別注意性質(zhì)4使用的前提，不等號方向取決于c的符號．【做一做2－1】判斷下列命題的真假，并說明理由．(1)如果a＞b,那么a－c＞b－c．（2）如果a＞b，那么eq\f(a，c)＞eq\f（b,c）．【做一做2－2】若a＞b＞c,則下列不等式成立的是（)．A．eq\f(1，a－c）＞eq\f（1,b－c)B．eq\f(1，a－c）＜eq\f（1,b－c）C．a(chǎn)c＞bcD．a(chǎn)c＜bc答案:1．（1)①a－b＞0②a＜b③a－b＝0(2）①a＞b②eq\f(a，b)＜1③a＝b【做一做1－1】＞（x2＋3）－3x＝x2－3x＋3＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（3,2)）)2＋3－eq\f(9,4）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(3,2）))2＋eq\f（3,4)≥eq\f（3,4)＞0,即x2＋3＞3x．【做一做1－2】分析：兩個數(shù)是冪的形式，比較大小一般采用求商的方法．解：eq\f（1816，1618）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（18，16)))16·eq\f(1,162）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（9,8))）16·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,\r（2))))16＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（9,8\r(2)）))16,∵eq\f(9，8\r（2）)∈(0，1）,∴eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(9,8\r(2)）））16＜1．∵1816＞0,1618＞0，∴1816＜1618．2．（1）b＜aa＞b(2）a＞c(3)b＋cb＋d(4)＞＜bd＞＞＞【做一做2－1】分析：從不等式的性質(zhì)找依據(jù)，與性質(zhì)相符的為真，與性質(zhì)不相符的為假．解：(1）真命題．理由：根據(jù)不等式的性質(zhì)3,由a＞b,可得a＋(－c）＞b＋(－c),即a－c＞b－c．（2）假命題．理由：由不等式的性質(zhì)4可知,如果a＞b，c＜0，則eq\f（a，c）＜eq\f(b，c），即不等式的兩邊同乘以一個數(shù)時，必須明確這個數(shù)的正負(fù)．【做一做2－2】B∵a－c＞b－c＞0,∴eq\f(1,a－c）＜eq\f(1,b－c)．1．比較兩個實(shí)數(shù)的大小剖析：比較兩個實(shí)數(shù)a，b的大小，可以轉(zhuǎn)化為a，b的差與0的大小比較，這種比較大小的方法稱為求差比較法．它的主要步驟是：(1）作差；(2）變形（分解因式,配方等）;（3)判斷差的符號；（4）下結(jié)論．其中最關(guān)鍵的是第(2）步，變形要有利于判斷差的符號才行．比較兩個實(shí)數(shù)a，b的大小,也可以轉(zhuǎn)化為a與b的商與1的大小比較，這種比較大小的方法稱為求商比較法．它的主要步驟是：(1）作商；（2)變形；(3)判斷商與1的大小關(guān)系；（4）下結(jié)論．其中最關(guān)鍵的是第(3）步，在第（4)步中要注意不等號的方向，不等號的方向受分母的符號的影響．2．不等式和等式的基本性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系剖析:區(qū)別:在等式的兩邊同乘以或除以同一個數(shù)(除數(shù)不為0)時，所得結(jié)果仍是等式;在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個數(shù)(除數(shù)不為0)時會出現(xiàn)兩種情況：若這個數(shù)為正數(shù),則不等號方向不變，若這個數(shù)為負(fù)數(shù)，則不等號方向改變．聯(lián)系：不等式的基本性質(zhì)和等式的基本性質(zhì),對等式（或不等式)兩邊形式的變化相同，討論的都是兩邊同時加上或減去，同時乘以或除以（除數(shù)不為0）同一個數(shù)時的情況．題型一利用作差法比較大小【例1】比較(a＋3）（a－5)與(a＋2)（a－4)的大小．分析：此題為兩個代數(shù)式比較大小，可先作差，然后展開，合并同類項(xiàng)后，判斷差值的正負(fù)．反思：利用作差法比較大小，實(shí)際上是把比較兩數(shù)大小的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算符號問題．作差時,只需看差的符號，至于差的值究竟是多少,這里無關(guān)緊要．如本題，只需看差－7的正負(fù)即可．題型二利用作商法比較大小【例2】已知a＞b＞c＞0，比較a2ab2bc2c與ab＋cbc＋aca＋b分析：用求差比較法不易變形，所以用求商比較法．反思:用求商比較法比較兩個式子的大小時,第（2)步的變形要向著有利于判斷商與1的大小關(guān)系的方向變形，這是最重要的一步．題型三利用不等式的性質(zhì)證明不等式【例3】已知a＞b＞c＞d＞0，且eq\f(a,b)＝eq\f(c,d），求證:a＋d＞b＋c．分析:利用不等式的性質(zhì)，將已知等式進(jìn)行適當(dāng)變形，注意符號的變化．反思：在證明不等式時，往往不等式的性質(zhì)和比例式的性質(zhì)聯(lián)合使用，使式子間轉(zhuǎn)換更迅速．如本題，不僅有不等式性質(zhì)應(yīng)用的信息，更有比例的信息．因此這道題既要重視性質(zhì)的運(yùn)用技巧,也要重視比例性質(zhì)的應(yīng)用技巧．題型四易錯辨析【例4】已知函數(shù)f(x)＝ax2－c,－4≤f（1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3）的取值范圍．