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文檔簡介
廣東省韶關(guān)市六校2024屆高三1月調(diào)研統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)是奇函數(shù),且,若對,恒成立,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.3.在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.4.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.5.已知函數(shù).下列命題:①函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;②函數(shù)是周期函數(shù);③當(dāng)時,函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點,其中正確命題的序號是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④6.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,,則()A. B.2 C.3 D.7.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},則下列結(jié)論正確的是()A.﹣3∈AB.3BC.A∩B=BD.A∪B=B8.已知展開式的二項式系數(shù)和與展開式中常數(shù)項相等,則項系數(shù)為()A.10 B.32 C.40 D.809.的展開式中的一次項系數(shù)為()A. B. C. D.10.一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個正三角形,則這個幾何體的體積為()A. B. C. D.11.若函數(shù)有且只有4個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.在中,內(nèi)角的平分線交邊于點,,,,則的面積是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)數(shù)列的前n項和為,且,若,則______________.14.電影《厲害了,我的國》于2018年3月正式登陸全國院線,網(wǎng)友紛紛表示,看完電影熱血沸騰“我為我的國家驕傲,我為我是中國人驕傲!”《厲害了,我的國》正在召喚我們每一個人,不忘初心,用奮斗書寫無悔人生,小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了,我的國》,并把標(biāo)識為的四張電影票放在編號分別為1,2,3,4的四個不同的盒子里,讓四位好朋友進行猜測:甲說:第1個盒子里放的是,第3個盒子里放的是乙說:第2個盒子里放的是,第3個盒子里放的是丙說:第4個盒子里放的是,第2個盒子里放的是丁說:第4個盒子里放的是,第3個盒子里放的是小明說:“四位朋友你們都只說對了一半”可以預(yù)測,第4個盒子里放的電影票為_________15.點P是△ABC所在平面內(nèi)一點且在△ABC內(nèi)任取一點,則此點取自△PBC內(nèi)的概率是____16.平面區(qū)域的外接圓的方程是____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時間,對每個工人組裝一個該產(chǎn)品的用時作了記錄,得到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù).從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取了個數(shù)據(jù)作為樣本,得到如圖所示的莖葉圖(單位:分鐘).若用時不超過(分鐘),則稱這個工人為優(yōu)秀員工.(1)求這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù);(2)以這個樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率,任意調(diào)查名工人,求被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知圓,以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線平分圓M的周長.(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程;(2)過原點作兩條互相垂直的直線,其中與圓M交于O,A兩點,與圓M交于O,B兩點,求面積的最大值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線(為參數(shù))通過伸縮變換,得到曲線,設(shè)直線(為參數(shù))與曲線相交于不同兩點,.(1)若,求線段的中點的坐標(biāo);(2)設(shè)點,若,求直線的斜率.20.(12分)已知曲線:和:(為參數(shù)).以原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)與,軸交于,兩點,且線段的中點為.若射線與,交于,兩點,求,兩點間的距離.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)分別交于兩點(與原點不重合),求的最小值.22.(10分)已知點到拋物線C:y1=1px準(zhǔn)線的距離為1.(Ⅰ)求C的方程及焦點F的坐標(biāo);(Ⅱ)設(shè)點P關(guān)于原點O的對稱點為點Q,過點Q作不經(jīng)過點O的直線與C交于兩點A,B,直線PA,PB,分別交x軸于M,N兩點,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù),所以函數(shù)是偶函數(shù).,即,又,所以,.函數(shù)的定義域為,所以,則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).又在上,,所以為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增.由,可得,對恒成立,則,對恒成立,,得,所以的取值范圍是.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式,根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,屬壓軸題.2、D【解析】
利用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因為,由,解得,即函數(shù)的增區(qū)間為,所以當(dāng)時,增區(qū)間的一個子集為.故選D.【點睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性,同時對于整體法的應(yīng)用,使問題化繁為簡,難度較易.3、C【解析】
根據(jù)直線與圓相交,可求出k的取值范圍,根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心,半徑,直線與圓相交,所以,解得所以相交的概率,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,幾何概型,屬于中檔題.4、B【解析】
由題意得,,求解即可.【詳解】因為,所以.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確;由周期函數(shù)特點知②錯誤;函數(shù)定義域為,最值點即為極值點,由知③錯誤;令,在和兩種情況下知均無零點,知④正確.【詳解】由題意得:定義域為,,為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,①正確;為周期函數(shù),不是周期函數(shù),不是周期函數(shù),②錯誤;,,不是最值,③錯誤;令,當(dāng)時,,,,此時與無交點;當(dāng)時,,,,此時與無交點;綜上所述:與無交點,④正確.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的求解;本題綜合性較強,對于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.6、A【解析】
由奇函數(shù)定義求出和.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù),.又當(dāng)時,,.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.7、C【解析】試題分析:集合考點:集合間的關(guān)系8、D【解析】
