數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：二倍角的三角函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精更上一層樓基礎(chǔ)·鞏固1。sin215°+cos215°+cos75°sin75°的值等于()A.B。C.D。思路解析：原式=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+sin30°=1+=.答案:C2。cos4-sin4的值等于()A.0B。C。1D。思路解析:原式=(cos2+sin2)(cos2-sin2）=cos=0。答案：A3.(cos-sin）（cos+sin)等于（）A?！狟.—C.D.思路解析：(cos-sin）（cos+sin）=cos2—sin2=cos=，故選擇C。答案：C4.已知sin2α=，α∈（,)，則cosα+sinα的值是(）A.-B.C.D.-思路解析:∵α∈（，），∴sinα＞0，cosα＞0.又∵（cosα+sinα）2=1+sin2α=1+=，∴cosα+sinα=.答案：C5.函數(shù)y=2sinx（sinx+cosx)的最大值為（)A.B。C.D。2思路解析：y=2sinx(sinx+cosx)=2sin2x+2sinxcosx=sin2x—cos2x+1=sin（2x—)+1.則函數(shù)的最大值為.答案：A6。若sinx=，則cos2x=________________.思路解析：∵sinx=，∴cos2x=1-2sin2x=1-2×(）2=.答案：7.已知tanθ=3，則=________________。思路解析：∵tanθ=3,∴原式==3。答案：38。已知α是第一象限的角，且cosα=，求的值．思路分析:首先利用兩角和與差的三角公式、誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡(jiǎn)解析式,再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出角的正弦值代入化簡(jiǎn)后的解析式求值即可.解:，由已知可得sinα=,∴原式=×。綜合·應(yīng)用9.的值是()A.1B。2C.4思路解析:原式===2.答案:B10.化簡(jiǎn)+為（）A。B。C。D。思路解析：由于,則原式==。答案：C11。已知—2cos(α+β）=2，則sin2β+2cos2α的值為________________。思路解析：由于—2cos（α+β)=-cos(α+β）==2，所以sin2β=4sin2α.所以sin2β+2cos2α=sin2β+2—4sin2α=2.答案:212.已知=2006，則+tan2α的值是______________。思路解析：由=2006,可得tanα=.又+tan2α=sin2α+-sin2α+=+==2006.答案：200613.已知函數(shù)f(x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R,求：(1）函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值的自變量x的集合；(2）函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．思路分析：本小題利用三角公式將函數(shù)解析式化為y=Asin（ωx+φ）+B(A＞0，ω＞0)的形式再求解.（1)解法一：∵f(x）=+sin2x+2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+)?！喈?dāng)2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)時(shí)，f（x）取得最大值2+，因此,f（x）取得最大值的自變量x的集合是｛x|x=kπ+,k∈Z｝.解法二：∵f(x）=（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+sin(2x+）,∴當(dāng)2x+=2kπ+，即x=kπ+(k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值2+。因此，f(x）取得最大值的自變量x的集合是｛x｜x=kπ+，k∈Z}.（2)解:f（x）=2+sin(2x+）.由題意得2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z)，即kπ—≤x≤kπ+(k∈Z).因此，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是［kπ-，kπ+］（k∈Z）?；仡櫋ふ雇?4.（2006遼寧高考）已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是（)A。B。C。D.思路解析：利用等腰三角形中的邊關(guān)系求出頂角半角正切，再利用二倍角公式求解.答案：D15。(2006江西高考)已知tan=3,則cosα等于(）A.B.-C。D。-思路解析：cosα==-。答案：B16.(2006淅江高考）函數(shù)y=2sinxcosx—1，x∈R的值域是________________．思路解析：利用二倍角公式將解析式化為y=sin2x—1，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可。答案：[-2，0］17.（2006淅江高考）函數(shù)y=sin2x+sin2x,x∈R的值域是(）A。［-,］B.［-,］C。［—+,+］D。［—-,-]思路解析：綜合利用兩角和與差的三角公式、二倍角公式將函數(shù)解析式化為y=Asin（ωx+φ）+B(A＞0,ω＞0），然后再利用它的性質(zhì)求解.答案:C18。（2006安徽高考)已知0＜α＜，sinα=。（1)求的值;（2)求tan（α-)的值。思路分析：本題主要利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角和與差的三角公式、倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí).利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和角的范圍求出角的余弦值即可求解.解：(1)由0＜α＜,sinα=，得cosα=,所以==20。（2)∵tanα==,∴tan（α-)==。19.（2006北京高考)已知函數(shù)f（x)=。（1)求f（x）的定義域；（2）設(shè)α是第四象限的角，且tanα=—，求f（α)的值。思路分析:本題主要利用三角函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)。由正切值及角的范圍可求出角的正、余弦值.解：（1)由cosx≠0得x≠kπ+(k∈Z),故f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠kπ+,k∈Z}。(2)∵α是第四象限角,tanα=-，則cosα=，sinα=—=—.故f（α）=.20.求函數(shù)y=2cos（x+）cos(x-)+sin2x的值域和最小正周期.思路分析：利用兩角和與差的三角公式將函數(shù)的解析式化為y=Asin（ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0)的形