錯解：依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4≤a－c≤－1，，－1≤4a－c≤5,)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（1，2）)由（1)，（2）利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行加減消元,得0≤a≤3，1≤c≤7，(3）∴由f(3）＝9a－c，可得－7≤f錯因分析：由（1)(2）得到不等式(3)是利用了不等式的性質(zhì)中的加法法則,而此性質(zhì)是單向的，不具有可逆性,從而使得a，c的范圍擴(kuò)大，這樣f(3）的范圍也隨之?dāng)U大了．反思：解本題時，利用f（1），f(2)設(shè)法表示a，c,然后再代入f(3）的表達(dá)式中,從而用f（1)和f（2）來表示f（3）,最后運(yùn)用已知條件確定f(3)的取值范圍．答案：【例1】解:由題意，作差得(a＋3）（a－5）－（a＋2)(a－4）＝（a2－2a－15）－(a2－2＝－7＜0，所以（a＋3)（a－5）＜（a＋2)（a－4)．【例2】解：由a＞b＞c＞0,得a2ab2bc2c＞0，ab＋cbc＋aca＋b所以eq\f（a2ab2bc2c,ab＋cbc＋aca＋b)＝eq\f(aaaabbbbcccc,abacbcbacacb）＝aa－b·aa－c·bb－c·bb－a·cc－a·cc－b＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(a,c))）a－c·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(b，c）））b－c．∵a＞b＞0，∴eq\f(a,b)＞1，a－b＞0，即eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a，b）))a－b＞1．同理eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(b，c))）b－c＞1,eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))a－c＞1．∴eq\f（a2ab2bc2c，ab＋cbc＋aca＋b）＞1，即a2ab2bc2c＞ab＋cbc＋aca＋b【例3】證明：∵eq\f(a,b)＝eq\f（c,d），∴eq\f（a－b，b)＝eq\f（c－d，d)．∴(a－b）d＝（c－d）b．又∵a＞b＞c＞d＞0，∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且eq\f(b,d）＞1，∴eq\f（a－b，c－d)＝eq\f(b,d)＞1，∴a－b＞c－d,即a＋d＞b＋c．【例4】正解:由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a－c＝f1，,4a－c＝f2,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1，3)[f2－f1],,c＝\f（1,3)f2－\f（4,3）f1.））∴f（3)＝9a－c＝eq\f（8，3)f(2)－eq\f(5,3)f（1)．∵－4≤f(1)≤－1,∴eq\f(5，3）≤eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（5,3）))f(1）≤eq\f(20,3）．(1)又－1≤f(2）≤5,故－eq\f（8，3）≤eq\f(8，3)f(2)≤eq\f（40,3)．(2)把(1）,(2)兩邊分別相加,得－1≤eq\f(8,3)f（2）－eq\f（5,3)f(1）≤20，∴－1≤f(3）≤20．1對于實(shí)數(shù)a，b,c,有下列命題:①若a＞b，則ac＜bc；②若ac2＞bc2，則a＞b；③若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0,則eq\f（a，c－a)＞eq\f（b，c－b）;⑤若a＞b，eq\f（1,a）＞eq\f（1,b)，則a＞0，b＜0．其中真命題的個數(shù)是（）．A．2B．32若a＜0，－1＜b＜0，則有()．A．a(chǎn)＞ab＞ab2B．a(chǎn)b2＞ab＞aC．a(chǎn)b＞a＞ab2D．a(chǎn)b＞ab2＞a3設(shè)a＞1，－1＜b＜0，則a，b,－a，－b，－ab按由大到小的順序排列是__________．4若x∈R，則x2－x與x－2的大小關(guān)系是__________．答案：1．C①∵c的正、負(fù)或是否為零未知，∴無法判斷ac與bc的大小，故該命題是假命題．②由ac2＞bc2，知c≠0．又c2＞0，∴a＞b．故該命題是真命題．③eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（a<b<0，a〈0))?a2＞ab，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a<b,b〈0）)?ab＞b2，∴a2＞ab＞b2．故該命題為真命題．④a＞b＞0?－a＜－b?c－a＜c－b．∵c＞a，∴c－a＞0，∴0＜c－a＜c－b．兩邊同乘以eq\f(1,c－ac－b)，得eq\f（1,c－a)＞eq\f（1，c－b）＞0．又a＞b＞0，∴eq\f（a，c－a）＞eq\f（b，c－b)．故該命題為真命題．⑤a＞b?a－b＞0，eq\f（1,a)＞eq\f(1，b）?eq\f（1，a)－eq\f（1,b）＞0?eq\f(b－a，ab)＞0．∵a－b＞0，∴b－a＜0，∴ab＜0．又a＞b，∴a＞0，b＜0，故該命題為真命題．綜上可知,命題②③④⑤都是真命題．2．D∵a＜0，－1＜b＜0，∴ab＞0,b－1＜0，1－b＞0,0＜b2