根據(jù)二項式定理通項公式可得常數(shù)項,然后二項式系數(shù)和,可得,最后依據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:當(dāng)時,常數(shù)項為又展開式的二項式系數(shù)和為由所以當(dāng)時,所以項系數(shù)為故選:D【點睛】本題考查二項式定理通項公式,熟悉公式,細心計算,屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)多項式乘法法則得出的一次項系數(shù),然后由等差數(shù)列的前項和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論.【詳解】由題意展開式中的一次項系數(shù)為.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用,應(yīng)用多項式乘法法則可得展開式中某項系數(shù).同時本題考查了組合數(shù)公式.10、C【解析】
由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,求出底面面積,代入錐體體積公式,可得答案.【詳解】由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,其底面面積,高,故體積,故選:.【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求幾何體的體積,解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.11、B【解析】
由是偶函數(shù),則只需在上有且只有兩個零點即可.【詳解】解:顯然是偶函數(shù)所以只需時,有且只有2個零點即可令,則令,遞減,且遞增,且時,有且只有2個零點,只需故選:B【點睛】考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍,基礎(chǔ)題.12、B【解析】
利用正弦定理求出,可得出,然后利用余弦定理求出,進而求出,然后利用三角形的面積公式可計算出的面積.【詳解】為的角平分線,則.,則,,在中,由正弦定理得,即,①在中,由正弦定理得,即,②①②得,解得,,由余弦定理得,,因此,的面積為.故選:B.【點睛】本題考查三角形面積的計算,涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、9【解析】
用換中的n,得,作差可得,從而數(shù)列是等比數(shù)列,再由即可得到答案.【詳解】由,得,兩式相減,得,即;又,解得,所以數(shù)列為首項為-3、公比為3的等比數(shù)列,所以.故答案為:9.【點睛】本題考查已知與的關(guān)系求數(shù)列通項的問題,要注意n的范圍,考查學(xué)生運算求解能力,是一道中檔題.14、A或D【解析】
分別假設(shè)每一個人一半是對的,然后分別進行驗證即可.【詳解】解:假設(shè)甲說:第1個盒子里面放的是是對的,則乙說:第3個盒子里面放的是是對的,丙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第4個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是;假設(shè)甲說:第3個盒子里面放的是是對的,則丙說:第4個盒子里面放的是是對的,乙說:第2個盒子里面放的是是對的,丁說:第3個盒子里面放的是是對的,由此可知第4個盒子里面放的是.故第4個盒子里面放的電影票為或.故答案為:或【點睛】本題考查簡單的合情推理,考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力,屬于中檔題.15、【解析】
設(shè)是中點,根據(jù)已知條件判斷出三點共線且是線段靠近的三等分點,由此求得,結(jié)合幾何概型求得點取自三角形的概率.【詳解】設(shè)是中點,因為,所以,所以三點共線且點是線段靠近的三等分點,故,所以此點取自內(nèi)的概率是.故答案為:【點睛】本小題主要考查三點共線的向量表示,考查幾何概型概率計算,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
作出平面區(qū)域,可知平面區(qū)域為三角形,求出三角形的三個頂點坐標(biāo),設(shè)三角形的外接圓方程為,將三角形三個頂點坐標(biāo)代入圓的一般方程,求出、、的值,即可得出所求圓的方程.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示:由圖可知,平面區(qū)域為,聯(lián)立,解得,則點,同理可得點、,設(shè)的外接圓方程為,由題意可得,解得,,,因此,所求圓的方程為.故答案為:.【點睛】本題考查三角形外接圓方程的求解,同時也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作,考查數(shù)形結(jié)合思想以及運算求解能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)43,47;(2)分布列見解析,.【解析】
(1)根據(jù)莖葉圖即可得到中位數(shù)和眾數(shù);(2)根據(jù)數(shù)據(jù)可得任取一名優(yōu)秀員工的概率為,故,寫出分布列即可得解.【詳解】(1)中位數(shù)為,眾數(shù)為.(2)被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量,任取一名優(yōu)秀員工的概率為,故,,,的分布列如下:故【點睛】此題考查根據(jù)莖葉圖求眾數(shù)和中位數(shù),求離散型隨機變量分布列,根據(jù)分布列求解期望,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解概率,若能準(zhǔn)確識別二項分布對于解題能夠起到事半功倍的作用.18、(1),(2)【解析】
先求出,再求圓的半徑和極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)求出,,再求出得解.【詳解】(1)將化成直角坐標(biāo)方程,得則,故,則圓,即,所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標(biāo)方程,得.即圓M的極坐標(biāo)方程為.(2)設(shè),則,用代替.可得,【點睛】本題主要考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化,考查極徑的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、(1);(2).【解析】
(1)由l參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立可得A、B兩點參數(shù)和,再利用M點的參數(shù)為A、B兩點參數(shù)和的一半即可求M的坐標(biāo);(2)利用直線參數(shù)方程的幾何意義得到,再利用計算即可,但要注意判別式還要大于0.【詳解】(1)由已知,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其普通方程為,當(dāng)時,將(為參數(shù))代入得,設(shè)直線l上A、B兩點所對應(yīng)的參數(shù)為,中點M所對應(yīng)的參數(shù)為,則,所以的坐標(biāo)為;(2)將代入得,則,因為即,所以,故,由得,所以.【點睛】本題考查了伸縮變換、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識,考查學(xué)生的計算能力,是一道中檔題.20、(1),;(2)1.【解析】
(1)利用正弦的和角公式,結(jié)合極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式,即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程;先寫出曲線的普通方程,再利用公式化簡為極坐標(biāo)即可;(2)先求出的直角坐標(biāo),據(jù)此求得中點的直角坐標(biāo),將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo),聯(lián)立曲線的極坐標(biāo)方程,即可求得兩點的極坐標(biāo),則距離可解.【詳解】(1):可整理為,利用公式可得其直角坐標(biāo)方程為:,:的普通方程為,利用公式可得其極坐標(biāo)方程為(2)由(1)可得的直角坐標(biāo)方程為,故容易得,,∴,∴的極坐標(biāo)方程為,把代入得,.把代入得,.∴,即,兩點間的距離為1.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化,涉及參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,以及在極坐標(biāo)系中求兩點之間的距離,屬綜合基礎(chǔ)題.21、(Ⅰ)直線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(Ⅱ)2.【解析】
(Ⅰ)由定義可直接寫出直線的極坐標(biāo)方程,
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